数值分析(02)线性空间与赋范线性空间

, n V ，令
, kn F
则 V1 是 V 的子空间，称为由元素 1 , 2 , 记作 V1 span 1 , 2 ,
, n 生成的子空间，
, n
P[ x]n span 1, x, x ,
2
,x
n
是Ｃ［a，ｂ］的子空间
矩阵代数中的几个重要子空间 1、矩阵的零空间 m n 设A R ，齐次线性方程组Ax 0的 全体解集合是R n的子空间，称为A的零空间， 记为N ( A),
代数运算的八条规则 设 , , V ; , F (1) ; ( 2) ;
( 3) 在V中存在零元素 0, 对任何 V , 都有 0 ; (4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使 0; (5) 1 ; (6) ;
n i 1
, n ) ,则
k11 k2 2
则称 为 1 , 2 , 由 1 , 2 ,
kn n = ki i V ( F )
, n 的一个线性组合，或称 可
, n 线性表出。
定义2-2 : 设Ｖ是定义在数域F 上的线性空间,
1 , 2 , ..., m V , 若存在一组不全为零的数k1 , k2 , ...,
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
3、线性空间的基和维数 已知：在 R n中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题： 在线性空间V中，最多能有多少线性无关的向量？
3、线性空间的基和维数
若 1 , 2 ,
, n V ( F ) ， ki F (i 1, 2,
N ( A) x R n | Ax 0, A R mn R n


1 1 2 ，求N ( A). 例 已知A 0 1 1 1 3 4
1 1 2 1 1 2 1 0 1 解 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 3 4 0 2 2 0 0 0 x1 x3 x2 x3 1 令x3 1, 基础解系为 1 1
验证：R
mn
中任意两个矩阵定义矩阵的“加法”
和“数乘”运算，且封闭
即：A (aij )mn R mn , B (bij )mn R mn 加法 A B (aij bij )mn R mn 数乘 A ( aij )mn R mn , R mn 所以R 是线性空间。
Ｃ［a，ｂ］：区间［a，ｂ］上一元连续函数的全体。是 Ｒ上的线性空间,因为两个连 续函数之和以及实数ｋ与连续函数乘积仍是连续函数； Ｃｎ［a，ｂ］：类似于Ｃ［a，ｂ］，在区间［a，ｂ］上 ｎ阶连续可微的一元函数全体.构成Ｒ上的线性空间。
线性空间的判定方法
（１）一个集合，如果定义的加法和数乘运算是通常的 实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性． 例１ 实数域上的全体 m n矩阵，对矩阵的加法 n 和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 R m．
x 为行向量 , 向量的“维”是指向量 所含 分量的个数 .
T
线性空间是为了解决实际问题而引入的，它是某一类 事物从量的方面的一个抽象，即把实际问题看作线性空间， 进而通过研究线性空间来解决实际问题．
2、几个具体的线性空间实例
Ｒ：可以看成是实数域Ｒ上的线性空间，加法和数乘是
实数中的加法和数乘； Ｃ：可以看成是复数域Ｃ上的线性空间，加法是复数的 加法，数乘是实数与复数按复数乘法相乘；
（２）一个集合，如果定义的加法和数乘运 算不是通常的实数间的加乘运算，则必需检验是 否满足八条线性运算规律．
R 例5 正实数的全体，记作 ，在其中定义加法 及乘数运算为 a b ab, a a , R, a, b R .
验证 R 对上述加法与数乘运算构成线性空间． 证明 a , b R , a b ab R ;
第二章 数值分析基础
第一节 线性空间与赋范线性空间
第二节 内积空间与内积空间中的正交系
第三节 初等变换阵与特殊矩阵
第一节 线性空间与赋范线性空间
一、线性空间
1.线性空间概念 定义2-1 设Ｖ是一个非空集合，F是数域，如果 ①在集合Ｖ中定义了加法运算，记为“+”， ②即∀α，β∈Ｖ，有α+β∈Ｖ； ③在数域F和集合Ｖ的元素之间定义了数量乘法， ④即∀ k∈F，α∈Ｖ，有kα∈Ｖ； ⑤上述定义的加法和数乘运算满足代数运算的八条规则 则称集合Ｖ是定义在数域F上的线性空间或向量空间， 记为Ｖ（F）。
Ｒｍ×ｎ（Ｃｍ×ｎ）：实数域（复数域）上所有ｍ×ｎ矩
阵的集合。按矩阵的加法和数乘矩阵定义加法和数乘， 构成线性空间；
P[x]n：实数域上所有次数≤ｎ的多项式。按多项式加法和 数乘多项式定义加法和数乘，构成线性空间。但次数＝ｎ 的多项式全体不能构成线性空间； P[x]：实数域上多项式全体.按多项式加法和数乘多项式法 则构成线性空间；
A的零空间为 N ( A) span k | k R k ( 1, 1,1)T | k R


矩阵A的零空间的一般结论 A R ，若r ( A) r (1) N ( A)是齐次线性方程组Ax 0的解空间。
(2)dim( N ( A)) n r (3)若 dim( N ( A)) 0,即r ( A) n, 则Ax 0只有零解N ( A) 0。
f1 ( x) f2 ( x) f 3 ( x) 0
于是存在不全为0的数1、 1、 -1使得
所以f1 ( x), f 2 ( x), f 3 ( x)线性相关。
例2 在线性空间P[ x ]4中, 证明： p0 ( x ) 1, p1 ( x ) x , p2 ( x ) x 2 , p3 ( x ) x 3 , p4 ( x ) x 4是线性无关的.
(3) R中存在零元素1, 对任何a R , 有
a 1 a 1 a;
(4) a R , 有负元素a 1 R , 使
a a 1 a a 1 1;
(5) 1 a a a;
1
( 6 ) a a a
解: 令 k0 p0 ( x ) k1 p1 ( x ) k2 p2 ( x ) k3 p3 ( x ) k4 p4 ( x ) 0
即：

k0 k1 x k2 x k3 x k4 x 0
2 3 4
所以p0 ( x ) 1, p1 ( x ) x, p2 ( x ) x 2 , p3 ( x ) x 3 , p4 ( x ) x 4 是线性无关的.
. Q[ x ]n 对运算不封闭
例4 在区间 [a , b] 上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．
f ( x ), g( x ) C[a , b], 有 f ( x ) g( x ) C[a , b],
f ( x ) C[a , b], R
m n
（2）矩阵的列空间和行空间
矩阵的两种分块表示 a11 a 21 ... am 1 a12 a22 ... am 2 a1n ... a2 n ... ... ... amn ...
km F，使 k1 k2 2 ... km m 0 则称元素组1 , 2 , ..., m 线性相关, 否则称它们线性无关.
例1 已知P[ x ]2 中的元素 f1 ( x ) x 2 x 1, f 2 ( x ) 2 x 5, f 3 ( x ) x 3 x 6, 讨论f1 ( x ), f 2 ( x ), f 3 ( x )的线性相关性. 解 : 设有k1 , k2 , k3使
2
k1 f1 ( x ) k2 f 2 ( x ) k3 f 3 ( x ) 0
即

(k1 k3 ) x (k1 2k2 3k3 ) x (k1 5k2 6k3 ) 0
2
解得
k1 k3 0 k1 2k2 3k3 0 k 5k 6k 0 2 3 1 k1 k 3 k2 k3
k k k k k
0 1 2 3
4
0
定义2-3
在线性空间 V 中，
如果存在 n 个元素
满足： (1) 1 , 2 ,, n线性无关; ( 2) V中任一元素总可由 1 , 2 , , n线性
表示, 那末, 1 , 2 ,, n 就称为线性空间V 的一个
1 , 2 ,, n
P[ x]n 对运算封闭.
例3
n次多项式的全体 Q[ x ]n { p( x ) an x n a1 x a0 an , , a1 , a0 R, 且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成线性空间.
0 p 0 x n 0 x 0 Q[ x ]n
例2
次数不超过n的多项式的全体, 记作P[ x ]n , 即 a1 x a0 an , , a1 , a0 R},
P[ x ]n { p( x ) an x n 空间.
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成线性
(a n x n a1 x a 0) (b n x n b1 x b0) (a n b n) x n (a1 b1) x (a 0 b0) P[ x]n n (a n x a 1 x a 0 ) n ( a n) x ( a1) x ( a 0) P[ x]n
数值分析数值分析16112233kkkkfxkfxkfxpxfxfxfxfx讨论的线性相关性数值分析数值分析171312312323560kkxkkkxkkkfxfxfx0111数值分析数值分析18kkxkxkxkx0011223344pxpxxpxxpxxpxxpxpxpxxpxxpxxpxx数值分析数值分析19定义23在线性空间如果存在个元素cab数值分析数值分析204线性空间的子空间生成的子空间记作数值分析数值分析21矩阵代数中的几个重要子空间na数值分析数值分析22基础解系为的零空间为数值分析数值分析23mnarnaranaxna2dimnanr数值分析数值分析2411122122矩阵的两种分块表示2矩阵的列空间和行空间数值分析数值分析25数值分析数值分析26axraraspan数值分析数值分析27raspamnrayryaxxrrdimdimrarara数值分析数值分析28数值分析数值分析29数值分析数值分析30kkkk数值分析数值分析31数值分析数值分析32pxpxpxpxpaaxaxaxaxaaaaa数值分析数值分析33xqxqxqx若取另一基数值分析数值分析34线性空间v的任一元素在不同基下所对应的坐标一般不同一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的
基, n 称为线性空间V 的维数. 维数为n的线性空间称为 n 维线性空间 , 记作V n .
R是 1 维线性空间 P[x]n是n 1维线性空间
C[a, b]是无穷维线性空间。
Rn是n维线性空间
4、线性空间的子空间
设 V 是线性空间， 1 , 2 ,
n V1 ki i | k1 , k2 , i 1

R, a R , a a R . 所以对定义的加法与数乘运算封闭．


下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a;
( 2)( a b) c (ab ) c (ab )c a (b c );
(7) ; (8) .
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也 是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推广．
n维向量空间R
n
n维向量 x ( x1 , x2 ,
x1 x2 T , xn ) 为列向量 xn

ຫໍສະໝຸດ a a;(7) a a a a a a a a;
(8) (a b ) (ab ) ab a b

a b a b.