徐水区二中学校2018-2019学年高二上学期二次月考试卷数学

徐水区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． “3<-b a ”是“圆056222=++-+a y x y x 关于直线b x y 2+=成轴对称图形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查圆的一般方程、圆的几何性质、常用逻辑等知识，有一定的综合性，突出化归能力的考查，属于中等难度．
2． 设集合A={x|x+2=0}，集合B={x|x 2﹣4=0}，则A ∩B=（ ）
A ．{﹣2}
B ．{2}
C ．{﹣2，2}
D ．∅
3． 用反证法证明命题：“已知a 、b ∈N *，如果ab 可被5整除，那么a 、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ）
A ．a 、b 都能被5整除
B ．a 、b 都不能被5整除
C ．a 、b 不都能被5整除
D ．a 不能被5整除
4． 集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，集合S=A ∩B ，则集合S 的子集有（ ） A ．2个 B ．3 个 C ．4 个 D ．8个
5． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
6． 已知向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），若与共线．则n 等于（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
7． 在函数y=
中，若f （x ）=1，则x 的值是（ ）
A ．1
B ．1或
C ．±1
D ．
8． 下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A ．y=x ﹣1
B ．y=（）x
C ．y=x+
D ．y=ln （x+1）
9． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．（￢p ）∨q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．（￢p ）∧（￢q ）
10．“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的（ ）条件
A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
11．已知函数()21
11
x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2- 12．已知双曲线和离心率为4
sin
π
的椭圆有相同的焦点21F F 、，P 是两曲线的一个公共点，若 2
1
cos 21=
∠PF F ，则双曲线的离心率等于（ ） A ． B ．25 C ．26 D ．2
7
二、填空题 13．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④
sin sin sin a b c
A B C
+=+.其中恒成立的等式序号为_________.
14．曲线y=x 2和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为 ．
15．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 ．
16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．
17．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药
量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y=（
）t ﹣a （a 为常数），
如图所示，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室．
18．命题p ：∀x ∈R ，函数
的否定为 ．
三、解答题
19．一个几何体的三视图如图所示，已知正（主）视图是底边长为1的平行四边形，侧（左）视图 31的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． （1）求该几何体的体积V ；111]
（2）求该几何体的表面积S ．
20．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
21．已知直线l ：x ﹣y+9=0，椭圆E ： +=1，
（1）过点M （，）且被M 点平分的弦所在直线的方程；
（2）P 是椭圆E 上的一点，F 1、F 2是椭圆E 的两个焦点，当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大，并说明理由；
（3）求与椭圆E 有公共焦点，与直线l 有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，直线PA 与圆O 相切于点A ，PBC 是过点O 的割线，CPE APE ∠=∠，点H 是线段ED 的中 点.
（1）证明：D F E A 、、、四点共圆； （2）证明：PC PB PF ⋅=2
.
23．已知f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ．
（1）若不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]，求实数a ，b 的值； （2）若b=3，求不等式f （x ）＞0的解集．
24．如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM=60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记∠AOP=θ，θ∈（0，π）．
（1）当θ=时，求点P距地面的高度PQ；
（2）试确定θ的值，使得∠MPN取得最大值．
徐水区第二中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】
2．【答案】A
【解析】解：由A中的方程x+2=0，解得x=﹣2，即A={﹣2}；
由B中的方程x2﹣4=0，解得x=2或﹣2，即B={﹣2，2}，
则A∩B={﹣2}．
故选A
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．【答案】B
【解析】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故选：B．
4．【答案】C
【解析】解：∵集合A={1，2，3}，集合B={﹣1，1，3}，
∴集合S=A∩B={1，3}，
则集合S的子集有22=4个，
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的基本运算和集合子集个数的求解，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础．5．【答案】A
【解析】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．【答案】A
【解析】解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），且与共线．
∴1×（n﹣2）=﹣1×n，解之得n=1
故选：A
7．【答案】C
【解析】解：∵函数y=中，f（x）=1，
∴当x≤﹣1时，x+2=1，解得x=﹣1；
当﹣1＜x＜2时，x2=1，解得x=1或x=﹣1（舍）；
当x≥2时，2x=1，解得x=（舍）．
综上得x=±1
故选：C．
8．【答案】D
【解析】解：①y=x﹣1在区间（0，+∞）上为减函数，
②y=（）x是减函数，
③y=x+，在（0，1）是减函数，（1，+∞）上为，增函数，
④y=lnx在区间（0，+∞）上为增函数，
∴A，B，C不正确，D正确，
故选：D
【点评】本题考查了基本的函数的单调区间，属于基本题目，关键掌握好常见的函数的单调区间．
9． 【答案】B
【解析】解：命题p ∧（￢q ）是真命题，则p 为真命题，￢q 也为真命题， 可推出￢p 为假命题，q 为假命题， 故为真命题的是p ∨q ， 故选：B ．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p ∨q 全假时假，p ∧q 全真时真．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：因为p 假真时，p q ∨真，此时p ⌝为真，所以，“p q ∨ 真”不能得“p ⌝为假”，而“p ⌝为假”时p 为真，必有“p q ∨ 真”，故选B. 考点：1、充分条件与必要条件；2、真值表的应用. 11．【答案】A 【解析】
试题分析：由已知得()2112x f x x x -==-，则()21
'f x x
=，所以()'11f =． 考点：1、复合函数；2、导数的几何意义. 12．【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，焦距为c 2，m PF =1，n PF =2，且不妨设
n m >，由12a n m =+，22a n m =-得21a a m +=，21a a n -=，又2
1
c os 21=
∠PF F ，∴由余弦定理可知：mn n m c -+=2224，2
221234a a c +=∴，432
221=+∴c a c a ，设双曲线的离心率为，则
432
2122=+e
）（，解得2
6
=e .故答案选C ．
考点：椭圆的简单性质．
【思路点晴】本题主要考查圆锥曲线的定义和离心率.根据椭圆和双曲线的定义，由P 为公共点，可把焦半径1PF 、2PF 的长度用椭圆的半长轴以及双曲线的半实轴21,a a 来表示，
接着用余弦定理表示2
1
cos 21=∠PF F ，成为一个关于21,a a 以及的齐次式，等式两边同时除以2
c ，即可求得离心率.圆锥曲线问题在选择填空中以考查定义和几何性质为主.
二、填空题
13．【答案】②④ 【解析】
试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2
A B π
+=
，所以三角形为等腰三角
形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正
确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知
sin sin sin a b c
A B C
+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵曲线y=x 2
和直线：x=1的交点为（1，1），和直线y=的一个交点为（，）
∴曲线y=x 2
和直线x=0，x=1，y= 所围成的图形的面积为S=
（）dx+dx=（x
﹣x 3
）+（x 3﹣x ）=．
故答案为：．
15．【答案】 50π
【解析】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：，
所以球的半径为：；则这个球的表面积是：
=50π．
故答案为：50π．
16．【答案】
．
【解析】解：在△ABC 中，∵6a=4b=3c
∴b=
，c=2a ，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．
17．【答案】0.6
【解析】解：当t＞0.1时，可得1=（）0.1﹣a
∴0.1﹣a=0
a=0.1
由题意可得y≤0.25=，
即（）t﹣0.1≤，
即t﹣0.1≥
解得t≥0.6，
由题意至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
故答案为：0.6
【点评】本题考查函数、不等式的实际应用，以及识图和理解能力．易错点：只单纯解不等式，而忽略题意，得到其他错误答案．
18．【答案】∃x0∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
故答案为：∃x
∈R，函数f（x0）=2cos2x0+sin2x0＞3，
三、解答题
．
19．【答案】（132）623
【解析】
（2）由三视图可知，
该平行六面体中1A D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面11BCC B ， ∴12AA =，侧面11ABB A ，11CDD
C 均为矩形，
2(11112)6S =⨯++⨯=+ 1
考点：几何体的三视图；几何体的表面积与体积．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图、解题的表面积与体积的计算，其中解答中涉及到几何体的表面积和体积公式的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状是解答的关键． 20．【答案】证明见解析． 【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
21．【答案】
【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1+x2=1，y1+y2=1，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：+=1，
得，∴k AB==﹣=﹣，
∴直线AB 的方程为y ﹣=﹣（x ﹣），即2x+8y ﹣5=0．
（2）设|PF 1|=r 1，|PF 2|=r 1，
则cos ∠F 1PF 2==
﹣1=
﹣1=﹣1，
又r 1r 2≤（
）2=a 2
（当且仅当r 1=r 2时取等号）
∴当r 1=r 2=a ，即P （0，）时，cos ∠F 1PF 2最小，
又∠F 1PF 2∈（0，π），∴当P 为短轴端点时，∠F 1PF 2最大．
（3）∵
=12，
=3，∴
=9．
则由题意，设所求的椭圆方程为
+
=1（a 2＞9），
将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y ，得（2a 2﹣9）x 2+18a 2x+90a 2﹣a 4
=0，
依题意△=（18a 2）2﹣4（2a 2﹣9）（90a 2﹣a 4
）≥0， 化简得（a 2﹣45）（a 2
﹣9）≥0，
∵a 2﹣9＞0，∴a 2
≥45，
故所求的椭圆方程为=1．
【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．
22．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【
解
析
】
11
11]
试题解析：解：（1）∵PA 是切线，AB 是弦，∴C BAP ∠=∠，CPE APD ∠=∠， ∴CPE C APD BAP ∠+∠=∠+∠，
∵CPE C AED APD BAP ADE ∠+∠=∠∠+∠=∠, ∴AED ADE ∠=∠，即ADE ∆是等腰三角形
又点H 是线段ED 的中点，∴ AH 是线段ED 垂直平分线，即ED AH ⊥
又由CPE APE ∠=∠可知PH 是线段AF 的垂直平分线，∴AF 与ED 互相垂直且平分， ∴四边形AEFD 是正方形，则D F E A 、、、四点共圆. （5分） （2由割线定理得PC PB PA ⋅=2
，由（1）知PH 是线段AF 的垂直平分线，
∴PF PA =，从而PC PB PF ⋅=2
（10分）
考点：与圆有关的比例线段． 23．【答案】
【解析】解：（1）∵函数f （x ）=x 2﹣（a+b ）x+3a ， 当不等式f （x ）≤0的解集为[1，3]时， 方程x 2﹣（a+b ）x+3a=0的两根为1和3， 由根与系数的关系得
，
解得a=1，b=3；
（2）当b=3时，不等式f （x ）＞0可化为 x 2﹣（a+3）x+3a ＞0， 即（x ﹣a ）（x ﹣3）＞0；
∴当a ＞3时，原不等式的解集为：{x|x ＜3或x ＞a}； 当a ＜3时，原不等式的解集为：{x|x ＜a 或x ＞3}； 当a=3时，原不等式的解集为：{x|x ≠3，x ∈R}．
【点评】本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法和应用问题，是基础题目．
24．【答案】
【解析】解：（1）由题意得PQ=50﹣50cos θ，
从而当
时，PQ=50﹣50cos
=75．
即点P 距地面的高度为75米．
（2）由题意得，AQ=50sin θ，从而MQ=60﹣50sin θ，NQ=300﹣50sin θ．
又PQ=50﹣50cos θ，所以tan
，tan
．
从而tan ∠MPN=tan （∠NPQ ﹣∠MPQ ）=
=．
令g（θ）=．θ∈（0，π）
则，θ∈（0，π）．
由g′（θ）=0，得sinθ+cosθ﹣1=0，解得．
当时，g′（θ）＞0，g（θ）为增函数；当x时，g′（θ）＜0，g（θ）为减函数．
所以当θ=时，g（θ）有极大值，也是最大值．
因为．所以．
从而当g（θ）=tan∠MNP取得最大值时，∠MPN取得最大值．
即当时，∠MPN取得最大值．
【点评】本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．。