高三数学一轮复习课时作业4：§2.4 二次函数与幂函数

§2.4 二次函数与幂函数
A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)
1．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4』上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4 D ．a ≥－4
答案 A
解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a
2
≥4，解得a ≥8.
2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象可能是( )
答案 C
解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；
若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；
对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b
2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.
3．幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()
A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m
C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1
答案 D
解析 可作直线x ＝2，观察直线x ＝2和各图象交点的纵坐标可知2－1<2n <20<2m <21， ∴－1<n <0<m <1.
4．已知f (x )＝12
x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1
b )
B ．f (1a )<f (1
b )<f (b )<f (a )
C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )
D ．f (1a )<f (a )<f (1
b )<f (b )
答案 C
解析 因为函数f (x )＝12
x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1
a
，故选C.
5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间『0,2』上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2
答案 B
解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧
－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，
解得a ＝1. 6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间『2，＋∞)上为增函数”的________条件． 答案 充分不必要 解析 函数
f (x )＝x 2－4ax ＋3
在区间『2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a
2
＝2a ≤2，
即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间『2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
7．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)
解析 由题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
5－a >0，
36－4(5－a )(a ＋5)<0，
解得－4<a <4.
8．当α∈⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．
答案 二、四
解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝1
2时，y ＝x α的图象经过
第一象限．
9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈『－2，a 』，求函数的最小值g (a )． 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.
∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间『－2，a 』内，应进行讨论． 当－2<a <1时，函数在『－2，a 』上单调递减． 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；
当a ≥1时，函数在『－2,1』上单调递减，在『1，a 』上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.
综上，g (a )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－2a ， －2<a <1，－1， a ≥1.
10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间． 解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0， ∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①
由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② ∵方程②有两个相等的根， ∴Δ＝『－(2＋4a )』2－4a ·9a ＝0， 解得a ＝1或a ＝－1
5
.由于a <0，舍去a ＝1.
将a ＝－1
5
代入①式得
f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋6
5，
∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3』， 单调减区间是『－3，＋∞)．
B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)
11．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间『0,1』上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0』
B ．『2，＋∞)
C ．(－∞，0』∪『2，＋∞)
D ．『0,2』 答案 D
解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间『0,1』上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈『0,1』，
所以a >0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.
12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( ) A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0 B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0 C ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)＝0 D ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<0 答案 A
解析 由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0， 且f (1)＝0，f (0)＝c <0，
即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根， 当x >1时，f (x )>0. 由a >b ，得1>b
a
，
设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的另一个根为x 1， 则x 1＋1＝－b
a
>－1，即x 1>－2，
由f (m )<0可得－2<m <1， 所以1<m ＋3<4，
由抛物线的图象可知，f (m ＋3)>0，选A.
13．已知函数f (x )＝2
23
n n x －＋＋(n ＝2k ，k ∈N )在(0，＋∞)上单调递增，则n ＝________.
答案 0或2
解析 由题意知：－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.因为n 为非负偶数，所以n ＝0或2.
14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－a
b ， a ≤b ，b 2－ab ， a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，
且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是________． 答案 (0，1
4
)
解析 由题意得f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧
(2x －1)2－(2x －1)(x －1)， x ≤0，
(x －1)2
－(2x －1)(x －1)， x >0.
即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2－x ， x ≤0，
－x 2
＋x ， x >0.
如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <1
4
.
15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．
(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
f (x )，x >0，
－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；
(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1』上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b
2a ＝－1，
解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2.
∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
(x ＋1)2，x >0，
－(x ＋1)2
，x <0.
∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋『－(－2＋1)2』＝8.
(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1』上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1
x
－x 在(0,1』上恒成立．
又x ∈(0,1』时，1x －x 的最小值为0，－1
x －x 的最大值为－2.
∴－2≤b ≤0.
故b 的取值范围是『－2,0』．。