2019年最新高二 数学下学期期中考试卷

高二数学下学期期中考试卷
一、填空题（本大题共有12小题，每小题3分，共36分）
1．与向量)0,5(=a 平行且过点P ()3,1-的直线l 方程：
2．直线1
:10100
21
x y l -=的一个方向向量是 ；
3．直径的两个端点是(3,2)、(1,4)-的圆的方程为 ． 4．若123,22z i z i =+=-+，则12z z +的共轭复数为 ； 5．经过点(3,2)且与椭圆
22
194
x y
+=有相同焦点的椭圆的方程是 ． 6．已知圆 224x y +=与圆22250x y x y +-+-=相交，则它们的公共弦所在的直线方程是 ．
7．设12,F F 为椭圆
22
12516
x y +=的两个焦点，直线过1F 交椭圆于,A B 两点，则2AF B ∆的周长是 ． 8．过抛物线2
14
y x =
的焦点作直线交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y 两点，若12y y +=则弦长AB 的值为 ．
9．椭圆152
2=+m
y x 的焦点坐标是
10．设z C ∈，则方程3310z z ++-=表示的曲线的焦点坐标是
11. 已知等轴双曲线222x y r -= 上的点Ｍ在x 轴上的射影是Ｎ，则线段ＭＮ的中点Ｐ的轨迹
方程是 ． 12. 已知两点M （—5，0
）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|
—|PN|=6，则称该直线为
“B 型直线”。

给出下列直线：①1+=x y ；②2=y ；③x y 3
4
=；④.12+=x y 其中为“B 型直线”的是 （填上所有正确的序号）。

二、选择题：（本大题共8小题;每小题3分,共24分）
13．直线320x y ++=与直线4210x y +-=夹角是 （ ）
A.
34π B. 4π C. arccos 4
D. 14．已知12,z z 都是虚数，则12z z = 的一个必要不充分条件是 ( ) A. 120z z += B. 21z z = C. 12z z = D. 12z z =
15.直线m kx y +=()R k ∈与椭圆
18
132
2=+y
x 恒有交点,则m 的取值范围是( ) A
．8
8≤≤-m B. 138≤≤m C.0≥m D. 以上都不对
16. 关于22,0x y Ax Cy F ++=的方程的图形是双曲线的充要条件是 （ ） A.0
.0.0,0.0,0AC B AC C AC AF D AC F ><<><≠
17.直线1y x =-上的点到圆22
4240x y x
y ++-+=的最近距离是 （ ） A.1 B. 1 D. 1
18.过点(0,2)与抛物线2
8y x =只有一个公共点的直线有 （ ） A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条
19.设12,F F 为双曲线2
214
x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足12PF PF ⊥， 则12F PF ∆的面积是 （ ）
学校 班级 姓名 学号
20.设a b 、是非零实数，则方程22bx ay ab +=及0ax by +=所表示的图形可能是( )
三、解答题：（本大题共5小题，共40分）
21．（6分）已知()()2
2131,12i i z z az b i i
++-=
++=++且，求实数,a b 的值。

22.（7分）在ΔMNG 中，已知NG=4,当动点M 满足条件1
sin sin sin 2
G N M -=时，求动点M 的轨迹方程.
23.（7分）过原点的动椭圆的一个焦点为F (1，0)，长轴长为4，则动椭圆中心的轨迹方程.
24.（10分）已知动点P 到直线4x =的距离等于到定点1(1,0)F 的距离的2倍，
（１） 求动点P 的轨迹方程；
（２） 过1F 且斜率
1k =的直线交上述轨迹于C 、D 两点，若(2,0)A ，求ACD ∆的面积S ．
25、（10分）已知椭圆具有性质：若A 是椭圆C 的一条与x 轴不垂直的弦的中点，那么该弦的
斜率等于点A 的横、纵坐标的比值与某一常数的积。

试对双曲线122
22=-b
y a x 写出具有类似
特性的性质，并加以证明。

C
x
B
学校 班级 姓名 学号
参考答案
一、填空题
1．30y +=； 2.()1,2-等； 3. 2
2
(1)(3)5x y -+-=； 4． 13i -；5．22
11510
x y +=；
6.210x y -+=；7．２０；８
. 2+９
.(
)((05);0,(5)m m <<>； 10．()3,0±；11. 2224x y r -=；12.（1），（2）； 二、选择题
13. Ｂ 14.D 15.A 16.D 17.Ｄ 18.Ｃ 19. Ｄ 20.C 三、解答题
21.解：计算得：1z i =-，代入得：()()21a b a i i +-+=+，
故13
214
a b a a b +==-⎧⎧⇒⎨⎨
+=-=⎩⎩ 22. 解：由正弦定理得：1
22
MN MG NG NG -=
=<，有双曲线的定义知： 动点M 的轨迹是以,N G 为焦点的双曲线，适当建立直角坐标系，
求得其方程是：22
1,(1)13
x y x -=>右边的一支。

23．解：设椭圆的另一焦点为()'11,F x y ，椭圆的中心为(),M x y ，由定义得：
'''221141439OF OF OF OF x y +=⇒+=⇒=⇒+=，
由中点公式：
111110
,21,222
x y x y x x y y ++==⇒=-=，代入上式整理得： 2
2
1924x y ⎛⎫-+= ⎪
⎝⎭
24. 解：（１）设动点(,)P x y
，由题设知4x -=
化简得动点(,)P x y 的轨迹方程是22
143
x y +=.
（２）过1(1,0)F 且斜率1k =的直线方程为1y x =-代入椭圆方程消去y ，
得 27880x y --=． 设1122(,),(,)C x y D x y ，
则1212y y x x -=-==
而1121112277
ACD S AF y y ∆=
⋅-=⨯⨯=
25. 解：双曲线C ：122
22=-b
y a x 具有类似于椭圆的性质：若A 是双曲线C 的一条与x 轴不
垂直的弦的中点，那么该弦的斜率等于点A 的横、纵坐标的比值与某一常数的积。

证明：设弦的两个端点是()()1122,,,M x y N x y ，的中点为(),A m n
则有：2211221x y a b -=，22
22221x y a b
-=，两式相减得：
()()()()2222
2121212121212222
00x x x x y y y y x x y y a b a b +-+----=⇒-= 而21
212121
2,2,MN y y x x m y y n k x x -+=+==
-，代入上式得：
22
22,MN
m b b k n a a ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭
为常数，得证。