结构力学 静定结构的位移计算
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在工程上，吊车梁允许的挠度 跨度； 在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 高度。 高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移< 层高。 最大层间位移 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 铁路工程技术规范规定 桥梁在竖向活载下， 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度 跨度
i i
FP
1
FN 2
（2）刚体系的虚位移原理 ） 去掉约束而代以相应的 反力， 反力，该反力便可看成外 则有： 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是： 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 对于任何可能的 可能 虚位移， 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。 做虚功之和为零。
3∆/2 P 2∆
XA = 0 ∆
YA = P / 2
YB = P / 2
P P 3∆ ⋅ ∆ + ⋅ 2∆ − P ⋅ =0 2 2 2
（3）变形体的虚功原理 ）
原理的表述： 原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体， 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时， 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段内力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
A
单位位移法的虚功方程 单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理” 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理” 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为， 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。 它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是 对 虚位移原理 一个力系平衡的充分必要条件是:对 一个力系平衡的充分必要条件是 任意协调位移,虚功方程成立 虚功方程成立. 任意协调位移 虚功方程成立 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是 一个位移是协调的充分必要条件是:对 虚力原理 一个位移是协调的充分必要条件是 对 任意平衡力系,虚功方程成立 虚功方程成立” 任意平衡力系 虚功方程成立”。
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系 (4)用几何法来解静力平衡问题 用几何法来解静力平衡问题
C
单位位移法(Unit-Displacement Method) 单位位移法
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 ）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 虚设的平衡力状态 调位移状态之间 之间。 调位移状态之间。
∆ W = P∆
θ
W = Mθ
3)作虚功的力系为两个等值 3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶 M M P
4)作虚功的力系为两个等值 4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
∆A
∆B
P
W = P∆ A + P∆ B = P(∆ A + ∆ B ) = P∆
θB θA W = Mθ A + Mθ B = M (θ A + θ B ) = Mθ
第三章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§3.1 结构位移计算概述 一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
β
P
∆A
A′
∆ Ax
∆ Ay
线位移 位移 转角位移
∆ A − A点线位移 ∆ Ax −A点水平位移 ∆ Ay − A点竖向位移 β − A截面转角
(2) 超静定、动力和稳定计算 超静定、 (3）施工要求 ）
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。 ） 。
叠加原理适用（principle of superposition)
+ t oC
P
∆ ∆t
W = P∆ t
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功 、实功(Real Work)和虚功 和虚功 (Virtual Work)
∆ 21 ∆ 22
P2
注意： 注意： P1 （1）属同一体系； 体系； ） 同一体系 （ ）均为可能状态。 ∆11 2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件 应满足变形协调条件； ∆12 力状态应满足平衡条件 平衡条件。 力状态应满足平衡条件。 P1 （3）位移状态与力状态完全无关； 完全无关； ）位移状态与力状态完全无关
3. 原理可有两种应用： 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 平衡问题化为几何问题来求解。 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 位移分析化为平衡问题来求解。 将位移分析化为平衡问题来求解。
力状态
P2
∆12
位移状态
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 广义力 、 (Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× ∆ W=P× P---广义力; ∆ ---广义位移 ---广义力 ---广义位移 广义力; 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 P M
X
C
∆C
a
(a)
b
X
(b)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 去掉A端约束并代以反力 ，构造相应的虚位移状态. 解：去掉 端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，∆ = 0 对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 对静定结构 X ⋅∆ + P⋅
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 ）虚功原理用于虚设的协调位移状态与 虚设的协调位移状态 平衡力状态之间 之间。 平衡力状态之间。
端的支座反力(Reaction at Support)。 例. 求 A 端的支座反力 。 直线 P P ∆ A B
(c)
由外力虚功总和为零， 由外力虚功总和为零，即： X 实际受力状态的平衡方程 ∑ M B = 0 X = −bP / a 将 ∆ X / ∆ C = a / b 代入得 代入得: (2)虚位移与实际力状态无关 故可设 ∆ x = 1 虚位移与实际力状态无关,故可设 虚位移与实际力状态无关 ∆X = 1 = δ x 通常取
适用于各种杆件体系(线性 非线性 适用于各种杆件体系 线性,非线性 线性 非线性).
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 单位荷载法
点竖向位移. 求k点竖向位移 点竖向位移
∆iP
k
P =1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
∆iP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
（4）变形体虚功方程的展开式 ） δWi 的计算 的计算: q M + dM M
微段外力: 微段外力
N
N + dN
Q
ds
Q + dQ
微段变形可看成由如下几部分组成: 微段变形可看成由如下几部分组成
微段拉伸
δθ ⋅ ds
微段弯曲
δε ⋅ ds δγ ⋅ ds 微段剪切
对于直杆体系，由于变形互不耦连， 对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
§3.1 结构位移计算概述 一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
β
∆ Ay
为什么要计算 A′ ∆A 位移? 位移?
∆ Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 温度改变 ? 生位移? 生位移 支座移动 制造误差 等
+ to
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构 线弹性直杆组成的结构， 对于由线弹性直杆组成的结构，有：
δε P =
∆ ip
适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
NP kQ M , δγ P = P , δθ P = P EA GA EI N N kQ P Q i M PM i = ∑ ∫[ P i + + ] ds EA GA EI
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 单位荷载法
点竖向位移. 求k点竖向位移 点竖向位移 由变形体虚功方程: 由变形体虚功方程
∆iP
k
P =1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
δWe =δWi δWe =P ∆iP δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds ∆iP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
三、变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 ） 具有理想约束的质点系， 具有理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的必要和 充分条件是： 充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 可能的虚位移 对于任何可能的虚位移， 作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。 做虚功之和为零。也即 →. → Σf δr =0
δ We = δ Wi
几个问题: 几个问题
1. 虚功原理里存在两个状态： 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件； 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题 必要性命题。 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明表明 原理适用于任何 (线性和非线性 的 原理的证明表明:原理适用于 原理适用于任何 线性和非线性 线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构 任何结构。 变形体，适用于任何结构。
例 1：已知图示粱的 、G, ：已知图示粱的E 点的竖向位移。 求A点的竖向位移。 点的竖向位移
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
时引起C点的竖向位移 例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 点的竖向位移 ∆. A′ 1 c B A B C C ∆ A b C′ a 所建立的虚功方程 Y(1)所建立的虚功方程 所建立的虚功方程, 实质上是几何方程 几何方程。 实质上是几何方程。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 首先构造出相应的虚设力状态。 (2)虚设的力状态与实 虚设的力状态与实 单位荷载。 点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 点 沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载 际位移状态无关， 际位移状态无关，故 M B = 0 求得： Y A = − b / a 求得： 由∑ 可设单位广义力 P=1 1 ⋅ ∆ + YA ⋅ c = 0 (3)求解时关键一步是 虚功方程为： 虚功方程为： 求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 解得： 解得： ∆ = b⋅c / a 平衡关系。 平衡关系。 这是单位荷载法 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) (4)是用静力平衡法来 是用静力平衡法来 提出， 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 和 提出 解几何问题。 解几何问题。 Maxwell-Mohr Method
四、 计算方法 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功 、实功(Real Work)和虚功 和虚功 (Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功 实功： P 1 ∆ W = P∆ 2 虚功： 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功
i i
FP
1
FN 2
（2）刚体系的虚位移原理 ） 去掉约束而代以相应的 反力， 反力，该反力便可看成外 则有： 力。则有：刚体系处于平 衡的必要和充分条件是： 衡的必要和充分条件是： 对于任何可能的 对于任何可能的 可能 虚位移， 虚位移，作用于刚 体系的所有外力所 做虚功之和为零。 做虚功之和为零。
3∆/2 P 2∆
XA = 0 ∆
YA = P / 2
YB = P / 2
P P 3∆ ⋅ ∆ + ⋅ 2∆ − P ⋅ =0 2 2 2
（3）变形体的虚功原理 ）
原理的表述： 原理的表述：
任何一个处于平衡状态的变形体， 任何一个处于平衡状态的变形体，当 发生任意一个虚位移时， 发生任意一个虚位移时，变形体所受外力 在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变 形体各微段内力在微段变形位移上作的虚 功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立
A
单位位移法的虚功方程 单位位移法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程 单位荷载法的虚功方程
平衡方程 几何方程
第一种应用一些文献称为“虚位移原理” 第一种应用一些文献称为“虚位移原理”， 而将第二种应用称为“虚力原理” 而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的 说法为， 说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 性命题。上述两原理都是充分、必要性命题， 它们和虚功原理是有区别的。 它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是 对 虚位移原理 一个力系平衡的充分必要条件是:对 一个力系平衡的充分必要条件是 任意协调位移,虚功方程成立 虚功方程成立. 任意协调位移 虚功方程成立 虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是 一个位移是协调的充分必要条件是:对 虚力原理 一个位移是协调的充分必要条件是 对 任意平衡力系,虚功方程成立 虚功方程成立” 任意平衡力系 虚功方程成立”。
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系 (4)用几何法来解静力平衡问题 用几何法来解静力平衡问题
C
单位位移法(Unit-Displacement Method) 单位位移法
2）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 ）虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协 虚设的平衡力状态 调位移状态之间 之间。 调位移状态之间。
∆ W = P∆
θ
W = Mθ
3)作虚功的力系为两个等值 3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶 M M P
4)作虚功的力系为两个等值 4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力
∆A
∆B
P
W = P∆ A + P∆ B = P(∆ A + ∆ B ) = P∆
θB θA W = Mθ A + Mθ B = M (θ A + θ B ) = Mθ
第三章 静定结构的位移计算
Displacement of Statically Determinate Structures
§3.1 结构位移计算概述 一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
β
P
∆A
A′
∆ Ax
∆ Ay
线位移 位移 转角位移
∆ A − A点线位移 ∆ Ax −A点水平位移 ∆ Ay − A点竖向位移 β − A截面转角
(2) 超静定、动力和稳定计算 超静定、 (3）施工要求 ）
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。 ） 。
叠加原理适用（principle of superposition)
+ t oC
P
∆ ∆t
W = P∆ t
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功 、实功(Real Work)和虚功 和虚功 (Virtual Work)
∆ 21 ∆ 22
P2
注意： 注意： P1 （1）属同一体系； 体系； ） 同一体系 （ ）均为可能状态。 ∆11 2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件 应满足变形协调条件； ∆12 力状态应满足平衡条件 平衡条件。 力状态应满足平衡条件。 P1 （3）位移状态与力状态完全无关； 完全无关； ）位移状态与力状态完全无关
3. 原理可有两种应用： 原理可有两种应用： 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态， 平衡问题化为几何问题来求解。 将平衡问题化为几何问题来求解。 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态， 位移分析化为平衡问题来求解。 将位移分析化为平衡问题来求解。
力状态
P2
∆12
位移状态
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
二、广义力(Generalized force)、广义位移 广义力 、 (Generalized displacement)
一个力系作的总虚功 W=P× ∆ W=P× P---广义力; ∆ ---广义位移 ---广义力 ---广义位移 广义力; 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 例: 1)作虚功的力系为一个集中力 2)作虚功的力系为一个集中力偶 P M
X
C
∆C
a
(a)
b
X
(b)
待分析平衡的力状态 虚设协调的位移状态 去掉A端约束并代以反力 ，构造相应的虚位移状态. 解：去掉 端约束并代以反力 X，构造相应的虚位移状态
(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，∆ = 0 对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是 对静定结构 X ⋅∆ + P⋅
δWe =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 ）虚功原理用于虚设的协调位移状态与 虚设的协调位移状态 平衡力状态之间 之间。 平衡力状态之间。
端的支座反力(Reaction at Support)。 例. 求 A 端的支座反力 。 直线 P P ∆ A B
(c)
由外力虚功总和为零， 由外力虚功总和为零，即： X 实际受力状态的平衡方程 ∑ M B = 0 X = −bP / a 将 ∆ X / ∆ C = a / b 代入得 代入得: (2)虚位移与实际力状态无关 故可设 ∆ x = 1 虚位移与实际力状态无关,故可设 虚位移与实际力状态无关 ∆X = 1 = δ x 通常取
适用于各种杆件体系(线性 非线性 适用于各种杆件体系 线性,非线性 线性 非线性).
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 单位荷载法
点竖向位移. 求k点竖向位移 点竖向位移
∆iP
k
P =1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
∆iP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
（4）变形体虚功方程的展开式 ） δWi 的计算 的计算: q M + dM M
微段外力: 微段外力
N
N + dN
Q
ds
Q + dQ
微段变形可看成由如下几部分组成: 微段变形可看成由如下几部分组成
微段拉伸
δθ ⋅ ds
微段弯曲
δε ⋅ ds δγ ⋅ ds 微段剪切
对于直杆体系，由于变形互不耦连， 对于直杆体系，由于变形互不耦连，有: δWi =Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds
§3.1 结构位移计算概述 一、结构的位移 (Displacement of Structures)
A
β
∆ Ay
为什么要计算 A′ ∆A 位移? 位移?
∆ Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 温度改变 ? 生位移? 生位移 支座移动 制造误差 等
+ to
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
----适用于各种杆件体系 线性 非线性 适用于各种杆件体系(线性 非线性). 适用于各种杆件体系 线性,非线性 对于由线弹性直杆组成的结构 线弹性直杆组成的结构， 对于由线弹性直杆组成的结构，有：
δε P =
∆ ip
适用于线弹性 直杆体系, 直杆体系
NP kQ M , δγ P = P , δθ P = P EA GA EI N N kQ P Q i M PM i = ∑ ∫[ P i + + ] ds EA GA EI
§ 3.3 荷载作用产生的位移计算
一.单位荷载法 单位荷载法
点竖向位移. 求k点竖向位移 点竖向位移 由变形体虚功方程: 由变形体虚功方程
∆iP
k
P =1
变形协调的 位移状态(P) 平衡的力 状态(i)
δWe =δWi δWe =P ∆iP δWi =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds ∆iP =Σ∫[NiδεP +QiδγP +MiδθP ]ds
三、变形体的虚功原理 （1）质点系的虚位移原理 ） 具有理想约束的质点系， 具有理想约束的质点系，在 某一位置处于平衡的必要和 充分条件是： 充分条件是： 对于任何可能的虚位移， 可能的虚位移 对于任何可能的虚位移， 作用于质点系的主动力所 做虚功之和为零。 做虚功之和为零。也即 →. → Σf δr =0
δ We = δ Wi
几个问题: 几个问题
1. 虚功原理里存在两个状态： 虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件； 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调 条件。因此原理仅是必要性命题 必要性命题。 条件。因此原理仅是必要性命题。 2. 原理的证明表明 原理适用于任何 (线性和非线性 的 原理的证明表明:原理适用于 原理适用于任何 线性和非线性 线性和非线性)的 变形体，适用于任何结构 任何结构。 变形体，适用于任何结构。
例 1：已知图示粱的 、G, ：已知图示粱的E 点的竖向位移。 求A点的竖向位移。 点的竖向位移
解：构造虚设单位力状态. 构造虚设单位力状态
时引起C点的竖向位移 例. 求 A 端支座发生竖向位移 c 时引起 点的竖向位移 ∆. A′ 1 c B A B C C ∆ A b C′ a 所建立的虚功方程 Y(1)所建立的虚功方程 所建立的虚功方程, 实质上是几何方程 几何方程。 实质上是几何方程。 解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之 首先构造出相应的虚设力状态。 (2)虚设的力状态与实 虚设的力状态与实 单位荷载。 点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。 点 沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载 际位移状态无关， 际位移状态无关，故 M B = 0 求得： Y A = − b / a 求得： 由∑ 可设单位广义力 P=1 1 ⋅ ∆ + YA ⋅ c = 0 (3)求解时关键一步是 虚功方程为： 虚功方程为： 求解时关键一步是 找出虚力状态的静力 解得： 解得： ∆ = b⋅c / a 平衡关系。 平衡关系。 这是单位荷载法 这是单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) (4)是用静力平衡法来 是用静力平衡法来 提出， 它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为 和 提出 解几何问题。 解几何问题。 Maxwell-Mohr Method
四、 计算方法 单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)
§3.2 变形体虚功原理 (Principle of Virtual Work)
一、功(Work)、实功 、实功(Real Work)和虚功 和虚功 (Virtual Work)
功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移 实功：力在自身所产生的位移上所作的功 实功： P 1 ∆ W = P∆ 2 虚功： 虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功