利用几何画板求解二维线性规划整点最优解

利用几何画板求解二维线性规划整点最优解
纪宏伟
【摘要】线性规划是数学应用的重要内容之一,其蕴含的优化思想、数形结合思想是数学中的基本思想。

求解线性规划问题关键步骤是在图上完成的,所以要求作图
尽可能精确,图上操作尽可能规范。

本论述探讨了利用几何画板求解两个变量的线
性规划问题最优整数解的方法,它可以帮助学生深化对整点最优解问题及解的原理
的认识和理解,在教学中有一定的应用和推广价值。

【期刊名称】《甘肃科技纵横》
【年(卷),期】2011(040)005
【总页数】3页(P174-175,112)
【关键词】几何画板;线性规划;整点最优解
【作者】纪宏伟
【作者单位】江苏教育学院如皋分院,江苏如皋226500
【正文语种】中文
【中图分类】O221.1
线性规划问题不仅在现代生活中有着广泛应用，而且在数学领域里也潜藏着深厚的文化底蕴和思想内涵。

线性规划的理论和方法在辅助人们进行管理决策、统筹规划、优化配置、提高经济效益等方面不可或缺，业已成为现代科学管理的重要手段之一。

其主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，
如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务。

用线性规划理论求某个实际问题的最优解，就必须将一般文字语言转化为数学语言进而建立数学模型，将实际问题数学化，一般按以下步骤来进行：（1）明确问题中有待确定的未知量，并用数学符号表示；（2）明确问题中所有的限制条件，并用线性方程或线性不等式表示；（3）明确问题的目标，并用线性函数表示。

在此基础上，根据线性约束条件作出可行域，然后利用线性目标函数求得最优解。

线性规划将数与形融汇为一体，把“形”的位置关系表征为“数”的大小关系，是数与形相结合的典范，蕴含了丰富的数学内容和知识内涵，体现出数学思想的力量和魅力。

1 整数规划及图解法
高中数学介绍的是只有两个变量的线性规划问题，通常将之称为简单的线性规划问题。

在一个规划问题里，如果它的全部变量或者部分变量要求取整数值时，就叫它为整数规划问题。

要求变量取整数值的问题，在生产实际里是经常碰到的。

例如人员的分派，机器及车辆的调度中，人、机器、车辆等的数目，都必须是整数，才有实际的意义。

这类问题解决的是一些二元线性约束条件下二元函数的最值，通常采用图解法解决。

所谓图解法，就是利用坐标图去解线性规划问题的方法，由于关键步骤是在图上完成的，所以作图尽可能精确，图上操作尽可能规范。

众所周知，在求解线性规划问题“画，移，求，答”的4个基本步骤里，作图是最关键的地方，清晰直观的几何图形不仅能帮助学生了解线性规划问题的一些基本概念、理论及解的原理，而且可以使学生能得心应手地解决线性规划问题。

但是，对于线性规划整点最优解问题，由于作图难免有误差，有时候仅由作图也不一定就能准确而规范地找到最优解。

而如果求得问题的解是小数，为了达到获得整数解的目的，用舍去小数方法，或进位的方法使解成为整数的话，这很可能不是原问题的最优解。

事实上，对于这类问题，学生有很多困惑，质疑比较普遍。

利用几何画板寻求整点最优解，
方法简单，直观性强，准确性、精确度高，可以帮助学生对整点解问题及解的原理有一个更为直观、更透彻的理解。

2 几何画板求解优势
几何画板是一个适用于数学（平面几何、解析几何、立体几何、函数、三角等）教学的软件平台，是欧氏几何“尺规作图”的一种现代延伸。

几何画板改变了枯燥单调的教学场景，激发了学生的好奇心和探求知识的兴趣，使寻求最优解成为动态的、生动活泼的探索发现过程。

选择几何画板作为求解线性规划整点最优解的工具，是因为其有如下特点：
（1）直观性强。

用几何画板的解法与高中课本阐述的解法一致，只不过用几何画板制图比手工制图更快捷，方便、准确，更利于让学生观察和理解。

几何画板具有强大而快速的测量运动功能，如度量了一个自由点的坐标后，拖动这个点，其坐标值会同步跟踪变化。

在用拖点观察法求整数解时，这个功能非常重要，可以无遗漏的寻找出所有的解。

这些操作用实物或教具演示都是有很大困难的或者是不现实的。

（2）准确性高。

几何画板的精确的作图功能（精度可设置到千分位）和特有的点的坐标度量功能，确保了解的精度，对于二维线性规划问题，这种特性保证了其可操作性。

（3）降低了繁难度。

几何画板有多种多样的测量功能，可直接作出直线的交点，并可度量交点的坐标值。

使得本需解直线方程组才能确定的一些直线的交点坐标值，简单到只要执行一个菜单命令，大大减少了运算量。

（4）为“数形结合”开辟通道。

在图形的变化过程中，数量变化特征也可以直观地展现在学生眼前，数的变与不变，图形的动与静，把数与形的潜在关系完美结合并动态地显示出来。

3 具体操作说明
下面以实例说明几何画板作图求解整数最优解的操作方法。

例：幼儿园要将两种大小不同的彩纸折成A，B两种玩具，第一种纸每张可以折出2个A玩具和1个B玩具，第二种纸每张可以折出1个A玩具和3个B玩具，现幼儿园需要A，B两种玩具的个数最少分别为15个和27个。

请问：要得到所需的玩具，这两种纸如何配置，才能使用纸量最少？
解：设需要第一种纸张张，第一种纸张y张，用纸量为z。

约束条件为
目标函数为z=x+y
打开几何画板，具体操作步骤是：
（1）选择【图表→定义坐标轴】，建立直角坐标系。

选择【图表→绘制点…】，在弹出的“绘制点”对话框中输入后单击确定，绘出两点A，B。

选中这两点，执行【构造→直线】，这样就绘制出了直线l1:2x+y≥15，用同样的方法绘制出直线l2:x+3y≥27，其中，l1:2x+y≥15与两坐标轴的交点分别标记为C，D。

（2）选中l1和l2两条直线，执行【构造→交点】，得到两直线的交点E；选中B 点和x轴，执行【构造→平行线】，得到x轴的平行线l3；选中C点和y轴，同样执行【构造→平行线】，得到y轴的平行线l4；再选中l3和l4两条直线，执行【构造→交点】，得到两直线的交点F，最后依次选择点C、E、B、F后，选择【构造→四边形内部】（这是个智能命令，依据对象的不同而出现不同的命令），作出四边形CEBF。

此四边形内部及右上方区域皆为可行域。

（4）用步骤（2）所述的方法作出直线l5:x+y=0，选择E和直线l5，执行【构造→平行线】菜单命令，得到直线l6，l6与y轴相交于G。

选择G点，执行【度量→坐标】，得到，同样度量得到。

由图1可见l6虽然与原点最近，但G、E的坐标值不是整数，不合题意要求。

图1 求解示意图
（5）显然，在y轴上距G点最近且纵坐标大于11.40的点是（0，12），用【图表→绘制点…】绘出点 H（0，12），过 H 作 l5的平行线 l7分别交 l1、l2于 I，J两点，则问题的解所对应的点可能在线段IJ上。

（6）在l7上任作一个自由点K，选择【度量→坐标】度量出K的坐标，拖动K 点在线段IJ上缓慢移动，此时为使图上的最优点明显易辨，将坐标刻度可视范围变大，注意观察K点坐标值的变化，当K点坐标为（4.00，8.00）和（3.00，9.00）时，为问题的最优解。

答：要使用纸量最少有两种方法，第一种方法是第一张纸用3张，第二张纸用9张；第二种方法是第一张纸用4张，第二张纸用8张。

对于相对较简单的非整点规划最优解问题，采用类似的方法，亦可轻松解决，读者可以举一反三，在此就不赘述了。

特别值得一提的是，涉及更多变量的线性规划问题是不能采用以上方法求解的，需要借助计算机专业软件来解决，如 Lindo、Matlab、Excel、Mathmatical、Spss等。

4 结束语
线性规划整点最优解问题不仅是对高中数学直线方程内容的深化，更重要的是加强了数学与生产实践的联系，培养了学生“用数学”的意识。

利用几何画板求解二维线性规划问题整点最优解，清晰明了，快捷直观，实现了数学问题的动态可视化，克服了教师手工作图不精确、作图效率不高的弱点，丰富了教学手段，提高了教学内容直观性，突破了教学难点，有助于学生深化对整点最优解问题及解的原理的认识和理解，有效提高了学生的观察、思考和动手能力，在教学中有较高的应用和推广价值。

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