北师大版数学选修2-2巩固提升：第一章 推理与证明 章末综合检测(一)

章末综合检测(一)
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若sin A a ＝cos B b ＝cos C c ，则△ABC 是( )
A ．等边三角形
B ．有一个内角是30°的直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．有一个内角是30°的等腰三角形
解析：选C.因为sin A a ＝cos B b ＝cos C
c ，由正弦定理得，
sin A a ＝sin B b ＝sin C
c
， 所以sin B b ＝cos B b ＝cos C c ＝sin C c .
所以sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ， 所以∠B ＝∠C ＝45°， 所以△ABC 是等腰直角三角形．
2．我们把平面几何里相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体．下列几何体中，一定属于相似体的有( )
①两个球体；②两个长方体；③两个正四面体；④两个正三棱柱；⑤两个正四棱锥． A ．4个 B ．3个 C ．2个
D ．1个
解析：选C.类比相似形中的对应边成比例知，①③属于相似体． 3．数列1，5，10，16，23，31，x ，50，…中的x 应为( ) A ．38 B ．39 C ．40
D ．41
解析：选C.因为5－1＝4，10－5＝5，16－10＝6，23－16＝7，31－23＝8，所以x －31＝9，所以x ＝40，验证50－40＝10.
4．某人在上楼梯时，一步上一个台阶或两个台阶，设他从平地上到第一级台阶时有f (1)种走法，从平地上到第二级台阶时有f (2)种走法……则他从平地上到第n 级(n ≥3)台阶时的走法f (n )等于( )
A ．f (n －1)＋1
B ．f (n －2)＋2
C ．f (n －2)＋1
D ．f (n －1)＋f (n －2)
解析：选D.要到达第n 级台阶有两种走法：(1)在第n －2级的基础上到达；(2)在第n －1级的基础上到达．
5．用反证法证明命题：“若函数f (x )＝x 2＋px ＋q ，那么|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2
”时，反设正确的是( )
A ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都不小于1
2
B ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于1
2
C ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有两个小于1
2
D ．假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|至多有一个小于1
2
解析：选 B.“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2”的反设为“|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|
都小于12
”．
6．用数学归纳法证明：1＋
11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n ＝2n n ＋1
时，由n ＝k 到n ＝k ＋1左边需要添加的项是( )
A.2
k （k ＋2）
B.1k （k ＋1）
C.1
（k ＋1）（k ＋2）
D.2
（k ＋1）（k ＋2）
解析：选 D.由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边需要添加的项是1
1＋2＋3＋…＋（k ＋1）
＝
2
（k ＋1）（k ＋2）
.故选D.
7．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|P A |＋|PB |＝2a >|AB |，则P 点的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆
x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1的面积S ＝πab D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析：选B.由A 可知其为椭圆的定义；
B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1求出S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，属于归纳推理；
C ．由圆
x 2＋y 2＝r 2的面积πr 2，猜想出椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1的面积S ＝πab ，是类比推理；
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇，也属于类比推理．故选B. 8．已知f (x ＋1)＝2f （x ）
f （x ）＋2，f (1)＝1(x ∈N ＋)，猜想f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝4
2x ＋2
B ．f (x )＝2
x ＋1
C ．f (x )＝1
x ＋1
D ．f (x )＝2
2x ＋1
解析：选B.当x ＝1时，f (2)＝2f （1）f （1）＋2＝23＝2
2＋1，
当x ＝2时，f (3)＝2f （2）f （2）＋2＝24＝2
3＋1
；
当x ＝3时，f (4)＝2f （3）f （3）＋2＝25＝24＋1，故可猜想f (x )＝2
x ＋1
，故选B.
9．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形
C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形
D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形
解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．
假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形，并设cos A 1＝sin A 2， 则cos A 1＝cos (90°－∠A 2)， 所以∠A 1＝90°－∠A 2.
同理设cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2， 则有∠B 1＝90°－∠B 2，∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°，
所以(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°， 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾，
所以原假设不成立．若△A 2B 2C 2是直角三角形，不妨设A 2＝π
2，
则sin A 2＝1＝cos A 1，而A 1在(0，π)内无解．故选D. 10．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( )
A ．大于0
B ．小于0
C ．不小于0
D ．不大于0
解析：选D.因为(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )＝0， 又因为a 2＋b 2＋c 2≥0，所以2(ab ＋bc ＋ac )≤0.故选D.
11．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n (n ≥2)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋1
2，
12＝13＋16，13＝14＋1
12
，…，则第7行第4个数(从左往右数)为( ) 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15
…
A.1140
B.1105
C.160
D.142
解析：选A.由“第n 行有n 个数且两端的数均为1n ”可知，第7行第1个数为1
7，由“每
个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第7行第2个数为16－17＝1
42.同理易知，第7行
第3个数为130－142＝1105，第7行第4个数为160－1105＝1
140
.故选A.
12．已知f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )且f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (n )不能等于( ) A ．f (1)＋2f (1)＋…＋nf (1) B ．f ⎝⎛
⎭⎫n （n ＋1）2
C ．n (n ＋2) D.n （n ＋1）
2
f (1)
解析：选C.f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )， 令x ＝y ＝1，所以f (2)＝2f (1)，
令x ＝1，y ＝2，f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)，
…
f (n )＝nf (1)，
所以f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝(1＋2＋…＋n )f (1) ＝
n （n ＋1）
2
f (1)． 所以A 、D 正确；
又f (1)＋f (2)＋…＋f (n )＝f (1＋2＋…＋n )＝f ⎝⎛⎭⎫
n （n ＋1）2，
所以B 也正确，故选C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第6个图形中有________个小正方形．
解析：第1个图中有3个小正方形，第2个有3＋3＝6个小正方形，第3个有6＋4＝10个小正方形，第4个图形有10＋5＝15个小正方形，第5个图形有15＋6＝21个小正方形，第6个图形中有21＋7＝28个小正方形．
答案：28
14．若三角形的周长为L ，面积为S ，内切圆半径为r ，则有r ＝2S
L ，类比此结论，在四
面体中设其表面积为S ，体积为V ，内切球半径为R ，则有________．
解析：三角形可分解为三个以内切圆圆心为顶点的三角形，于是有12L ·r ＝S ，即r ＝2S
L ，
四面体可分解为四个以四面体各面为底面，内切球球心为顶点的三棱锥．于是1
3·S ·R ＝V ，
即R ＝3V S
.
答案：R ＝3V
S
15．如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，以此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________．
解析：根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， 所以{a n }构成以a 1＝2，q ＝
2
2
的等比数列，
所以a 7＝a 1q 6
＝2×⎝⎛⎭⎫226
＝14
. 答案：14
16. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，设三角形ABC 的顶点分别为A (0，a )、B (b ，0)、C (c ，0)．点P (0，p )为线段AO 上的一点(异于端点)，这里a 、b 、c 、p 为非零常数．设直线BP 、CP 分别与边AC 、AB 交于点E 、F ，某同学已正确求得直线OE 的方程⎝⎛⎭⎫1b －1c x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.请你完成直线OF 的方程：(________)x ＋⎝⎛⎭⎫1p －1a y ＝0.
解析：由对称性可猜想填1c －1b .事实上，由截距式可得直线AB ：x b ＋y
a ＝1.
直线CP ：x c ＋y
p
＝1，两式相减得
⎝⎛⎭⎫1c －1b x ＋⎝⎛⎭
⎫1p －1a y ＝0.显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．
答案：1c －1b
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)观察图，可以发现： 1＋3＝4＝22， 1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， …
由上述具体事实能得出怎样的结论？ 解：将上述事实分别叙述如下： 对于正整数，有
前2个奇数的和等于2的平方； 前3个奇数的和等于3的平方； 前4个奇数的和等于4的平方； 前5个奇数的和等于5的平方； …
由此猜想：前n (n ∈N ＋)个奇数的和等于n 的平方，即1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2. 18．(本小题满分12分)已知a 与b 均为有理数，且a 与b 都是无理数，证明：a ＋b
是无理数．(用反证法证明)
证明：假设a ＋b 为有理数，(a ＋b )(a －b )＝a －b ， 由a >0，b >0，得a ＋b >0， 所以a －b ＝
a －b
a ＋b
， 因为a 、b 为有理数，且a ＋b 为有理数， 所以
a －b
a ＋b
，即a －b 为有理数， 所以(a ＋b )＋(a －b )，即2a 为有理数，
从而a 也为有理数，这与已知a 为无理数矛盾，假设不成立，所以a ＋b 一定为无理数．
19．(本小题满分12分)已知椭圆具有以下性质：已知M ，N 是椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上
关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN ＝－b 2a 2.试对双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)写出类似的性质，并加以证
明．
解：类似的性质为：已知M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上关于原点对称的两个点，
点P 是双曲线上任意一点，若直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN ，那么k PM ·k PN ＝b 2a
2. 证明如下：设点M ，P 的坐标分别为(m ，n )，(x ，y )， 则N 点的坐标为(－m ，－n )．
因为点M (m ，n )在已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1上，
所以m 2a 2－n 2b 2＝1，得n 2＝b 2a 2m 2－b 2
，
同理y 2＝
b 2a 2
x 2
－b 2. 所以
y 2－n 2＝
b 2a 2
(x 2
－m 2)． 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2
a 2.
20．(本小题满分12分)用综合法和分析法证明． 已知α∈(0，π)，求证：2sin 2α≤sin α
1－cos α.
证明：法一：(分析法)
要证明2sin 2α≤sin α
1－cos α成立．
只要证明4sin αcos α≤sin α
1－cos α.
因为α∈(0，π)，所以sin α>0. 只要证明4cos α≤1
1－cos α.
上式可变形为
4≤1
1－cos α＋4(1－cos α)． 因为1－cos α>0，所以1
1－cos α
＋4(1－cos α)
≥2
1
1－cos α
·4（1－cos α）＝4，
当且仅当cos α＝1
2，即α＝π3时取等号．
所以4≤1
1－cos α＋4(1－cos α)成立．
所以不等式2sin 2α≤sin α
1－cos α成立．
法二：(综合法)
因为1
1－cos α
＋4(1－cos α)≥4，
⎝⎛⎭
⎫1－cos α>0，当且仅当cos α＝12，即α＝π3时取等号
所以4cos α≤1
1－cos α.
因为α∈(0，π)，所以sin α>0. 所以4sin αcos α≤sin α
1－cos α.
所以2sin 2α≤sin α
1－cos α
.
21. (本小题满分12分)已知在四棱锥 P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，P A ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．
(1)证明：PF ⊥FD .
(2)判断并说明P A 上是否存在点G ，使得EG ∥平面PFD . 解： (1)证明：连接AF ，则AF ＝2，
DF ＝2，又AD ＝2，所以DF 2＋AF 2＝AD 2， 所以DF ⊥AF ，
又P A ⊥平面ABCD ，所以DF ⊥P A ，又P A ∩AF ＝A ， 所以
⎭
⎬⎫DF ⊥平面P AF PF 平面P AF ⇒DF ⊥P .
(2)过点E 作EH ∥FD ，交AD 于点H ，则EH ∥平面PFD ，且有AH ＝1
4AD ，再过点H
作HG ∥DP 交P A 于点G ，
则HG ∥平面PFD 且AG ＝1
4AP .
所以平面EHG ∥平面PFD ， 所以EG ∥平面PFD .
从而线段AP 上满足AG ＝1
4
AP 的点G 即为所求．
22．(本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1
4，且a n ＋1＝（n －1）a n n －a n (n ≥2)．
(1)求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明； (2)设b n ＝
a n ·a n ＋1a n ＋a n ＋1
，求证：对任意的n ∈N ＋，都有b 1＋b 2＋…＋b n <
n
3
. 解：(1)容易求得：a 3＝17，a 4＝1
10.
故可以猜想a n ＝1
3n －2，n ∈N ＋.
下面利用数学归纳法加以证明： ①显然当n ＝1，2，3，4时，结论成立， ②假设当n ＝k (k ≥4，k ∈N ＋)时，结论也成立，即 a k ＝13k －2
.
那么当n ＝k ＋1时，由题设与归纳假设可知： a k ＋1＝（k －1）a k
k －a k
＝（k －1）×
1
3k －2k －
13k －2
＝k －13k 2－2k －1＝k －1
（3k ＋1）（k －1）
＝
13k ＋1＝13（k ＋1）－2
. 即当n ＝k ＋1时，结论也成立，
综上，对任意n∈N＋，a n＝
1
3n－2
成立．
(2)证明：b n＝
a n·a n＋1 a n＋a n＋1
＝
1
3n－2
·
1
3n＋1 1
3n－2
＋
1
3n＋1
＝
1
3n＋1＋3n－2
＝
1
3(3n＋1－3n－2)，
所以b1＋b2＋…＋b n
＝1
3[(4－1)＋(7－4)＋(10－7)＋…＋(3n＋1－3n－2)]＝
1
3(3n＋1－1)，
所以只需要证明1
3(3n＋1－1)<
n
3
⇔3n＋1<3n＋1⇔3n＋1<3n＋23n＋
1⇔0<23n(显然成立)，
所以对任意的n∈N＋，都有b1＋b2＋…＋b n<n 3.
由Ruize收集整理。

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