新疆兵团农二师华山中学高二数学上学期期末试卷理(含解析)

新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷
（理科）
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
2．（5分）某校参加舞蹈社团的学生中，2014-2015学年高一年级有40名，2014-2015学年高二年级有30名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了8名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为（）
A．12 B．10 C．8 D．6
3．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）
A．对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0
B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
D．x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件
4．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
5．（5分）若抛物线y=ax2的准线的方程是y=﹣2，则实数a的值是（）
A．8 B．﹣8 C．D．
6．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x5﹣3x4+7x3﹣9x2+4x﹣10在x=2时的值时，V3的值为（）
A．34 B．22 C．9 D．1
7．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
零件数x个10 20 30 40 50
加工时间y（min）62 75 81 89
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）
A．68 B．68.2 C．69 D．75
8．（5分）若程序框图输出的S是62，则条件①可为（）
A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
10．（5分）下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是（）
游戏1
（有3个黑球和1个白球，游戏时取1个球，再取1个球）游戏2
（有1个黑球和1个白球，游戏时单取1个球）游戏3
（有2个黑球和2个白球，游戏时取1个球，再取1个球）
取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3
11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲
线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）
A．B．C．D．
12．（5分）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′
（x）﹣f（x）＜0，记a=，b=，c=，则（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．
14．（5分）从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为．
15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为﹣2，则该抛物线的准线方程为．
16．（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜．
其中真命题的序号是（写出所有正确命题的序号）．
三．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）＜0
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
18．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．
（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．
19．（12分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭
圆C1上的一点，B为抛物线C2：y2=x上一点，且A为线段OB的中点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求直线AB的方程．
20．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H 分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：FG∥平面PED；
（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
22．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
新疆兵团农二师华山中学2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）设集合M={1，2}，N={a2}，则“a=1”是“N⊆M”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
考点：集合关系中的参数取值问题．
专题：集合．
分析：先由a=1判断是否能推出“N⊆M”；再由“N⊆M”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论．
解答：解：当a=1时，M={1，2}，N={1}有N⊆M
当N⊆M时，a2=1或a2=2有
所以“a=1”是“N⊆M”的充分不必要条件．
故选A．
点评：本题考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的条件问题．
2．（5分）某校参加舞蹈社团的学生中，2014-2015学年高一年级有40名，2014-2015学年高二年级有30名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了8名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为（）
A．12 B．10 C．8 D．6
考点：分层抽样方法．
专题：概率与统计．
分析：根据分层抽样的定义进行求解即可．
解答：解：根据分层抽样的定义可得在2014-2015学年高一年级的学生中抽取了8名，则在2014-2015学年高二年级的学生中应抽取的人数为，
故选：D．
点评：本题主要考查分层抽样的应用，比较基础．
3．（5分）下列有关命题的叙述错误的是（）
A．对于命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0
B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”
D．x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件
考点：命题的真假判断与应用．
专题：简易逻辑．
分析：A．利用“非命题”的否定即可得出；
B．利用复合命题的真假判定即可得出；
C．利用逆否命题的定义即可得出；
D．x2﹣5x+6=0，解得x=2，3，即可判断出；
解答：解：对于A．命题p：∃x0∈R，x02+x0+1＜0，则￢p为：∀x∈R，x2+x+1≥0，正确；对于B．p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，因此不正确；
对于C．“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；正确，对于D．由于x2﹣5x+6=0，解得x=2，3，因此x2﹣5x+6=0是x=2的必要不充分条件，正确．综上可得：只有B不正确．
故选：B．
点评：本题考查了简易逻辑的判定，考查了推理能力，属于基础题．
4．（5分）若函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）C．（﹣3，6）D．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题；导数的综合应用．
分析：由题意求导f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；从而化函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值为△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；从而求解．
解答：解：∵f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，
∴f′（x）=3x2+2ax+（a+6）；
又∵函数f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有极大值和极小值，
∴△=（2a）2﹣4×3×（a+6）＞0；
故a＞6或a＜﹣3；
故选B．
点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
5．（5分）若抛物线y=ax2的准线的方程是y=﹣2，则实数a的值是（）
A．8 B．﹣8 C．D．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由于抛物线y=ax2即x2=y的准线方程为y=﹣，可得﹣=﹣2，即可求得a．
解答：解：抛物线y=ax2即x2=y的准线方程为y=﹣，
由题意可得，﹣=﹣2，
解得a=．
故选：C．
点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的准线方程的求法，属于基础题．
6．（5分）用秦九韶算法计算多项式f（x）=2x5﹣3x4+7x3﹣9x2+4x﹣10在x=2时的值时，V3的值为（）
A．34 B．22 C．9 D．1
考点：秦九韶算法．
专题：计算题；算法和程序框图．
分析：所给的多项式写成关于x的一次函数的形式，依次写出，得到最后结果，从里到外进行运算，得到要求的值．
解答：解：f（x）=2x5﹣3x4+7x3﹣9x2+4x﹣10
=（2x4﹣3x3+7x2﹣9x+4）x﹣10
=x+4）x﹣10
={x+4}x﹣10
={{x+7}x﹣9}x+4}x﹣10
∴在x=2时的值时，V3的值为=x+7=9
故选：C．
点评：本题考查秦九韶算法，本题解题的关键是对多项式进行整理，得到符合条件的形式，不管是求计算结果还是求加法和减法的次数都可以．
7．（5分）某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程
零件数x个10 20 30 40 50
加工时间y（min）62 75 81 89
表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（）
A．68 B．68.2 C．69 D．75
考点：线性回归方程．
专题：应用题．
分析：根据表中所给的数据，做出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，根据由最小二
乘法求得回归方程，代入样本中心点求出该数据的值，
解答：解：设表中有一个模糊看不清数据为m．
由表中数据得：=30，=，
由于由最小二乘法求得回归方程．
将x=30，y=代入回归直线方程，得m=68．
故选A．
点评：本题考查线性回归方程的应用，解题的关键是正确应用线性回归方程进行预测．
8．（5分）若程序框图输出的S是62，则条件①可为（）
A．n≤5B．n≤6C．n≤7D．n≤8
考点：程序框图．
专题：计算题．
分析：由S1=0，（n≥2），可得S n=2n﹣2．令2n﹣2=62，则n=6．进而可推断①的限制条件．
解答：解：由S1=0，（n≥2），可得=2n﹣2．
令2n﹣2=62，则n=6．
故①中可为n≤5．
故选A．
点评：弄清循环结构的功能及得出S与n的关系式，是解决问题的关键．
9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角的余弦值为（）
A．B．C．D．
考点：异面直线及其所成的角．
专题：空间角．
分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点A，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可．
解答：解：如图，将EF平移到AC，连结B1C，
则∠B1AC为异面直线AB1与EF所成的角，
∵三角形B1AC为等边三角形，
∴故异面直线AB1与EF所成的角60°，
∴cos∠B1AC=．
故选A．
点评：本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
10．（5分）下面有三个游戏规则，袋子中分别装有球，从袋中无放回地取球，则其中不公平的游戏是（）
游戏1
（有3个黑球和1个白球，游戏时取1个球，再取1个球）游戏2
（有1个黑球和1个白球，游戏时单取1个球）游戏3
（有2个黑球和2个白球，游戏时取1个球，再取1个球）
取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜
取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜
A．游戏1和游戏3 B．游戏1 C．游戏2 D．游戏3
考点：概率的意义．
专题：探究型．
分析：分别计算出每个游戏中所给事件的概率，若两事件的概率大小相同则说明此游戏是公平的，否则说明不公平．
解答：解：对于游戏1，基本事件数有六种，取出两球同色即全是黑球有三种取法，其概率是，取出颜色不同的概率也是，故游戏1公平；
对于游戏2，基本事件数有两种，两个事件的概率都是，故游戏2公平；
对于游戏3，基本事件数有六种，两球同色的种数有二种，故其概率是，颜色不同的概率
是，故此游戏不公平，乙胜的概率大．
综上知，游戏3不公平．
故选D
点评：本题考查概率的意义，考查游戏的公平性，求解本类题的关键是利用列举法及等可能事件的概率计算出每个事件的概率以此研究每个游戏是否公平．
11．（5分）设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲
线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率e为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．
解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知
可知|PF1|=2=4b
根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=；∴e====．
故选：D．
点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．
12．（5分）f（x）是定义在非零实数集上的函数，f′（x）为其导函数，且x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，记a=，b=，c=，则（）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：令g（x）=，得到g（x）在（0，+∞）递减，通过＞20.2＞0.22，从而得出答案．
解答：解：令g（x）=，则g′（x）=，
∵x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＜0，
∴g（x）在（0，+∞）递减，
又＞=2，1＜20.2＜2，0.22=0.04，
∴＞20.2＞0.22，
∴g（）＜g＜g（0.22），
∴c＜a＜b，
故选：C．
点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了导数的应用，考查了指数，对数的性质，是一道中档题．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）若曲线y=ax2﹣lnx在点（1，a）处的切线平行于x轴，则a=．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：先求出函数的导数，再由题意知在1处的导数值为0，列出方程求出k的值．
解答：解：由题意得，
∵在点（1，a）处的切线平行于x轴，
∴2a﹣1=0，得a=，
故答案为：．
点评：本题考查了函数导数的几何意义应用，难度不大．
14．（5分）从等腰直角△ABC的底边BC上任取一点D，则△ABD为锐角三角形的概率为．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：根据△ABD为锐角三角形，确定D的位置，然后根据几何概型的概率公式即可得到结论．
解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，E为BC的中点，
∴B=45°，当D位于E时，△ABD为直角三角形，
∴当D位于线段EC上时，△ABD为锐角三角形，
∴根据几何概型的概率公式可得△ABD为锐角三角形的概率为，
故答案为：
点评：本题主要考查几何概型的概率公式的计算，利用锐角三角形，确定D的位置是解决本题的关键．
15．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为﹣2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1．
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由题设条件知直线AB的方程为x=﹣y+，代入抛物线
方程，得y2+2py﹣p2=0，由线段AB的中点的纵坐标为﹣2，推导出y1+y2=﹣2p=﹣4，由此能求出结果．
解答：解：∵抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为﹣1的直线交抛物线于A、B两点，∴直线AB的方程为：y=﹣x+，
∴x=﹣y+，
把x=﹣y+代入抛物线方程，
整理得y2+2py﹣p2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1+y2=﹣2p，
∵线段AB的中点的纵坐标为﹣2，
∴y1+y2=﹣4，
∴p=2，
∴抛物线方程为y2=4x，
∴该抛物线的准线方程为x=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
点评：本题考查抛物线的准线方程的求法，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的简单性质．
16．（5分）方程+=1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜．
其中真命题的序号是②④（写出所有正确命题的序号）．
考点：圆锥曲线的共同特征．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：①当4﹣t=t﹣1＞0，即t=时，曲线C表示圆；
②若曲线C为双曲线，则（4﹣t）（t﹣1）＜0，解出即可判断出；
③若4﹣t＞0，t﹣1＞0且4﹣t≠t﹣1，解出即可得出曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4﹣t＞t﹣1＞0．
解答：解：方程+=1表示曲线C，以下命题：
①当4﹣t=t﹣1＞0，即t=时，曲线C表示圆，因此不正确；
②若曲线C为双曲线，则（4﹣t）（t﹣1）＜0，解得t＜1或t＞4，正确；
③若4﹣t＞0，t﹣1＞0且4﹣t≠t﹣1，解得1＜t＜4且，则曲线C为椭圆，因此不正确；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4﹣t＞t﹣1＞0，解得1＜t＜，正确．
综上可得真命题为：②④．
故答案为：②④．
点评：本题考查了分类讨论的思想方法，考查了椭圆双曲线圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．解答题（本大题共6小题，第17题10分，其余每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．（10分）设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足（x﹣3）（x﹣2）＜0
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：（1）若a=1，求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为真，则p，q为真，即可求实数x的取值范围；
（2）求出命题p，q的等价条件，利用p是q的必要不充分条件，即可求实数a的取值范围．解答：解：（1）若a=1，不等式为x2﹣4x+3＜0，即1＜x＜3，即p：1＜x＜3，
由（x﹣3）（x﹣2）＜0则2＜x＜3，即q：2＜x＜3，
若p∧q为真，则p，q同时为真，
即，解得2＜x＜3，
则实数x的取值范围是2＜x＜3；
（2）∵x2﹣4ax+3a2＜0，
∴（x﹣a）（x﹣3a）＜0，
若a＞0，则不等式的解为a＜x＜3a，
若a＜0，则不等式的解为3a＜x＜a，
∵q：2＜x＜3，
∴若p是q的必要不充分条件，
则a＞0，且，
即1≤a≤2，
则实数a的取值范围是．
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，利用不等式的解法时解决本题的关键．
18．（12分）2014-2015学年高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数．
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）．
（3）设m，n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m，n∈，求事件“|m﹣n|＞2”的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据频率分布直方图能求出成绩在
（3）成绩在，
∴事件“|m﹣n|＞2”的概率
p==．
点评：本题考查众数、中位数的求法，考查概率的计算，是中档题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的合理运用．
19．（12分）已知椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，A为椭
圆C1上的一点，B为抛物线C2：y2=x上一点，且A为线段OB的中点．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）求直线AB的方程．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）由题意可得：，，又a2=b2+c2，联立解得即可得出；
（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得
，解出即可得出．
解答：解：（1）∵椭圆C1：=1（a＞b＞0）过点，离心率e=，∴，，又a2=b2+c2，联立解得，c=1，a=2．
∴椭圆C1的方程为．
（2）设A点坐标为（x0，y0），则B点坐标为（2x0，2y0），分别代入椭圆和抛物线方程得
，
消去y0并整理得：﹣12=0，解得x0=或．
当x0=时，解得y0=；
当时，y0无解．
∴直线AB的方程为y=．
点评：本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、中点坐标公式、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，EA∥PD，AD=PD=2EA，F，G，H 分别为PB，EB，PC的中点．
（1）求证：FG∥平面PED；
（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小．
考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．
专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．
分析：（1）利用三角形的中位线的性质证明FG∥PE，再根据直线和平面平行的判定定理证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，根据两个平面的法向量所成的角与二面角相等或互补，由两个平面法向量所成的角求解二面角的大小
解答：（1）证明：∵F，G分别为PB，BE的中点，
∴FG∥PE，
∵FG⊄平面PED，PE⊂平面PED，
∴FG∥平面PED；
（2）解：∵EA⊥平面ABCD，EA∥PD，
∴PD⊥平面ABCD，
∵AD，CD⊂平面ABCD，
∴PD⊥AD，PD⊥CD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设EA=1
∵AD=PD=2EA，
∴D（0，0，0），P（0，0，2），A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），E（2，0，1），∴=（2，2，﹣2），=（0，2，﹣2）．
∵F，G，H分别为PB，EB，PC的中点，
∴F（1，1，1），G（2，1，0.5），H（0，1，1），
∴=（﹣1，0，0.5），=（﹣2，0，0.5）
设=（x，y，z）为平面FGH的一个法向量，则，
得=（0，1，0）
同理可得平面PBC的一个法向量为=（0，1，1），
∴cos＜，＞=||=，
∴平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小为45°．
点评：本题考查了线面平行的判定，考查了面面角，训练了利用平面法向量求解二面角的大小，解答此类问题的关键是正确建系，准确求用到的点的坐标，此题是中档题．
21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．
（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
考点：轨迹方程；三角形中的几何计算；点到直线的距离公式．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（Ⅰ）设点P的坐标为（x，y），先分别求出直线AP与BP的斜率，再利用直线AP 与BP的斜率之间的关系即可得到关系式，化简后即为动点P的轨迹方程；
（Ⅱ）对于存在性问题可先假设存在，由面积公式得：
．根据角相等消去三角函数得比例式，
最后得到关于点P的纵坐标的方程，解之即得．
解答：解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．设点P的坐标为（x，y）
化简得x2+3y2=4（x≠±1）．
故动点P轨迹方程为x2+3y2=4（x≠±1）
（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）
则．
因为sin∠APB=sin∠MP N，
所以
所以
即（3﹣x0）2=|x02﹣1|，解得
因为x02+3y02=4，所以
故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为．
点评：本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．
22．（12分）设a∈R，函数f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）设g（x）=e x﹣x﹣1，若对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，．令
f'（x）=0得：．列出表格即可得出函数的单调性极值；
（II）对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x）max≤g （x）min．利用导数分别在定义域内研究其单调性极值与最值即可．
解答：解：（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）=x2﹣3x+lnx，
．
令f'（x）=0得：
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
x 1 （1，+∞）
f'（x）+ 0 ﹣0 +
f（x）单调递增极大单调递减极小单调递增
因此，当时，f（x）有极大值，且；
当x=1时，f（x）有极小值，且f（x）极小值=﹣2．
（Ⅱ）由g（x）=e x﹣x﹣1，则g'（x）=e x﹣1，
令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．
∴g（x）在（﹣∞，0）是减函数，在（0，+∞）是增函数，
即g（x）最小值=g（0）=0．
对于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，则有f（x1）≤g（0）即可．
即不等式f（x）≤0对于任意的x∈（0，+∞）恒成立．
（1）当a=0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令f'（x）＜0，解得
x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）最大值=f（1）=﹣1＜0，
∴a=0符合题意．
（2）当a＜0时，，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1；令
f'（x）＜0，解得x＞1．
∴f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，
∴f（x）最大值=f（1）=﹣a﹣1≤0，
得﹣1≤a＜0，
∴﹣1≤a＜0符合题意．
（3）当a＞0时，，f'（x）=0得，
时，0＜x1＜1，令f'（x）＞0，解得或x＞1；
令f'（x）＜0，解得．
∴f（x）在（1，+∞）是增函数，
而当x→+∞时，f（x）→+∞，这与对于任意的x∈（0，+∞）时f（x）≤0矛盾．
同理时也不成立．
综上所述：a的取值范围为．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考察了推理能力和计算能力，属于难题．。