计时双基练59高考数学 高三专题训练

计时双基练五十九 统计图表、数据的数字特征、用样
本估计总体
A 组 基础必做
1．某厂10名工人在一个小时内生产零件的个数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )
A ．a >b >c
B ．b >c >a
C ．c >a >b
D ．c >b >a
解析 把该组数据按从小到大的顺序排列为10,12,14,14,15,15,16,17,17,17，其平均数a ＝1
10×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋15
2＝15，众数c ＝17，则a <b <c 。

答案 D
2．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x ，方差为s 2，则( )
A ．x ＝5，s 2<2
B ．x ＝5，s 2>2
C ．x >5，s 2<2
D ．x >5，s 2>2
解析 设18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，所以1
9(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，所以x ＝5，由方差定义及意义可知加新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，所以s 2<2。

答案 A
3．(2015·海淀期末)某部门计划对某路段进行限速，为调查限速60 km/h 是否合理，对通过该路段的300辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图所示的频率分布直方图，则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有( )
A ．75辆
B ．120辆
C ．180辆
D ．270辆
解析 由图可知组距为10，则车速在[40,50)，[50,60)的频率分别是0.25,0.35，因此车速低于限速的汽车共有(0.25＋0.35)×300＝180(辆)。

答案 C
4.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中m ，n 的比值m
n ＝( )
A.1
B. 13
C. 29
D. 38
解析 由茎叶图可知甲的数据为27,30＋m,39，乙的数据为20＋n,32,34,38。

由此可知乙的中位数是33，所以甲的中位数也是33，所以m ＝3。

由此可以得出甲的平均数为33，所以乙的平均数也为33，所以有20＋n ＋32＋34＋384
＝33，所以n ＝8。

所以m n ＝3
8，故选D 。

答案 D
5．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为( )
分数
5
4
3
2
1
人数 20 10 30 30 10
A. 3 B ．3 C.210
5 D.85
解析 因为
x ＝5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10100
＝3， 所以s 2
＝1
100×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2
－3)2＋10×(1－3)2]＝85，所以这100人成绩的标准差为210
5。

答案 C
6．如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布，则网民年龄在[35,40)的频率为( )
A．0.04 B．0.06
C．0.2 D．0.3
解析由已知得网民年龄在[20,25)的频率为0.01×5＝0.05，在[25,30)的频率为0.07×5＝0.35.因为年龄在[30,35)，[35,40)，[40,45]的上网人数呈递减的等差数列分布，所以其频率也呈递减的等差数列分布，又年龄在[30,45]的频率为1－0.05－0.35＝0.6，所以年龄在[35,40)的频率为0.2。

故选C。

答案 C
7．(2015·广东卷)已知样本数据x1，x2，…，x n的均值x＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2x n＋1的均值为________。

解析由题意，y i＝2x i＋1(i＝1,2，…，n)，
则y＝2x－＋1＝2×5＋1＝11。

答案11
8．甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位：℃)用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是________，气温波动较大
的城市是________。

解析根据茎叶图可知，甲城市上半年的平均气温为
9＋13＋17×2＋18＋22
＝16，乙城市上半年的平均气温为6
12＋14＋17＋20＋24＋27
＝19，故两城市中平均气温较高的城市是6
乙。

观察茎叶图可知，甲城市的气温更加集中在峰值附近，故乙城市的气温波动较大。

答案乙乙
9．(2016·武汉模拟)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时
间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，
上学所需时间的范围是[0,100]，样本数据分组为[0,20)，[20,40)，
[40,60)，[60,80)，[80,100]，则
(1)图中的x＝________。

(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，则
该校600名新生中估计有________名学生可以申请住宿。

解析x等于该组的频率除以组距20。

由频率分布直方图知20x＝1－20×(0.025＋0.006 5＋0.003＋0.003)，解得x＝0.012 5，上学期间不少于1小时的学生频率为0.12，因此估计有0.12×600＝72(名)学生可以申请住宿。

答案(1)0.012 5(2)72
10．某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为100分)的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：
(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数；
(2)求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高。

解(1)分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08。

由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为2
0.08＝25。

(2)分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布
直方图中[80,90]间的矩形的高为4
25÷10＝0.016。

11．(2015·广东卷)某工厂36名工人的年龄数据如下表。

工人编号年龄
工人
编号
年龄
工人
编号
年龄
工人
编号
年龄
140103619272834 244113120432939 340123821413043 441133922373138
5 33 14 43 23 34 32 42
6 40 15 45 24 42 33 53
7 45 16 39 25 37 34 37
8 42 17 38 26 44 35 4
9 9
43
18
36
27
42
36
39
分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；
(2)计算(1)中样本的均值x －和方差s 2；
(3)36名工人中年龄在x －－s 与x －＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?
解 (1)依题意知所抽取的样本编号是一个首项为2，公差为4的等差数列，故其所有样本编号依次为2,6,10,14,18,22,26,30,34，对应样本的年龄数据依次为44,40,36,43,36,37,44,43,37。

(2)由(1)可得其样本的均值
x ＝44＋40＋36＋43＋36＋37＋44＋43＋37
9
＝40， 方差s 2
＝1
9[(44－40)2＋(40－40)2＋(36－40)2＋(43－40)2＋(36－
40)2
＋(37－40)2
＋(44－40)2
＋(43－40)2
＋(37－40)2
]＝19[42
＋02＋(－
4)2
＋32
＋(－4)2
＋(－3)2
＋42
＋32
＋(－3)2
]＝100
9。

(3)由(2)知s ＝103，所以x －s ＝3623，x ＋s ＝431
3。

因为年龄在x －s 与x ＋s 之间共有23人，
所以其所占的百分比是23
36≈63.89%。

B组培优演练
1．(2016·宝鸡模拟)为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e，众数为m o，平均值为x，则()
A．m e＝m o＝x B．m e＝m o<x
C．m e<m o<x D．m o<m e<x
解析30个数中第15个数是5，第16个数是6，
所以中位数m e＝5＋6
2
＝5.5，众数m o＝5，平均值x＝
3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2
30＝179
30
，所以
m0<m e<x
－，故选D。

答案 D
2．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据。

已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为________。

解析设5个班级的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，
则x1＋x2＋x3＋x4＋x5
5
＝7，
(x1－7)2＋(x2－7)2＋(x3－7)2＋(x4－7)2＋(x5－7)2
5
＝4，即5个整数平方和为20，最大的数不能超过10，否则方差超过4，故最大值为10，最小值为4。

答案10
3．(2015·南昌一模)
在一次演讲比赛中，6位评委对一名选手打分的茎叶图如图所示，若去掉一个最高分和一个最低分，得到一组数据x i(1≤i≤4)，在如图所示的程序框图中，x是这4个数据的平均数，则输出的v的值为________。

解析根据题意得到的数据为78,80,82,84，则x＝81。

该程序框图的功能是求以上数据的方差，故输出的v的值为
(78－81)2＋(80－81)2＋(82－81)2＋(84－81)2
4
＝5。

答案 5
4．(2015·广州调研)
某单位N名员工参加“社区低碳你我他”活动。

他们的年龄在25岁至50岁之间。

按年龄分组：第1组[25,30)，第2组[30,35)，第3组[35,40)，第4组[40,45)，第5组[45,50]，得到的频率分布直方图如图所示。

下表是年龄的频率分布表。

区间[25,30)[30,35)[35,40)[40,45)[45,50]
人数25 a b
(2)现要从年龄较小的第1,2,3组中用分层抽样的方法抽取6人，则年龄在第1,2,3组的人数分别是多少？
(3)在(2)的条件下，从这6人中随机抽取2人参加社区宣传交流活动，求恰有1人在第3组的概率。

解(1)由频率分布直方图可知，[25,30)与[30,35)两组的人数相同，所以a＝25。

＝100。

且b＝25×0.08
0.02
总人数N＝25
＝250。

0.02×5
(2)因为第1,2,3组共有25＋25＋100＝150人，利用分层抽样在150名员工中抽取6人，每组抽取的人数分别为：
第1组的人数为6×25
＝1，
150
＝1，
第2组的人数为6×25
150
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＝4，
第3组的人数为6×100
150
所以第1,2,3组分别抽取1人，1人，4人。

(3)由(2)可设第1组的1人为A，第2组的1人为B，第3组的4
人分别为C1，C2，C3，C4，则从6人中抽取2人的所有可能结果为：(A，B)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，
C2)，(B，C3)，(B，C4)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C1，C4)，(C2，C3)，
(C2，C4)，(C3，C4)，共有15种。

其中恰有1人年龄在第3组的所有结果为：(A，C1)，(A，C2)，
(A，C3)，(A，C4)，(B，C1)，(B，C2)，(B，C3)，(B，C4)，共有8种。

所以恰有1人年龄在第3组的概率为8。

15
11。