高考数学二轮复习 专题七 系列4选讲 第1讲 坐标系与参数方程学案 理

第1讲 坐标系与参数方程
[考情考向分析] 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识．
热点一 极坐标与直角坐标的互化 直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，
设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝ρcos θ，
y ＝ρsin θ，
⎩
⎪⎨⎪
⎧
ρ2＝x 2＋y 2
，tan θ＝y x (x ≠0).
例1 (2018·佛山模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝a ＋3cos t ，
y ＝3sin t
(t
为参数，a >0)．以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 1上一点A
的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫1，π3，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝cos θ.
(1)求曲线C 1的极坐标方程；
(2)设点M ，N 在C 1上，点P 在C 2上(异于极点)，若O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线l 上，且|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，求 l 的极坐标方程．
解 (1)曲线C 1的直角坐标方程为(x －a )2＋y 2
＝3， 化简得x 2
＋y 2
－2ax ＋a 2
－3＝0. 又x 2
＋y 2
＝ρ2
，x ＝ρcos θ， 所以ρ2
－2aρcos θ＋a 2
－3＝0.
代入点⎝
⎛⎭⎪⎫1，π3，得a 2
－a －2＝0，
解得a ＝2或a ＝－1(舍去)．
所以曲线C 1的极坐标方程为ρ2
－4ρcos θ＋1＝0. (2)由题意知，设直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )， 设点M ()ρ1，α，N ()ρ2，α，P ()ρ3，α， 则ρ1<ρ3<ρ2.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
ρ2
－4ρcos θ＋1＝0，
θ＝α，得ρ2
－4ρcos α＋1＝0，
所以ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1.
联立⎩
⎪⎨
⎪⎧
ρ＝cos θ，θ＝α，得ρ3＝cos α.
因为|MP |，|OP |，|PN |成等比数列，
所以ρ2
3＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ2
3＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2. 所以2cos 2α＝4cos 2
α－1，解得cos α＝
2
2
(舍负)． 经检验，满足O ，M ，P ，N 四点依次在同一条直线上， 所以l 的极坐标方程为θ＝±π
4
(ρ∈R )．
思维升华 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．
(2)在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．
跟踪演练1 (2018·乌鲁木齐模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t ，
y ＝3＋3t
(t 为参数)，
以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为sin θ－3ρcos 2
θ＝0.
(1)求曲线C 的直角坐标方程；
(2)写出直线l 与曲线C 交点的一个极坐标． 解 (1)∵sin θ－3ρcos 2
θ＝0， ∴ρsin θ－3ρ2
cos 2
θ＝0， 即y －3x 2
＝0.
即曲线C 的直角坐标方程为y ＝3x 2
. (2)将⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋12t ，
y ＝3＋3t
代入y －3x 2
＝0，
得3＋3t －3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋12t 2
＝0，即t ＝0，
从而交点坐标为(1，3)，
所以交点的一个极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3.
热点二 参数方程与普通方程的互化 1．直线的参数方程
过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋t cos α，
y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．
2．圆的参数方程
圆心为点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x 0＋r cos θ，
y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．
3．圆锥曲线的参数方程
(1)椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．
(2)抛物线y 2
＝2px (p >0)的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2pt 2
，y ＝2pt (t 为参数)．
例2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy
中，⊙O 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝cos θ，
y ＝sin θ(θ为
参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；
(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2
＋y 2
＝1. 当α＝π
2
时，l 与⊙O 交于两点．
当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|
1＋k
2
<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.
综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4. (2)l 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝t cos α，
y ＝－2＋t sin α
⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝
t A ＋t B
2
，且t A ，t B 满足t 2
－22t sin α＋1＝0.
于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.
又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨
⎧
x ＝t P cos α，
y ＝－2＋t P sin α，
所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2
2
sin 2α，y ＝－22－2
2
cos 2α⎝ ⎛⎭
⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.
思维升华 (1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．
(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．
跟踪演练 2 (2018·北京朝阳区模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2t ，
y ＝6t (t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极
坐标是⎝
⎛⎭⎪⎫2，4π3.
(1)求直线l 的普通方程；
(2)求直线l 上的点到点M 距离最小时的点的直角坐标． 解 (1)直线l 的普通方程为3x －y －6＝0. (2)点M 的直角坐标是(－1，－3)，
过点M 作直线l 的垂线，垂足为M ′，则点M ′即为所求的直线l 上到点M 距离最小的点． 直线MM ′的方程是y ＋3＝－1
3(x ＋1)，
即y ＝－13x －1
3－ 3.
由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝－13x －13－3，3x －y －6＝0，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝17－33
10，y ＝－9＋9310
.
所以直线l 上到点M 距离最小的点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫17－33
10
，－9＋9310.
热点三 极坐标、参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．
例3 (2018·泉州质检)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos α，
y ＝sin α(α
为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1－t ，y ＝3＋t
(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半
轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)． (1)求C 和l 的极坐标方程；
(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA |
|OB |的最大值．
解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝1，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12
＋ρ2
sin 2
θ＝1，
化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，
所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.
(2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则
|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β
4
＝12(sin βcos β＋cos 2
β)＝24sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，
由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π4，π4， 则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π4
，3π4，
所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA |
|OB |取得最大值，
即⎝
⎛⎭
⎪⎫|OA ||OB |max
＝2＋14. 思维升华 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．
(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．
跟踪演练3 (2018·黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模拟)在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为
ρ＝2cos θ.
(1)若曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧ x ＝t cos α，
y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线
C 2的普通方程；
(2)若曲线C 2的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交
点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1
|AQ |的取值范围．
解 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2
＝2ρcos θ， 又∵ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcos θ＝x ，
∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2
＋(y －1)2
＝t 2
.
(2)将C 2的参数方程⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2
＋(2sin
α－2cos α)t ＋1＝0.
∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0，
∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤22，1，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦
⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
α－π4
，
t 1t 2＝1>0，
∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝
|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|
1
＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．
∴
1
|PA |＋1
|AQ |∈(2,22]．
真题体验
1．(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C 2的直角坐标方程；
(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．
解 (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2
＋y 2
＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆．
由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右侧的射线为l 1，y 轴左侧的射线为l 2.
由于点B 在圆C 2的外部，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2
与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．
当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1
＝2，故k ＝－4
3或
k ＝0.
经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；
当k ＝－4
3
时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点，满足题意．
当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|
k 2＋1＝2，故k ＝0或k
＝43
. 经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝4
3时，l 2与C 2没有公共点．
综上，所求C 1的方程为y ＝－4
3
|x |＋2.
2．(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值．
解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)，由题设知， |OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4
cos θ
.
由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C 2的直角坐标方程为(x －2)2
＋y 2
＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)． 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α. 于是△OAB 的面积
S ＝1
2
|OA |·ρB ·sin∠AOB
＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝4cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪
12sin α－32cos α
＝|sin 2α－3cos 2α－3|
＝2⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.
当2α－π3＝－π2，即α＝－π
12时，S 取得最大值2＋3，
所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. 押题预测
1．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴
的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α(t 是参数)．
(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝13，求直线的倾斜角α的值． 押题依据 极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点．本题考查了等价转换思想，代数式变形能力，逻辑推理能力，是一道颇具代表性的题． 解 (1)由ρ＝4cos θ，得ρ2
＝4ρcos θ. 因为x 2
＋y 2
＝ρ2
，x ＝ρcos θ，所以x 2
＋y 2
＝4x ， 即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2
＋y 2
＝4.
(2)将⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋t cos α，
y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2
＝4，
得(t cos α－1)2
＋(t sin α)2
＝4， 化简得t 2
－2t cos α－3＝0.
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，
由根与系数的关系，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，
所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2
－4t 1t 2 ＝4cos 2
α＋12＝13，
故4cos 2
α＝1，解得cos α＝±12
.
因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝π3或2π
3
.
2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ(φ为参数)，其中a >b >0.以O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2cos θ，射线l ：θ＝α(ρ≥0)．若
射线l 与曲线C 1交于点P ，当α＝0时，射线l 与曲线C 2交于点Q ，|PQ |＝1；当α＝π
2时，
射线l 与曲线C 2交于点O ，|OP |＝ 3. (1)求曲线C 1的普通方程；
(2)设直线l ′：⎩⎨
⎧
x ＝－t ，
y ＝3t
(t 为参数，t ≠0)与曲线C 2交于点R ，若α＝π
3
，求△OPR 的
面积．
押题依据 将椭圆和直线的参数方程、圆和射线的极坐标方程相交汇，考查相应知识的理解和运用，解题中，需要将已知条件合理转化，灵活变形，符合高考命题趋势．
解 (1)因为曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝a cos φ，
y ＝b sin φ
(φ为参数)，且a >b >0，所以曲线C 1的
普通方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，而其极坐标方程为ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θ
b 2＝1.
将θ＝0(ρ≥0)代入ρ2cos 2θa 2＋ρ2sin 2θ
b 2
＝1，
得ρ＝a ，即点P 的极坐标为()a ，0； 将θ＝0(ρ≥0)代入ρ＝2cos θ，得ρ＝2， 即点Q 的极坐标为(2,0)．
因为|PQ |＝1，所以|PQ |＝|a －2|＝1， 所以a ＝1或a ＝3.
将θ＝π2(ρ≥0)代入ρ2
cos 2
θa 2＋ρ2
sin 2
θ
b 2
＝1，
得ρ＝b ，即点P 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫b ，π2，
因为|OP |＝3，所以b ＝ 3.又因为a >b >0，所以a ＝3， 所以曲线C 1的普通方程为x 29＋y 2
3
＝1.
(2)因为直线l ′的参数方程为⎩⎨
⎧
x ＝－t ，
y ＝3t
(t 为参数，t ≠0)，
所以直线l ′的普通方程为y ＝－3x (x ≠0)， 而其极坐标方程为θ＝－π
3
(ρ∈R ，ρ≠0)，
所以将直线l ′的方程θ＝－π
3
代入曲线C 2的方程ρ＝2cos θ，得ρ＝1，即|OR |＝1.
因为将射线l 的方程θ＝π3(ρ≥0)代入曲线C 1的方程ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2
θ
3＝1，
得ρ＝3105，即|OP |＝310
5，
所以S △OPR ＝1
2|OP ||OR |sin∠POR
＝12×3105×1×sin 2π3＝33020
.
A 组 专题通关
1．(2018·百校联盟TOP20联考)已知平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧
x ＝1＋5cos α，y ＝2＋5sin α
(α为参数)，直线l 1：x ＝0，直线l 2：x －y ＝0，以原点为极点，x
轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)写出曲线C 和直线l 1，l 2的极坐标方程；
(2)若直线l 1与曲线C 交于O ，A 两点，直线l 2与曲线C 交于O ，B 两点，求|AB |. 解 (1)依题意知，曲线C ：(x －1)2
＋()y －22
＝5，即x 2
－2x ＋y 2
－4y ＝0，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得ρ＝2cos θ＋4sin θ. 因为直线l 1：x ＝0，直线l 2：x －y ＝0，
故直线l 1，l 2的极坐标方程为l 1：θ＝π
2
(ρ∈R )，
l 2：θ＝π4
(ρ∈R )．
(2)设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2， 在ρ＝2cos θ＋4sin θ中，
令θ＝π2，得ρ1＝2cos π2＋4sin π
2＝4，
令θ＝π4，得ρ2＝2cos π4＋4sin π
4＝32，
因为π2－π4＝π
4，
所以|AB |＝
ρ21＋ρ2
2－2ρ1ρ2cos
π4
＝10. 2．(2018·衡水金卷模拟)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的
长度单位建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，圆C 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋r cos φ，
y ＝r sin φ(φ为参数，r >0)．
(1)若直线l 与圆C 有公共点，求实数r 的取值范围；
(2)当r ＝2时，过点D (2,0)且与直线l 平行的直线l ′交圆C 于A ，B 两点，求⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪
1|DA |－1|DB |的值．
解 (1)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，
得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos π3－cos θsin π3＝1， 即12y －3
2
x ＝1， 故直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝1＋r cos φ，y ＝r sin φ，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x －1＝r cos φ，y ＝r sin φ，
所以圆C 的普通方程为(x －1)2
＋y 2
＝r 2
.
若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1,0)到直线l 的距离d ＝
|3×1－1×0＋2|
3＋1
≤r ，即
r ≥
3＋2
2
， 故实数r 的取值范围为⎣⎢
⎡⎭
⎪⎫
3＋22，＋∞.
(2)因为直线l ′的倾斜角为
π
3
，且过点D (2,0)， 所以直线l ′的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝2＋t 2，y ＝32
t (t 为参数)，①
圆C 的直角坐标方程为(x －1)2
＋y 2
＝4，② 联立①②，得t 2
＋t －3＝0，
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－1，t 1t 2＝－3<0， 故⎪⎪
⎪⎪⎪⎪1|DA |－1|DB |＝||DB |－|DA |||DA |·|DB |
＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝13.
3．(2018·安徽省“皖南八校”联考)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos α，
y ＝2sin α(α为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
极坐标方程为ρ(sin θ＋3cos θ)＝ 3. (1)求C 的极坐标方程； (2)射线OM ：θ＝θ1⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6≤θ1≤π3与圆C 的交点为O ，
P ，与直线l 的交点为Q ，求|OP |·|OQ |
的取值范围．
解 (1)圆C 的普通方程是(x －2)2
＋y 2
＝4， 又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (2)设P (ρ1，θ1)，则有ρ1＝4cos θ1， 设Q (ρ2，θ1)，且直线l 的极坐标方程是
ρ(sin θ＋3cos θ)＝3，
则有ρ2＝3
sin θ1＋3cos θ1
，
所以|OP ||OQ |＝ρ1ρ2＝43cos θ1
sin θ1＋3cos θ1
＝
43
3＋tan θ1⎝ ⎛⎭⎪⎫π6
≤θ1≤π3， 所以2≤|OP ||OQ |≤3.
即|OP ||OQ |的取值范围是[2,3]． 4．(2018·潍坊模拟)在直角坐标系xOy
中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋2cos θ，
y ＝2sin θ
(θ
为参数)，点M 为曲线C 1上的动点，动点P 满足OP →＝aOM →
(a >0且a ≠1)，点P 的轨迹为曲线C 2. (1)求曲线C 2的方程，并说明C 2是什么曲线；
(2)在以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，A 点的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，
射线θ＝α与C 2的异于极点的交点为B ，已知△AOB 面积的最大值为4＋23，求a 的值． 解 (1)设P (x ，y )，M ()x 0，y 0，
由OP →＝aOM →
，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝ax 0，y ＝ay 0.∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝x
a ，y 0
＝y
a .
∵点M 在C 1上，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x
a ＝2＋2cos θ，y a ＝2sin θ，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2a ＋2a cos θ，
y ＝2a sin θ(θ为参数)，
消去参数θ，得()x －2a 2
＋y 2
＝4a 2
(a >0且a ≠1)．
∴曲线C 2是以()2a ，0为圆心，以2a 为半径的圆． (2)方法一 A 点的直角坐标为(1，3)， ∴直线OA 的普通方程为y ＝3x ，即3x －y ＝0.
设B 点坐标为(2a ＋2a cos α，2a sin α)，则B 点到直线3x －y ＝0的距离d ＝
a |23cos α－2sin α＋23|
2
＝a ⎪⎪⎪⎪
⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋3.
∴当α＝－π
6
时，d max ＝(3＋2)a .
∴S △AOB 的最大值为1
2
×2×(3＋2)a ＝4＋23，∴a ＝2.
方法二 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入()x －2a 2
＋y 2
＝4a 2
，并整理得ρ＝4a cos θ，
令θ＝α，得ρ＝4a cos α. ∴B ()4a cos α，α.
∴S △AOB ＝1
2
|OA |·|OB |·sin∠AOB
＝4a cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝a |2sin αcos α－23cos 2
α|
＝a |sin 2α－3cos 2α－3|＝a ⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－3，
∴当α＝－π
12时，S △AOB 取得最大值(2＋3)a ，
依题意知(2＋3)a ＝4＋23，∴a ＝2.
5．(2018·河南省南阳市第一中学考试)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系．已知曲线M
的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，l 1，l 2为过点
O 的两条直线，l 1交M 于A ，B 两点，l 2交M 于C ，D 两点，且l 1的倾斜角为α，∠AOC ＝π
6
.
(1)求l 1和M 的极坐标方程；
(2)当α＝⎝
⎛⎦⎥⎤0，π6时，求点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和的最大值．
解 (1)依题意知，直线l 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1＋cos φ，
y ＝1＋sin φ，消去φ，
得(x －1)2
＋(y －1)2
＝1，
将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式， 得ρ2
－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，
故M 的极坐标方程为ρ2
－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0. (2)依题意可设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，C ⎝
⎛⎭⎪⎫ρ3，α＋π6，
D ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ρ4，α＋π6
，且ρ1，ρ2，ρ3，ρ4均为正数，
将θ＝α代入ρ2
－2ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0， 得ρ2
－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0， 所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，
同理可得，ρ3＋ρ4＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6， 所以点O 到A ，B ，C ，D 四点的距离之和为ρ1＋ρ2＋ρ3＋ρ4＝2(cos α＋sin α)＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6
＝(1＋3)sin α＋(3＋3)cos α＝2(1＋3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，
因为α∈⎝
⎛⎦⎥⎤0，π6，所以α＋π3∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π2，
所以当sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin π2＝1，即α＝π6时，
ρ1＋ρ2＋ρ3＋ρ4取得最大值2＋23，
所以点O 到A ，B ，C ，D 四点距离之和的最大值为2＋2 3.
B 组 能力提高
6．在直角坐标系xOy 中，已知曲线E 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1，233，
其参数方程为⎩⎨⎧
x ＝a cos α，y ＝2sin α
(α
为参数)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线E 的极坐标方程；
(2)若直线l 交E 于点A ，B ，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1
|OB |
2为定值，并求出这个定值．
解 (1)将点P ⎝
⎛⎭⎪⎫
1，233代入曲线E 的方程，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
1＝a cos α，23
3＝2sin α，
解得a 2
＝3，
所以曲线E 的普通方程为x 23＋y 2
2＝1，
极坐标方程为ρ2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3cos 2θ＋12sin 2θ＝1.
(2)不妨设点A ，B 的极坐标分别为
A (ρ1，θ)，
B ⎝
⎛⎭
⎪⎫
ρ2，θ＋π2
，ρ1>0，ρ2>0， 则⎩⎪⎨⎪⎧
13(ρ1
cos θ)2
＋1
2(ρ1sin θ)2
＝1，13⎣⎢⎡⎦⎥⎤ρ2
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π22
＋12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ρ2
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π22
＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
1ρ21
＝13cos 2
θ＋1
2
sin 2
θ，1ρ22
＝13sin 2
θ＋1
2
cos 2
θ，
所以
1
ρ21
＋
1
ρ2
2
＝56，即1|OA |2＋1|OB |2＝56
， 所以1|OA |2＋1|OB |2为定值56
.
7．已知在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，P 点的
极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4(θ为参数)．
(1)写出点P 的直角坐标及曲线C 的直角坐标方程；
(2)若Q 为曲线C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值．
解 (1)点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
322
，322，
由ρ＝2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4，
得ρ2
＝2ρcos θ＋2ρsin θ，①
将ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①， 可得曲线C 的直角坐标方程为 ⎝
⎛
⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －222＝1.
(2)直线2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的直角坐标方程为2x ＋4y －2＝0， 设点Q 的直角坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22＋cos θ，22＋sin θ，
则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋cos θ2，2＋sin θ2， ∴点M 到直线l 的距离
d ＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋cos θ2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋sin θ2－222
＋4
2
＝
|52＋cos θ＋2sin θ|
25
＝
52＋5sin (θ＋φ)25
，其中tan φ＝1
2.
∴d ≥52－525＝10－1
2(当且仅当sin(θ＋φ)＝－1时取等号)，
∴点M 到直线l ：2ρcos θ＋4ρsin θ＝2的距离的最小值为
10－1
2
. 8．已知α∈[0，π)，在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α
(t 为
参数)；在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 2的极坐标方程为
ρcos(θ－α)＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
α＋π6
(θ为参数)．
(1)求证：l 1⊥l 2；
(2)设点A 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫2，π3，P 为直线l 1，l 2的交点，求|OP ||AP |的最大值． (1)证明 易知直线l 1的普通方程为x sin α－y cos α＝0. 又ρcos(θ－α)＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π6可变形为
ρcos θcos α＋ρsin θsin α＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
α＋π6
，
即直线l 2的直角坐标方程为
x cos α＋y sin α－2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
α＋π6
＝0.
因为sin αcos α＋(－cos α)sin α＝0， 根据两直线垂直的条件可知，l 1⊥l 2. (2)解 当ρ＝2，θ＝π
3
时，
ρcos(θ－α)＝2cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫π3－α＝2sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫α＋π
6
， 所以点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在直线ρcos(θ－α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6上．
设点P 到直线OA 的距离为d ，由l 1⊥l 2可知，d 的最大值为|OA |
2＝1.
于是|OP ||AP |＝d ·|OA |＝2d ≤2， 所以|OP ||AP |的最大值为2.。