九年级期末试卷达标检测卷(Word版 含解析)

九年级期末试卷达标检测卷（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．218
D ．247
2．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点．若∠OAC ＝16°，∠OBC ＝54°，则∠AOB 的大小是（ ）
A ．70°
B ．72°
C ．74°
D ．76° 3．如图，已知正五边形ABCD
E 内接于O ，连结,BD CE 相交于点
F ，则BFC ∠的度
数是（ ）
A ．60︒
B ．70︒
C ．72︒
D ．90︒
4．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（ ）
A ．3：4
B ．9：16
C ．9：1
D ．3：1
5．如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，∠BAC=50°，则∠ADC 为（ ）
A ．40°
B ．50°
C ．80°
D ．100° 6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ，若CD ＝8 cm ，MB ＝2 cm ，则直径AB 的
长为（ ）
A ．9 cm
B ．10 cm
C ．11 cm
D ．12 cm 7．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，
2y ，3y 的大小关系为（ ）
A ．123y y y >>
B ．132y y y >>
C ．231y y y >>
D ．312y y y >> 8．如图，O 的半径为2，弦2AB =，点P 为优弧AB 上一动点，60PAC ∠=︒，交直线PB 于点C ，则ABC 的最大面积是 ( )
A ．12
B ．1
C ．2
D 2
9．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为( )
A ．y =32x −2
B ．y =32x +2
C ．y =3()22x -
D ．y =3()2
2x + 10．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75° 11．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度
D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度
12．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
13．150°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是______cm ．
14．已知tan （α+15°）= 33
，则锐角α的度数为______°． 15．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为___．
16．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝
35，则tanA 等于 ． 17．已知，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，当y ＜0时，x 的取值范围
是________．
18．如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，
AD AB ＝AE AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，则AD 的长为_____．
19．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则
tan ADC ∠=______．
20．某小区2019年的绿化面积为3000m 2，计划2021年的绿化面积为4320m 2，如果每年绿化面积的增长率相同，设增长率为x ，则可列方程为______．
21．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中．点 A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的格点上，AB 、CD 相交于点E ，则sin ∠AEC 的值为_____．
22．已知234x y z x z y
+===，则_______ 23．如图，四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝5cm ，AD ＝3cm ，BC ＝2cm ，P 是AB 上一点，若以P 、A 、D 为顶点的三角形与△PBC 相似，则PA ＝_____cm ．
24．如图，一次函数y ＝x 与反比例函数y ＝k x
（k ＞0）的图像在第一象限交于点A ，点C 在以B （7，0）为圆心，2为半径的⊙B 上，已知AC 长的最大值为7，则该反比例函数的函数表达式为__________________________.
三、解答题
25．如图，AB BC =，以BC 为直径作
O ，AC 交O 于点E ，过点E 作EG AB ⊥于
点F ，交CB 的延长线于点G .
（1）求证：EG 是O 的切线；
（2）若23GF =，4GB =，求O 的半径. 26．如图，已知抛物线经过原点O ，顶点为A(1，1)，且与直线-2y x =交于B ，C 两点． （1）求抛物线的解析式及点C 的坐标；
（2）求△ABC 的面积；
（3）若点N 为x 轴上的一个动点，过点N 作MN ⊥x 轴与抛物线交于点M ，则是否存在以O ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
27．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元.
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
28．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD 为BC 边上的中线，DE AB ⊥于点E.
（1）求证：BDE CAD ∆∆∽；
（2）若13AB =，10BC =，求线段DE 的长.
29．如图，抛物线y=ax 2+bx+4(a ≠0)与x 轴交于点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)与y 轴交于点A ．
(1) a = ，b = ；
(2) 点M 从点A 出发以每秒1个单位长度的速度沿AB 向B 运动，同时，点N 从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿BC 向C 运动，当点M 到达B 点时，两点停止运动．t 为何值时，以B 、M 、N 为顶点的三角形是等腰三角形？
(3) 点P 是第一象限抛物线上的一点，若BP 恰好平分∠ABC ，请直接写出此时点P 的坐标．
30．如图，已知抛物线2
y x bx c =++经过(10)A -，、(30)B ，两点，与y 轴相交于点C . （1）求抛物线的解析式；
（2）点P 是对称轴上的一个动点，当PAC 的周长最小时，直接写出点P 的坐标和周长最小值;
（3）点Q 为抛物线上一点，若8QAB S =，求出此时点Q 的坐标.
31．某玩具商店以每件60元为成本购进一批新型玩具，以每件100元的价格销售则每天可卖出20件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商店决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件玩具每降价1元，则每天可多卖2件.
(1)若商店打算每天盈利1200元，每件玩具的售价应定为多少元？
(2)若商店为追求效益最大化，每件玩具的售价定为多少元时，商店每天盈利最多？最多盈利多少元？
32．“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量y （件）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系，如图所示.
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？
（3）该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据折叠得出∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，求出∠DFB ＝∠FEC，证△DBF∽△FCE，进而利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝5，
∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上，
∴△ADE≌△FDE，
∴∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，
设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y，AE＝5﹣y，
∵BF＝2，BC＝5，
∴CF＝3，
∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，
∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，
∴∠DFB＝∠FEC，
∵∠C＝∠B，
∴△DBF∽△FCE，
∴BD BF DF
FC CE EF
==，
即
25
35
x x
y y
-
==
-
，
解得：x＝21
8
，
即BD＝21
8
，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°求出∠ACB 的度数，然后根据同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解．
【详解】
解：连接OC
∵OA=OC，OB=OC
∴∠OAC=∠OCA=16°；∠OBC=∠OCB=54°
∴∠ACB=∠OCB-∠OCA=54°-16°=38°
∴∠AOB=2∠ACB=76°
故选：D
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，掌握相关性质定理是本题的解题关键.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则由正多边形的性质易求得∠COD和∠BOE的度数，然后根据圆周角定理可得∠DBC和∠BCF的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.【详解】
解：连接OA、OB、OC、OD、OE，如图，则∠COD=∠AOB=∠AOE=360
72
5
︒
=︒，
∴∠BOE=144°，
∴
1
36
2
DBC COD
∠=∠=︒，
1
72
2
BCE BOE
∠=∠=︒，
∴18072BFC DBC BCF ∠=︒-∠-∠=︒.
故选：C.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆、圆周角定理和三角形的内角和定理，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键.
4．B
解析：B
【解析】
【分析】
可证明△DFE ∽△BFA ，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【详解】
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴DC ∥AB ，
∴△DFE ∽△BFA ，
∵DE ：EC=3：1，
∴DE ：DC=3：4，
∴DE ：AB=3：4，
∴S △DFE ：S △BFA =9：16．
故选B ．
5．A
解析：A
【解析】
试题分析：先根据圆周角定理的推论得到∠ACB=90°，再利用互余计算出∠B=40°，然后根据圆周角定理求解．
解：连结BC ，如图，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=50°，
∴∠B=90°﹣50°=40°，
∴∠ADC=∠B=40°．
故选A ．
考点：圆周角定理．
6．B
解析：B
【解析】
【分析】
由CD ⊥AB ，可得DM=4．设半径OD=Rcm ，则可求得OM 的长，连接OD ，在直角三角形DMO 中，由勾股定理可求得OD 的长，继而求得答案．
【详解】
解：连接OD ，设⊙O 半径OD 为R,
∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点M ， ∴DM=12
CD=4cm ，OM=R-2, 在RT △OMD 中，
OD²=DM²+OM²即R²=4²+(R-2)²,
解得：R=5,
∴直径AB 的长为:2×5=10cm ．
故选B ．
【点睛】
本题考查了垂径定理以及勾股定理．注意掌握辅助线的作法及数形结合思想的应用．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】
解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质． 8．B
解析：B
【解析】
【分析】 连接OA 、OB ，如图1，由2OA OB AB ===可判断OAB 为等边三角形，则
60AOB ∠=︒，根据圆周角定理得1302
APB AOB ∠=∠=︒，由于60PAC ∠=︒，所以90C ∠=︒，因为2AB =，则要使ABC 的最大面积，点C 到AB 的距离要最大；由90ACB ∠=︒，可根据圆周角定理判断点C 在D 上，如图2，于是当点C 在半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 为等腰直角三角形，从而得到ABC 的最大面积．
【详解】
解：连接OA 、OB ，如图1，
2OA OB ==，2AB =，
OAB ∴为等边三角形，
60AOB ∴∠=︒，
1302
APB AOB ∴∠=∠=︒， 60PAC ∠=︒
90ACP ∴∠=︒
2AB =，要使ABC 的最大面积，则点C 到AB 的距离最大，
作ABC 的外接圆D ，如图2，连接CD ，
90ACB ∠=︒，点C 在D 上，AB 是D 的直径，
当点C 半圆的中点时，点C 到AB 的距离最大，此时ABC 等腰直角三角形，
CD AB ∴⊥，1CD =，
12ABC S ∴=⋅AB ⋅CD 12112
=⨯⨯=， ABC ∴的最大面积为1．
故选B ．
【点睛】
本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的判断与性质；记住等腰直角三角形的面积公式．
9．D
解析：D
【解析】
【分析】
先确定抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．
【详解】
解：抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），
∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
10．A
解析：A
【解析】
【详解】
解：∵四边形ABCO 是平行四边形，且OA=OC ，
∴四边形ABCO 是菱形，
∴AB=OA=OB ，
∴△OAB 是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∵BD 是⊙O 的直径，
∴点B 、D 、O 在同一直线上，
∴∠ADB=
12
∠AOB=30° 故选A ． 11．D
解析：D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x﹣2）2﹣1的图象．
故选D．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
12．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
二、填空题
13．6；
【解析】
解：设圆的半径为x，由题意得：
=5π，解得：x=6，故答案为6．
点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l= （弧长为l，圆心角
度数为n ，圆的半径为R ）．
解析：6；
【解析】
解：设圆的半径为x ，由题意得：
150180
x π =5π，解得：x =6，故答案为6． 点睛：此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长公式l =
180
n R π （弧长为l ，圆心角度数为n ，圆的半径为R ）． 14．15
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：tan （α+15°）=
∴α+15°=30°,
∴α=15°
故答案是15
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，
解析：15
【解析】
【分析】
直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
【详解】
解：tan （α+15°）∴α+15°=30°,
∴α=15°
故答案是15
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关特殊角的三角函数值是解题关键． 15．【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，
∴此扇形的弧长为=π．
故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键．
解析：π
【解析】
【分析】
根据弧长的公式列式计算即可．
【详解】
∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°， ∴此扇形的弧长为
603180
π⨯=π． 故答案为：π．
【点睛】
此题考查弧长公式，熟记公式是解题关键． 16．.
【解析】
试题分析：∵在△ABC 中，∠C＝90°，cosA ＝，∴.
∴可设.
∴根据勾股定理可得.
∴.
考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：
43
. 【解析】 试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝
35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.
∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33
BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.
17．【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），
故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．
故答案为：
解析：13x
【解析】
【分析】
直接利用函数图象与x 轴的交点再结合函数图象得出答案．
【详解】
解：如图所示，图象与x 轴交于（-1，0），（3，0），
故当y ＜0时，x 的取值范围是：-1＜x ＜3．
故答案为：-1＜x ＜3．
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x 轴的交点，正确数形结合分析是解题关键．
18．3
【解析】
【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】
解：∵＝，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12，
∴＝，
解得：AD ＝3，
故答案为：3．
【点睛】
本题
解析：3
【解析】
【分析】
把AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12代入已知比例式，即可求出答案．
【详解】 解：∵
AD AB ＝AE AC
，AE ＝2，EC ＝6，AB ＝12， ∴12AD ＝226
， 解得：AD ＝3，
故答案为：3．
【点睛】 本题考查了成比例线段，灵活的将已知线段的长度代入比例式是解题的关键.
19．【解析】
分析：
由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠A DC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=求得所求的值了.
详解：
∵AB 是 解析：34
【解析】
分析：
由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合
∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=
AC BC 求得所求的值了. 详解：
∵AB 是O 的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AC=3，AB=5，
∴4=，
∴tan ∠ABC=
34
AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=
34. 故答案为：34
. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.
20．3000(1+ x)2=4320
【解析】
【分析】
设增长率为x ，则2010年绿化面积为3000（1+x ）m2，则2021年的绿化面积为3000（1+x ）（1+x ）m2，然后可得方程．
【详解】
解析：3000(1+ x)2=4320
【解析】
【分析】
设增长率为x ，则2010年绿化面积为3000（1+x ）m 2，则2021年的绿化面积为3000（1+x ）（1+x ）m 2，然后可得方程．
【详解】
解：设增长率为x ，由题意得：
3000（1+x）2=4320，
故答案为：3000（1+x）2=4320．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
21．【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求
解析：25
【解析】
【分析】
通过作垂线构造直角三角形，由网格的特点可得Rt△ABD是等腰直角三角形，进而可得Rt△ACF是等腰直角三角形，求出CF，再根据△ACE∽△BDE的相似比为1：3，根据勾股定理求出CD的长，从而求出CE，最后根据锐角三角函数的意义求出结果即可．
【详解】
过点C作CF⊥AE，垂足为F，
在Rt△ACD中，CD＝22
1310
+=，
由网格可知，Rt△ABD是等腰直角三角形，因此Rt△ACF是等腰直角三角形，
∴CF＝AC•sin45°＝
2
2
，
由AC∥BD可得△ACE∽△BDE，
∴
1
3 CE AC
DE BD
==，
∴CE＝1
4
CD＝
10
，
在Rt△ECF中，sin∠AEC＝
225
210
CF
CE
=⨯=，
故答案为：25
．
考查锐角三角函数的意义、直角三角形的边角关系，作垂线构造直角三角形是解决问题常用的方法，借助网格，利用网格中隐含的边角关系是解决问题的关键．
22．2
【解析】
【分析】
设，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案.
【详解】
解：根据题意，设，
∴，，，
∴；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的
解析：2
【解析】
【分析】 设234
x y z k ===，分别用k 表示x 、y 、z ，然后代入计算，即可得到答案. 【详解】 解：根据题意，设
234x y z k ===， ∴2x k =，3y k =，4z k =， ∴2423x z k k y k
++==； 故答案为：2.
【点睛】
本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质，正确用k 来表示x 、y 、z. 23．2或3
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则
解析：2或3
【解析】
根据相似三角形的判定与性质，当若点A ，P ，D 分别与点B ，C ，P 对应，与若点A ，P ，D 分别与点B ，P ，C 对应，分别分析得出AP 的长度即可．
【详解】
解：设AP ＝xcm ．则BP ＝AB ﹣AP ＝(5﹣x )cm
以A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，
①当AD ：PB ＝PA ：BC 时，
352
x x =-， 解得x ＝2或3．
②当AD ：BC ＝PA +PB 时，3=25x x
-，解得x ＝3， ∴当A ，D ，P 为顶点的三角形与以B ，C ，P 为顶点的三角形相似，AP 的值为2或3． 故答案为2或3．
【点睛】
本题考查了相似三角形的问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．
24．或
【解析】
【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），则根据A 在y=x 上得m=n ，由AC 长的最大值为，可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ，进而可知AB=5，在Rt△ADB 中，AD=m ，BD= 解析：9y x =或16y x
= 【解析】
【分析】
过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），则根据A 在y=x 上得m=n ，由AC 长的最大值为7，可知AC 过圆心B 交⊙B 于C ，进而可知AB=5，在Rt △ADB 中，
AD=m ，BD=7-m ，根据勾股定理列方程即可求出m 的值，进而可得A 点坐标，即可求出该反比例函数的表达式.
【详解】
过A 作AD 垂直于x 轴，设A 点坐标为（m ，n ），
∵A 在直线y=x 上，
∴m=n ，
∵AC 长的最大值为7，
∴AC 过圆心B 交⊙B 于C ，
∴AB=7-2=5，
在Rt △ADB 中，AD=m ，BD=7-m ，AB=5，
∴m 2+(7-m)2=52，
解得：m=3或m=4，
∵A 点在反比例函数y ＝
k x
（k ＞0）的图像上， ∴当m=3时，k=9；当m=4时，k=16， ∴该反比例函数的表达式为：9y x = 或16y x
= ，
故答案为9y x =
或16y x
= 【点睛】 本题考查一次函数与反比例函数的性质，理解题意找出AC 的最长值是通过圆心的直线是解题关键.
三、解答题
25．（1）见解析；（2）
O 的半径为4. 【解析】
【分析】
(1) 连接OE ，利用AB=BC 得出A C ∠=∠，根据OE=OC 得出，OEC C ∠=∠，从而求出OE AB ，再结合EG AB ⊥即可证明结论；
(2)先利用勾股定理求出BF 的长，再利用相似三角形的性质对应线段比例相等求解即可.
【详解】
解：(1)证明：连接OE .
∵AB BC =∴A C ∠=∠
∵OE OC =∴OEC C ∠=∠
∴A OEC ∠=∠∴OE
AB ∵BA GE ⊥，∴OE EG ⊥，且OE 为半径 ∴EG 是O 的切线
(2)∵BF GE ⊥∴90BFG ∠=︒
∵GF =4GB =
∴2BF =
=
∵BF OE ∥∴BGF OGE ∆∆∽ ∴
BF BG OE OG =∴244OE OE
=+ ∴4OE =即O 的半径为4. 【点睛】
本题考查的知识点是切线的判定与相似三角形的性质，根据题目作出辅助线，数形结合是解题的关键.
26．（1）y=﹣（x ﹣1）2+1，C(﹣1，﹣3)；（2）3；（3）存在满足条件的N 点，其坐标
为(
53，0)或(73
，0)或(﹣1，0)或(5，0) 【解析】
【分析】 （1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C 点坐标；
（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，与x 轴交于D ，得到y ＝2x−1，求得BD 于是得到结论；
（3）设出N 点坐标，可表示出M 点坐标，从而可表示出MN 、ON 的长度，当△MON 和△ABC 相似时，利用三角形相似的性质可得
MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=，可求得N 点的坐标．
【详解】
（1）∵顶点坐标为（1，1），
∴设抛物线解析式为y=a （x ﹣1）2+1，又抛物线过原点，
∴0=a （0﹣1）2+1，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣（x ﹣1）2+1，
即y=﹣x 2+2x ，联立抛物线和直线解析式可得22-2y x x y x ⎧=+⎨=⎩﹣， 解得20x y =⎧⎨=⎩
或13x y =-⎧⎨=-⎩，∴B （2，0），C （﹣1，﹣3）； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ，与x 轴交于D ，
把A （1，1），C （﹣1，﹣3）的坐标代入得13k b k b
=+⎧⎨-=-+⎩， 解得：21
k b =⎧⎨=-⎩， ∴y=2x ﹣1，当y=0，即2x ﹣1=0，解得：x=
12，∴D （12，0），
∴BD=2﹣12=32
， ∴△ABC 的面积=S △ABD +S △BCD =
12×32×1+12×32×3=3； （3）假设存在满足条件的点N ，设N （x ，0），则M （x ，﹣x 2+2x ），
∴ON=|x|，MN=|﹣x 2+2x|，由（2）知，
，
，
∵MN ⊥x 轴于点N ，∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴当△ABC 和△MNO 相似时，有MN ON AB BC =或MN ON BC AB
=， ①当MN ON AB BC =时，
∴=|x||﹣x+2|=13|x|， ∵当x=0时M 、O 、N 不能构成三角形，∴x≠0，∴|﹣x+2|=
13，∴﹣x+2=±13，解得x=53或x=73，此时N 点坐标为（53，0）或（73
，0）； ②当或MN ON BC AB =时，
∴=，即|x||﹣x+2|=3|x|， ∴|﹣x+2|=3，∴﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此时N 点坐标为（﹣1，0）或（5，0），
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为（
53，0）或（73
，0）或（﹣1，0）或（5，0）．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法、图象的交点问题、直角三角形的判定、勾股定理及逆定理、相似三角形的性质及分类讨论等．在（1）中注意顶点式的运用，在（3）中设出N 、M 的坐标，利用相似三角形的性质得到关于坐标的方程是解题的关键，注意相似三角形点的对应．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
27．（1）2w 2x 120x 1600=-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
【解析】
试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x ，列出函数关系式；（2）用配方法将
（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：()()()2w x 20y x 202x 802x 120x 1600=-⋅=--+=-+-， ∴w 与x 的函数关系式为：2w 2x 120x 1600=-+-.
（2）()22w 2x 120x 16002x 30200=-+-=--+，
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w 有最大值．w 最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元. 考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
28．（1）见解析；（2）6013
DE =
. 【解析】
【分析】 对于（1），由已知条件可以得到∠B=∠C ，△ABC 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质易得AD ⊥BC ，∠ADC=90°；接下来不难得到∠ADC=∠BED ，至此问题不难证明； 对于（2），利用勾股定理求出AD ，利用相似比，即可求出DE.
【详解】
解：（1)证明：∵AB AC =，
∴B C ∠=∠.
又∵AD 为BC 边上的中线，
∴AD BC ⊥.
∵DE AB ⊥，
∴90BED CDA ︒∠=∠=，
∴BDE CAD ∆∆∽.
(2)∵10BC =，∴5BD =.
在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，得12AD =
=. 由（1）得BDE CAD ∆∆∽，∴
BD DE CA AD =， 即51312
DE =， ∴6013
DE =
. 【点睛】 此题考查相似三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
29．（1）13-，
13；(2)52530,,21111t =；(3)511(,)24 【解析】
【分析】
（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；
（2）分三种情况：①当BM=BN 时，即5-t=t ，②当BM=NM=5-t 时，过点M 作ME ⊥OB ，因为AO ⊥BO ，所以ME ∥AO ，可得：
BM BE BA BO =即可解答；③当BE=MN=t 时，过点E 作EF ⊥BM 于点F ，所以BF=
12BM=12（5-t ），易证△BFE ∽△BOA ，所以BE BF BA BO =即可解答；
（3）设BP 交y 轴于点G ，过点G 作GH ⊥AB 于点H ，因为BP 恰好平分∠ABC ，所以OG=GH ，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG ，在Rt △AHG 中，由勾股定理得：OG=32，设出
点P坐标，易证△BGO∽△BPD，所以
BO
GO
BD PD
=，即可解答.【详解】
解：解：（1）∵抛物线过点B (－3 ，0) 和C (4 ，0)，
∴
9340 16440
a b
a b
-+
⎧
⎨
++
⎩
＝
＝
，
解得：
1
3
1
3
a
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
；
（2）∵B (－3 ，0)，y=ax2+bx+4，∴A(0，4)，0A=4，OB=3，在Rt△ABO中，由勾股定理得：AB=5，
t秒时，AM=t，BN=t，BM=AB-AM=5-t，
①如图：当BM=BN时，即5-t=t，解得：t=5 2 ;
,
②如图，当BM=NM=5-t时，过点M作ME⊥OB，因为BN=t，由三线合一得：
BE=1
2
BN=
1
2
t，又因为AO⊥BO，所以ME∥AO，所以
BM BE
BA BO
=，即
1
5-2
53
t
t
=，解得：
t=30 11
；
③如图：当BE=MN=t时，过点E作EF⊥BM于点F，所以BF=
1
2
BM=
1
2
（5-t），易证
△BFE ∽△BOA，所以
BE BF
BA BO
=，即
5
t2
53
t-
=，解得：t=
25
11
.
(3)设BP交y轴于点G，过点G作GH⊥AB于点H，因为BP恰好平分∠ABC，所以
OG=GH，BH=BO=3，所以AH=2，AG=4-OG，在Rt△AHG中，由勾股定理得：OG=
3
2
，设P （m，-
1
3
m2+
1
3
m+4），因为GO∥PD，∴△BGO∽△BPD，∴
BO GO
BD PD
=，即
2
3
32
11
3+4
33
m m m
=
-++
，解得：m1=
5
2
，m2=-3(点P在第一象限，所以不符合题意，舍去)，m1=
5
2
时，-
1
3
m2+
1
3
m+4=
11
4
故点P的坐标为
511
(,)
24
【点睛】
本题考查用待定系数法求二次函数解析式，还考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的性质和判定.
30．（1）223
y x x
=--；（2）(1,2)
P-1032；（3）
1
(122,4)
Q-，2
(122,4)
Q+，3(1,4)
Q-
【解析】
【分析】 (1)把(1
0)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++即可求出b,c 即可求解; (2)根据A,B 关于对称轴对称,连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,再求出坐标及PAC 的周长;
(3)根据△QAB 的底边为4,故三角形的高为4,令y =4，求出对应的x 即可求解.
【详解】
(1)把(10)A -，、(30)B ，代入抛物线2y x bx c =++得01093b c b c =-+⎧⎨=++⎩
解得23b c =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线的解析式为：2
23y x x =--;
(2)如图，连接BC 交对称轴于P 点,即为所求,
∵223y x x =--
∴C(0,-3),对称轴x=1
设直线BC 为y=kx+b, 把(30)B ，
, C(0,-3)代入y=kx+b 求得k=1,b=-3, ∴直线BC 为y=x-3
令x=1，得y=-2，
∴P （1，-2），
∴PAC 的周长
=AC+AP+CP=AC+BC=[]22(10)0(3)--+--+[]2
2(30)0(3)-+--=1032+;
(3)∵△QAB 的底边为AB=4, 182
QAB S
AB H =⨯= ∴三角形的高为4, 令y =4，即2234x x --=±
解得x 1=122-2=122+3=1
故点Q 的坐标为1(122,4)Q - ， 2(122,4)Q + ，3(1,4)Q -.
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.
31．(1)每件玩具的售价为80元；(2)每件玩具的售价为85元时，每天盈利最多，最多盈利1250元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，可以得到关于x 的一元二次方程，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以得到利润与售价的函数关系式，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】
解：(1)设每件玩具的售价为x 元，
()()602021001200x x -+-=⎡⎤⎣⎦，解得：190x =，280x =，
∵扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，∴80x =，
答：每件玩具的售价为80元；
(2)设每件玩具的售价为a 元时，利润为w 元，
()()()2602021002851250w a a a =-+-=--+⎡⎤⎣⎦，
即当85a 时，w 有最大值为1250元，
答：当每件玩具的售价为85元时，商店每天盈利最多，最多盈利1250元.
【点睛】
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
32．（1）10700y x =-+；（2）单价为46元时，利润最大为3840元.（3）单价的范围是45元到55元.
【解析】
【分析】
（1）可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；
（2）根据利润=销售量×单件的利润，然后将（1）中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润；
（3）首先得出w 与x 的函数关系式，进而利用所获利润等于3600元时，对应x 的值，根据增减性，求出x 的取值范围．
【详解】
（1）由题意得：4030055150k b k b +=⎧⎨+=⎩ 10700k b =-⎧⇒⎨=⎩
． 故y 与x 之间的函数关系式为：y=-10x+700，
（2）由题意，得
-10x+700≥240，
解得x≤46，
设利润为w=（x-30）•y=（x-30）（-10x+700），
w=-10x2+1000x-21000=-10（x-50）2+4000，
∵-10＜0，
∴x＜50时，w随x的增大而增大，
∴x=46时，w大=-10（46-50）2+4000=3840，
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元；
（3）w-150=-10x2+1000x-21000-150=3600，
-10（x-50）2=-250，
x-50=±5，
x1=55，x2=45，
如图所示，由图象得：
当45≤x≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用、一次函数的应用和一元二次方程的应用，利用函数增减性得出最值是解题关键，能从实际问题中抽象出二次函数模型是解答本题的重点和难点．。