近场变换到远场公式

国伟华光学微腔及半导体激光器增益谱测量的研究
以验证其它对称操作，可以证明结果与前面对称性的描述完全一致。

其次我们可以看到理论上近似的结果与FDTD数值计算的结果吻合得很好，所以说Marcatili近似在这里是非常好的近似。

图4.6由Marcatili近似以及用FDTD方法得到的正方形微腔的模式分布
§4.3.6理论上计算正方形微腔的品质因子
由上一节的分析我们知道Marcatili近似所给出的模式频率和模场分布与FDTD方法得到的结果吻合得非常好。

在第三章我们还知道如果采用完全限制近似忽略掉圆形微腔以外的场那么其品质因子的信息也完全失去了。

在Marcatili近似中我们忽略掉了外角区的场并假定了盖层区的场是指数衰减的，那么我们是否也失去了品质因子的信息呢？下面就来看这一问题[25]。

由参考文献[26]可知，二维平面内某一封闭区域以外的场是由该区域边界上切向的电场和磁场所决定的。

边界上的电磁场称之为近场，无穷远处的场称之为远场，远场可通过近场在边界上的积分求得。

我们用r′矢量来指示远场点的位置，其方位角为φ，用r
中国科学院半导体研究所 博士学位论文
矢量来指示近场点的位置，y x j i r +=，i 和j 分别是x 方向和y 方向的单位矢量。

具体地见图4.7所示。

图4.7正方形微腔远场和近场的示意图
我们可由近场求得远场
)()
exp()(φK r r jk F z ′
′−=
′r (4.42) 其中F z 代表TE 模的H z 分量或者TM 模的E z 分量
∫′⋅′⋅−∂∂=C z z dC jk jkF F k j K )ˆexp(]ˆ)()([8)
43exp()(r r r n r n
r ππφ (4.43) 其中n 表示边界上的法向矢量，见图 4.7所示，r
′ˆ表示r ′方向的单位矢量)sin()cos(ˆφφj i r
+=′，)(y x ∂∂+∂∂⋅=∂∂j i n n 代表法向导数，积分是沿着封闭区域的边界进行的。

由方程(4.22)我们可求出Marcatili 近似下(p , q )模式的F z p , q 分量在正方形边界上的值以及其在边界上的法向导数值。

)cos()2
cos()
(2
||,
2,y y x x
a y a
x q p z y a
F ϕκϕκ−−±=≤
±=r (4.44) )2
cos()cos()
(2
,
2||,y y
x x a y a x q p z a
x F ϕκϕκ−±−=±
=≤r (4.45)。