(易错题)高中数学选修三第二单元《随机变量及其分布》测试(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩ξ占近似服从正态分布(
)2
95,N σ
，且
(9195)0.25P ξ<≤=．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低
于99分的人数为（ ） A ．100
B ．125
C ．150
D ．175
2．将3个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为1、2、3、4的4个盒子，以ξ表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（3ξ=表示第1号，第2号盒子是空的，第3个盒子至少1个球），则()E ξ、(21)E ξ+分别等于（ ） A ．
2516、
25
8
B ．
2516
、33
8 C ．
3
2
、3 D ．
3
2
、4 3．已知随机变量X 的分布列
则对于任意01a b c <<<<，()E X 的取值范围是（ ） A ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．()0,1
D ．1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
4．随机变量X 的概率分布为
()()
()1,2,31a
P X n n n n ===+，其中a 是常数，则()E aX =（ ）
A ．
3881
B ．
139
C ．
152
243
D ．
5227
5．设01p <<，随机变量ξ的分布列是
则当p 在()0,1内变化时，（ ） A ．()D ξ增大
B ．()D ξ减小
C ．()
D ξ先增大后减小 D ．()D ξ先减小后增大
6．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ） A ．0.75
B ．0.6
C ．0.52
D ．0.48
7．抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A ：“甲骰子的点数大于3”；事件B ：“甲、乙两骰子的点数之和等于7”，则P （B /A ）的值等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
13
8．某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ．
313 B ．
413
C ．
14
D ．
15
9．已知ξ是离散型随机变量，则下列结论错误的是( ) A ．21133P P ξξ⎛⎫⎛⎫≤
≤≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ B ．()()
()2
2E E ξξ≤
C ．()()1
D D ξξ=-
D ．()()()2
2
1D D ξ
ξ=-
10．某校1 000名学生的某次数学考试成绩X 服从正态分布，其密度函数
2
2
22()x f x e
-μ-
σ=
π⋅σ
（）x ∈R （）
曲线如图所示，正态变量X 在区间(,)μσμσ-+，(2,2)μσμσ-+，(3,3)μσμσ-+内取值的概率分别是68.3%，95.4%，99.7%，
则成绩X 位于区间(52,68]的人数大约是（ ）
A ．997
B ．954
C ．683
D ．341
11．下列关于正态分布2(,)(0)N μσσ>的命题： ①正态曲线关于y 轴对称；
②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”； ③设随机变量~(2,4)X N ，则1()2
D X 的值等于2；
④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.
其中正确的是（ ） A ．①②
B ．③④
C ．②④
D ．①④
12．将两枚骰子各掷一次，设事件A ={两个点数都不相同}，B ={至少出现一个3点}，则
(|)P B A =（ ）
A ．
13
B ．
518
C ．
1011
D ．
12
二、填空题
13．下列说法正确的是________
①设回归方程为ˆ33y
x =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均增加3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对越接近于1； ③随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，则()3316
P X ==； ④若()03f x '=-，则()()
000
lim
6x f x x f x x x
∆→+∆--∆=-∆；
⑤()()2323E X E X +=+，()()232D X D X += 14．下列说法中，正确的有_______．
①回归直线ˆˆˆy bx a =+恒过点(),x y ，且至少过一个样本点；
②根据22⨯列列联表中的数据计算得出2 6.635K ≥，而(
)
2
6.6350.01P K ≥≈，则有99%的把握认为两个分类变量有关系；
③2K 是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量，当2K 的值很小时可以推断两个变量不相关；
④某项测量结果ξ服从正态分布(
)2
1,N a
，则(5)0.81P ξ≤=，则(3)0.19P ξ≤-=．
15．随机变量X 的概率分布为2
()(1,2,3)a
P X n n n n
==
=+，其中a 是常数，则()D aX =__________．
16．从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个,在选出4号球的条件下,选出球的最大号码为6的概率为_____.
17．10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张．则在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率为_________ ．
18．抛掷红、黄两颗骰子，设事件A 为“黄色的骰子的点数为3或6”，事件B 为“两颗骰子的点数之和大于7”.当已知黄色的骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点数之和大于7的概率为__________．
三、解答题
19．甲､乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的A ，B 两点处投篮，已知甲在A ，
B 两点的命中率均为
12
，乙在A 点的命中率为p ，在B 点的命中率为2
12p -，且他们每
次投篮互不影响.
（1）若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；
（2）若甲和乙每人在A ，B 两点各投篮一次，且在A 点命中计2分，在B 点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为X ，乙的得分为Y ，写出X 和Y 的分布列，若EX EY =，求p 的值.
20．在某市举办的“中华文化艺术节”知识大赛中，大赛分预赛与复赛两个环节．预赛有4000人参赛．先从预赛学生中随机抽取100人成绩得到如下频率分布直方图：
（1）若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人，求至少1人成绩不低于80分的概率；
（2）由频率分布直方图可以认为该市全体参加预赛的学生成绩Z 服从正态分布
()2,N μσ，其中μ可以近似为100名学生的预赛平均成绩，2362σ=，试估计全市参加
预赛学生中成绩不低于91分的人数；
（3）预赛成绩不低于91分的学生可以参加复赛．复赛规则如下：①每人复赛初始分均为100分；②参赛学生可在开始答题前自行选择答题数量()1n n >，每答一题需要扣掉一定分数来获取答题资格，规定回答第()1,2,
,k k n =题时扣掉0.2k 分；③每答对一题加2
分，答错既不加分也不扣分；④答完n 题后参赛学生的最后分数即为复赛分数．已知学生甲答对每题的概率为0.75，且各题答对与否相互独立，若甲期望得到最佳复赛成绩，则他的答题数量n 应为多少？ 36219≈，若()2
~,z N
μσ，则()0.6826P x μσμσ-<≤+=，
()220.9544P x μσμσ-<≤+=，()330.9974P x μσμσ-<≤+=）．
21．某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作
为样本算出他们的重量(单位：克)重量的分组区间为(490495]，，(495500]，，…，(510515]，，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.
（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为重量超过505克的产品数量，求X的分布列及期望.
（3）在上述抽取的40件产品中任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率. 22．某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度，现从学生中随机抽取16名，以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）若教学满意度不低于9.5分，则称该生对教师的教学满意度为“极满意”．求从这16人中随机选取3人，至少有1人是“极满意”的概率；
（2）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人，记X表示抽到“极满意”的人数，求X的分布列及数学期望．
23．为了响应政府“节能减排”的号召，某知名品牌汽车厂家决定生产一款纯电动汽车.生产前，厂家进行了人们对纯电动汽车接受程度的调查.在20~60岁的人群中随机抽取了100人，调查数据的频率分布直方图和接受纯电动汽车的人数与年龄的统计结果如图所示：
年龄[)
20,28[)
28,36[)
36,44[)
44,52[)
52,60
0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同年龄人群对纯电动汽车的接受程度有差异？
8
人调查不接受“纯电动汽车”的原因，现从这8人中随机抽取2人.记抽到44岁以下的人数为
X ，求随机变量X 的分布列及数学期望. 2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
24．据中国日报网报道：TOP 500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席．其中超算仝球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小
，速度越快，单位是MIPS ） 的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．
25．甲､乙两人按如下规则进行射击比赛，双方对同一目标轮流射击，若一方未击中，另一方可继续射击，甲先射，直到有人击中目标或两人总射击次数达4次为止.若甲击中目标的
概率为
23
，乙击中目标的概率为12.
（1）求甲在他第二次射击时击中目标的概率；
（2）求比赛停止时，甲､乙两人射击总次数X 的分布列和期望.
26．学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A 、B 两个靶进行射击，先向A 靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B 靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，射击B 靶如果连续命中两次则得5分.甲同学准备参赛，经过一定的训练甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A 靶射击，命中的概
率是
45；向B 靶射击，命中的概率为3
4.假设甲同学每次射击结果相互独立. （1）求甲同学恰好命中一次的概率；
（2）求甲同学获得的总分X 的分布列及数学期望.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
95,N σ
，则正态分布曲线的对称轴为95X =，根
据正态分布曲线的对称性，求得()1
99[12(9195)]2
P X P X ≥=⨯-⨯<≤，进而可求解，得到答案. 【详解】
由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
95,N σ，
则正态分布曲线的对称轴为95X =， 又由(9195)0.25P ξ<≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得
()()11
99[12(9195)]120.250.2522
P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-⨯=，
所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为7000.25175⨯=人， 故选：D. 【点睛】
关键点点睛：该题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于99分的概率是解答的关键.
2．B
解析：B 【分析】
由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3、4，计算出随机变量ξ在不同取值下的概率，可求得()E ξ，利用数学期望的性质可求得(21)E ξ+. 【详解】
由题意可知，随机变量的可能取值有1、2、3、4，
()1223333333371464C C C P ξ⨯+⨯+===，()
122333332219
2464C C C P ξ⨯+⨯+===， ()123
3333
7
3464
C C C P ξ++===，()3114464P ξ===， 所以，()37197125
12346464646416
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=， 因此，()()2533
212121168
E E ξξ+=+=⨯+=. 故选：B. 【点睛】
方法点睛：求随机变量的期望和方差的基本方法如下：
（1）已知随机变量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知随机变量X 的期望、方差，求(),aX b a b R +∈的期望与方差，利用期望和方差的性质（()()E aX b aE X b +=+，()()2
D aX b a D X +=）进行计算；
（3）若能分析出所给的随机变量服从常用的分布（如：两点分布、二项分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式进行计算.
3．B
解析：B 【分析】
由题易得2
2
2
()E X a b c =++，结合题中条件再由基本不等式可得
22
2
2
()1
33
a b c a b c ++++>=，即1()3E X >；再由
2222()2()12()1a b c a b c ab bc ca ab bc ca ++=++-++=-++<，即()1E X <，最后
得出()E X 的取值范围. 【详解】
由随机变量的期望定义可得出2
2
2
()E X a b c =++， 因为01a b c <<<<，且1a b c ++=，
所以2222
22222a b ab
a c ac
b
c bc ⎧+>⎪+>⎨⎪+>⎩
，三式相加并化简可得222a b c ab bc ac ++>++，
故
2222222222()2222()3()a b c a b c ac bc ab a b c ac bc ab a b c ++=+++++=+++++<++，
即22
2
2
()1
33
a b c a b c ++++>=，
所以2()1
()33
a b c E X ++>=，
又因为2
()()2()12()1E X a b c ab bc ca ab bc ca =++-++=-++<，
所以
1
()13E X <<. 故选：B . 【点睛】
本题考查随机变量的期望，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
4．D
解析：D 【分析】
根据裂项相消法以及概率的性质求出a ，再得出()E X ，最后由()()E aX aE X =得出答案. 【详解】
()()11
a a a
P X n n n n n ==
=-++
(1)(2)(3)1P X P X P X =+=+== 122334a a a a a a ∴-+-+-=，解得43
a =
则221
(1),(2),(3)2369129
a a a P X P X P X ==
======= 62113
()1239999E X ∴=⨯+⨯+⨯=
452
()()392137
E aX aE X ∴==⨯=
故选：D 【点睛】
本题主要考查了随机变量分布列的性质以及均值的性质，属于中档题.
5．A
解析：A 【分析】
计算出()E ξ和()2
E ξ
，根据()()()2
2
D E E ξξξ=-将()D ξ表示成关于p 的函数，研
究函数的单调性即可得出结论. 【详解】
()()()()2
22
1
1
2n
n
i i i i i i i D E p E E p ξξξξξξξ==⎡⎤=-⋅=-+⋅⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑
()()()()()()()22222221
22n
i i i i i p p E E E E E E E ξξξξξξξξξ=⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦∑， 由分布列得()111
1012222
p p p E ξ--=-⨯
+⨯+⨯=，()211110222
p p p E ξ+-+=⨯
+⨯=， 所以，()()()()2
2
2221111152224444p p D E E p p p ξξξ+-⎛⎫=-=-=-++=--+ ⎪
⎝⎭
， 所以，当()0,1p ∈时，()D ξ随着p 的增大而增大. 故选：A. 【点睛】
本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二次函数的单调性，属于中等题.
6．A
解析：A 【分析】
记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年，计算出()P A 和
()P AB ，利用条件概率公式可求出所求事件的概率为()()()
P AB P B A P A =
.
【详解】
记事件:A 该元件使用寿命超过1年，记事件:B 该元件使用寿命超过2年， 则()0.8P A =，()()0.6P AB P B ==，
因此，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为
()()()
0.6
0.750.8
P AB P B A P A =
=
=，故选A. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解题时要弄清楚两个事件的关系，并结合条件概率公式进行计算，考查分析问题和计算能力，属于中等题.
7．C
解析：C 【分析】
利用古典概型的概率公式计算出()P AB 和()P A ，然后利用条件概率公式()
P B A =
()
()
P AB P A 可计算出结果． 【详解】
事件:AB 甲的骰子的点数大于3，且甲、乙两骰子的点数之和等于7，则事件AB 包含的基本事件为()4,3、()5,2、()6,1，由古典概型的概率公式可得()316612
==⨯P AB ， 由古典概型的概率公式可得()3162
P A ==， 由条件概率公式得()()()
11
2126
P AB P B A P A ==
⨯=，故选C. 【点睛】
本题考查条件概率的计算，解题时需弄清楚各事件的基本关系，并计算出相应事件的概率， 解题的关键在于条件概率公式的应用，考查运算求解能力，属于中等题．
8．A
解析：A 【分析】
根据条件概率的计算公式，分别求解公式各个部分的概率，从而求得结果. 【详解】
设事件A 为“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”；事件B 为“学生丙第一个出场”
则()41134333555578A C C A P A A A +==，()13
335
555
18
C A P AB A A == 则()()()
183
7813
P AB P B A P A =
=
= 本题正确选项：A 【点睛】
本题考查条件概率的求解，关键是能够利用排列组合的知识求解出公式各个构成部分的概率.
9．D
解析：D 【分析】
利用概率、数学期望、方差的性质直接求解． 【详解】
在A
中，211113333P P P P ξξξξ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫
≤=-≤≤≤≤=≤≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，故A 正确；
在B 中，由数学期望的性质得()
()
()2
2E E ξξ≤，故B 正确；
在C 中，由方差的性质得()()1D D ξξ=-，故C 正确； 在D 中，()()()()()2
2
2
14D D D D ξξξξ≠-=+，故D 错误．
故选D. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查概率、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10．C
解析：C 【解析】
分析：先由图得,μσ，再根据成绩X 位于区间(52,68]的概率确定人数. 详解：由图得8
μσ=== 因为60852,60868-=+=，所以成绩X 位于区间(52,68]的概率是68.3%， 对应人数为68.3%1000683⨯=， 选C.
点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.
11．C
解析：C 【解析】
分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．
详解：①正态曲线关于x μ=轴对称，故①不正确，
②当μ一定时，σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”；正确；
③设随机变量()~2,4X N ，则12D X ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值等于1；故③不正确； ④当σ一定时，正态曲线的位置由μ确定，随着μ的变化曲线沿x 轴平移.正确.
故选C.
点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．
12．A
解析：A 【解析】
分析：利用条件概率求(|)P B A .
详解：由题得22
65()30,()3010,n A A n AB A ===-=
所以(|)P B A =
()101
.()303
n AB n A ==故答案为A. 点睛：（1）本题主要考查条件概率，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A =
, (|)P B A =()
()
n AB n A .
二、填空题
13．（2）（4）【分析】对各个命题分别判断【详解】①回归方程为则变量增加一个单位时平均减少3个单位；②两个随机变量的线性相关性越强则相关系数的绝对值越接近于1；③随机变量服从二项分布则；④若则；⑤综上所
解析：（2）（4） 【分析】
对各个命题分别判断. 【详解】
①回归方程为ˆ33y
x =-，则变量x 增加一个单位时，y 平均减少3个单位； ②两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1； ③随机变量X 服从二项分布16,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()36
6
153()216
P X C ===； ④若()03f x '=-，则
()()
()()
()()
0000000
lim
lim
lim
x x x f x x f x x f x x f x f x f x x x
x x
∆→∆→∆→+∆--∆+∆---∆=+∆∆∆
()()
()()
0000000
lim
lim
()()6x x f x x f x f x x f x f x f x x
x
∆→∆→+∆-∆-''=+=+=-∆-∆-；
⑤()()2323E X E X +=+，()()234D X D X +=.. 综上所述，只有②④正确． 故答案为：②④． 【点睛】
本题考查命题的真假判断，需要掌握的知识较多，如线性回归直线方程的意义，线性相关系数r 与相关强弱的关系，二项分布的概率公式，导数的定义以及数据变换后的均值与方差的关系．本题属于中档题．
14．②④【分析】由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④【详解】回归直线恒过点但不一定要过样本点故①错误；由得有99的把握认为两个分类变量有关系故②正确；的值很小时只能
解析：②④ 【分析】
由回归直线的性质判断①；由独立性检验的性质判断②③；由正态分布的特点判断④. 【详解】
回归直线ˆˆˆy
bx a =+恒过点(),x y ，但不一定要过样本点，故①错误； 由2 6.635K ≥，得有99%的把握认为两个分类变量有关系，故②正确；
2K 的值很小时，只能说两个变量的相关程度低，不能说明两个变量不相关，故③错误；
(5)0.81P ξ≤=,(5)(3)10.810.19P P ξξ∴>=<-=-=，故④正确；
故答案为：②④ 【点睛】
本题主要考查了正态分布求指定区间的概率等，属于中等题.
15．【分析】根据随机变量分布列概率和为1求出求出再由方差性质即可求解【详解】由题意得则∴则∴故答案为:【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质期望方差以及方差的性质考查计算求解能力属于中档题 解析：
608
729
【分析】
根据随机变量分布列概率和为1求出a ，求出(),()E X D X ，再由方差性质，即可求解. 【详解】 由题意得11111311122334223344
a a a a a ⎛⎫++=-+-+-== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭， 则43a =
，∴()213
P X ==，()229P X ==，()139P X ==，
则24113
()3939E X =++=，
222
132********()12393999981D X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
∴2
608
()()729
D aX a D X ==. 故答案为:608
729
【点睛】
本题考查离散型随机变量分布列性质、期望、方差以及方差的性质，考查计算求解能力，属于中档题.
16．【分析】令事件求出即可求出选出4号球的条件下选出球的最大号码为6的概率【详解】令事件依题意知∴故答案为【点睛】本题考查古典概型理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性掌握列 解析：
114
【分析】
令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}
46B =选出的个球中最大号码为，求出
()3
9n A C =，()6n AB =，即可求出选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概
率． 【详解】
令事件{}44A =选出的个球中含号球，{}
46B =选出的个球中最大号码为，
依题意知()3
9=84n A C =，()2
4
6n AB C ==， ∴()61|8414P B A ==，故答案为1
14
. 【点睛】
本题考查古典概型，理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，掌握列举法，还要应用排列组合公式熟练，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题，属于中档题.
17．【分析】设事件A 表示第一次抽到中奖券事件B 表示第二次也抽到中奖券则P （A ）=P （AB ）=由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下第二次也抽到中奖券的概率【详解】10张奖券中有3张是有 解析：29
【分析】
设事件A 表示“第一次抽到中奖券”，事件B 表示“第二次也抽到中奖券”，则P （A ）=310
，P （AB ）=
32
109
⨯，由此利用条件概率计算公式能求出在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率． 【详解】
10张奖券中有3张是有奖的，某人从中依次抽两张，
设事件A 表示“第一次抽到中奖券”，事件B 表示“第二次也抽到中奖券”，
∴P （A ）=
310，P （AB ）=32109
⨯， ∴在第一次抽到中奖券的条件下，第二次也抽到中奖券的概率：
P （B|A ）=
()()322
109.3910
P AB P A ⨯== 故答案为2
9
．
【点睛】
本题考查概率的求法，考查条件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，P （B|A ）
=
()()
()()
=
P AB n AB P A n A .
18．【解析】分析：由题意知这是一个条件概率做这种问题时要从这两步入手一是做出黄色骰子的点数为或的概率二是两颗骰子的点数之和大于的概率再做出两颗骰子的点数之和大于且黄色骰子的点数为或的概率根据条件概率的公 解析：
712
【解析】
分析：由题意知这是一个条件概率，做这种问题时，要从这两步入手，一是做出黄色骰子的点数为3或6的概率，二是两颗骰子的点数之和大于7的概率，再做出两颗骰子的点数之和大于7且黄色骰子的点数为3或6的概率，根据条件概率的公式得到结果.
详解：设x 为掷红骰子的点数，y 为黄掷骰子得的点数，(),x y 共有6636⨯=种结果，则黄色的骰子的点数为3或6所有12种结果，两颗骰子的点数之和大于7所有结果有10种，利用古典概型概率公式可得()()()1211077,,363361836
P A P B P AB =
====，由条件概率公式可得()()()7
736|1123
P AB P B A P A =
==，故答案为7
12. 点睛：本题主要考查条件概率以及古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出；(3)利用两个原理及排列组合知识.
三、解答题
19．（1）1516；（2）分布列答案见解析，12
p =. 【分析】
（1）根据相互独立事件的概率计算“甲4次全部命中”的概率，用1减去“甲4次全部命中”的概率即可得出答案；
（2）由题意得,X Y 的可能取值均为0，1，2，3，依据题意算出其概率，列出其分布列分布列，根据数学期望公式算出,EX EY ，由EX EY =建立方程解出p . 【详解】
解：（1）“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，
所以甲至多命中3次的概率为4
1151216⎛⎫-= ⎪⎝⎭
.
（2）X ，Y 的可能取值均为0，1，2，3.
X 的分布列为
所以31234442
EX =
⨯+⨯+⨯=. Y 的分布列为
2322(1)124312122EY p p p p p p p =--++-=+-.
由2
31222
p p +-=，解得12p =.
【点睛】
离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略：
（1）求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解；
（2）由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值；
（3）由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断. 20．（1）8
13
，（2）91，（3）若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n 应该是7． 【分析】
（1）求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩不低于80分的人数为15人，由此能求出至少有1人成绩不低于80分的概率．
（2）样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：53，则53μ=，由2362σ=，得
19σ=，从而(91)(2)P Z P Z μσ=+，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．
（3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~(,0.75)B n ξ，求出E ξ，记甲答完n 题所加的
分数为随机变量X ，则2X ξ=，求出EX ，为了获取答n 题的资格，甲需要扣掉的分数为：20.1()n n +，设甲答完n 题的分数为()M n ，则2()1000.1() 1.5M n n n n =-++，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n 的值． 【详解】
解：（1）样本成绩不低于60分的学生有()0.01250.00752010040+⨯⨯=人
其中成绩不低于80分的有0.00752010015⨯⨯=人
则至少有1人成绩不低于80分的概率2252
408113
C P C =-= （2）由题意知样本中100名学生成绩平均分为
100.1300.2500.3700.25900.1553⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，所以53μ=，2362σ=，所以
19σ=
所以()~53,362Z N ，则()()()1
91210.95440.02282
P Z P Z μσ≥=≥+≈
-= 故全市参加预赛学生中成绩不低于91分的人数为0.022*******⨯≈人 （3）以随机变量ξ表示甲答对的题数，则~(,0.75)B n ξ，且0.75E n ξ=， 记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ，则2X ξ=， 2 1.5EX E n ξ∴==，
依题意为了获取答n 题的资格，甲需要扣掉的分数为：
20.2(123)0.1()n n n ⨯+++⋯+=+， 设甲答完n 题的分数为()M n ，
则22()1000.1() 1.50.1(7)104.9M n n n n n =-++=--+，
由于*n N ∈，∴当7n =时，()M n 取最大值104.9，即复赛成绩的最大值为104.9．
∴若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n 应该是7．
【点睛】
本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力．
21．（1）12件；（2）分布列见解析；期望为3965
；（3）231
703. 【分析】
（1）求出重量超过505克的产品的频率，再计算数量即可；
（2）X 的所有可能取值为0、1、2，求出对应的概率即可列出分布列，求出数学期望； （3）求出恰有2件产品的重量超过505克包含的基本事件的个数，除以总的基本事件的个数即可求解. 【详解】
（1）重量超过505克的产品频率为0.0550.0150.3⨯+⨯=， 重量超过505克的产品数量是400.312⨯=件； （2）X 的所有可能取值为0、1、2，
0212282
40142763
(0)780130C C P X C ⋅⨯====， 12282
41011228(15)780130
6
C C P X C ⋅⨯====，
2012282
4061111
(2)780130
C C P X C ⋅⨯====， X 的分布列为：
X 的期望561139()01213013013065
E X =⨯
+⨯+⨯=； （3）设在上述抽取的40件产品中任取5件产品，恰有2件产品的重量超过505克为事件
A ，
则32
28125
40231
()703
C C P A C ⋅==. 【点睛】
思路点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）. 22．（1）1728；（2）分布列见解析，()34
E X =. 【分析】
（1）先求出抽出的3人都不满意的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解； （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3则13,4X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，利用二项分布的概率公式求出每一个
X 的取值对应的概率，即可列出X 的分布列求出数学期望.
【详解】
（1）16人中满意的有4人，不满意的有12人，
设i A 表示所抽取的3人中有i 个人是“极满意”，至少有1人是“极满意”记为事件A ，
则抽出的3人都不满意的概率为()312031611
28
C P A C ==，
所以()()01117112828
P A P A =-=-
=， （2）X 的所有可能取值为0,1,2,3
16人中满意的有4人，不满意的有12人，随机抽取一人极满意的概率为
41164
=，
所以13,4X B ⎛⎫
~ ⎪⎝⎭
，
所以()3
3270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，
()2
1
3132714464P X C ⎛⎫==⨯⨯=
⎪⎝⎭， ()2
23139
24464
P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，
()3
33
113464
P X C ⎛⎫
==⨯= ⎪⎝⎭.
所以X 的分布列为
所以()1236464644
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 思路点睛：
求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）
23．（1）联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为以44岁为分界点的不同人群对“纯电动汽车”的接受程度有差异；（2）分布列答案见解析，数学期望为3
2
. 【分析】
（1）列出22⨯列联表，然后代入公式计算2K ，然后与表格的数据比较大小即可判断；（2）根据分层抽样判断出44岁以下的有6人，44岁及44岁以上的有2人，然后判断X 的可能取值，利用超几何分布计算概率即可. 【详解】
解：（1）由题可得22⨯联表如下：。