高等代数第9章入-矩阵

阵.
• 注(1)这里 E是n级阶单位矩阵; (2)这样的矩阵B()是唯一的, 记作A-1().
• 伴随矩阵A*(): 同数字矩阵.
定理 一个 n×n的 -矩阵A()是可逆的充
分必要条件为行列式|A()|是一个非零 的数.
证 先证充分性,设 d=|A()| 是一个非零常数. A*()是A()的伴随矩 阵, 也是一个-矩阵, 而 1 1 A() A*()= A*()A()= E d d 因此，A()可逆. 反之,若A()可逆, 两边取行列式, |A()||B()| = |E|=1 因为|A()|与|B()|都是的多项式,所以都 只能是零次多项式,即非零常数.
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
a1 j ( ) a11 ( ) 0 aij ( ) a1 j ( ) ( )
a11 ( ) aij ( ) (1 ( ))a1 j ( ) A1 ( ) 0 aij ( ) a1 j ( ) ( )
矩阵 A1() 的第1行中aij()+(1-())a1i() 不能被左上角元素a11()除尽,这就化为 已经证明了的情况(2).
• 定理 任意一个非零的sn的-矩阵A()
都等价于下列行式的矩阵
d 1 ( ) d 2 ( ) d r ( )1,2,…,r)是首项系数为1 的多项式, 且 di()di+1() (i=1,2,…,r-1)
证 经行列调动,可使A()的左上角元素a11()0. 若a11()不能除尽A()的全部元素,由引理,可找 到与A()等价的B1(),其左上角元素b1()0, 且 次数比a11()低.若b1()还不能除尽B1()的全部 元素,由引理,又可找到与B1()等价的B2(), 其 左上角元素b2()0,且次数比b1()低.如此下去, 将得到一系列彼此等价的-矩阵A(), B1(), B2(),…它们左上角元素皆不为零,而且次数越 来越低.但次数是非负整数.因此在有限步以后, 我们将终止于一个-矩阵Bs(),其左上角元素 bij()0,且可除尽Bs()的全部元素bij (),即 bij() = bs()qij(), 对Bs()作初等变换:
• 数字矩阵: 特殊情形. • 运算:与数字矩阵相同. • -矩阵的行列式是 的一个多项式,与
数字矩阵的行列式有相同的性质.
• 二. -矩阵的行列式 • -矩阵的行列式是 的一个多项式,与数 字矩阵的行列式有相同的性质. • 子式、非零子式. • -矩阵的秩. • 零矩阵的秩规定为0. 2 2 3 1 • 例设 因为A()的4个3阶子式全等于零,而有一 1 2 个2阶子式,则 2 0 1 A()的秩为2.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
• 定义 -矩阵A()称为与B()等价,如果可 以经过一系列初等变换将A()化为B(). • 等价是-矩阵之间的一种等价关系,即满 足如下三条;
(1) 自反性: 每个-矩阵与自己等价. (2)对称性:若A()与B()等价,则B()与 A()等价. (由于初等变换具有可逆性). (3) 传递性:若A()与B()等价, B()与C() 等价,则A()与C()等价.
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
似,但是对A()进行的是初等列变换.
(3) A()的第一行与第一列中的元素都可以
被a11()除尽,但A()中有另一个元素
aij() (i>1,j>1)不能被除尽.设
ai1()=a11()().对A()作下述初等行 变换: a11 ( ) a1 j ( )
A( ) ai 1 ( ) aij ( )
2 1 2 2 3
因为|B()|=2(+1), 不是非零常数, 所以 B()不可逆.
• 例4
2 3 1 C ( ) 2 1 2 2 2 2 2 1 3
1 2 3 2 2 1 3 1 2 2 3 3
• 对一个sn的-矩阵A()作一次初等行变 换就相当于在A()的左边乘上相应的ss 初等列矩阵; 对A()作一次初等变换就相 当于在A()的右边乘上相应的nn的初等 矩阵. • 初等矩阵都是可逆的, 并且有 P(i, j)-1=P(i, j) , P(i(c))-1=P(i(c-1)), P(i,j())-1=P(i,j(-)).
所在的位置, 分三种情形来讨论: (1)若在A()的第一列中有一个元素ai1() 不能被a11()除尽, 则有 ai1() =q()+r() ， 其中余式r()0, 且次数比ai1()的次数低.
对A()作初等行变换,把A()的第i行减 去第一行的q()倍,得:
a11 ( ) a11 ( ) A( ) ai 1 ( ) r ( )
2 0
2 1
0 1 1 2 1 1 2 0 2 0 3 2 0 0 2
1 0 0 0 0 0 B ( ) 2 0
• 命题 矩阵A()与B()等价的充分必要条
件为有一系列初等-矩阵P1,P2,…,Ps, Q1, Q2 ,…,Qt,使 A()=P1P2…PsB()Q1Q2…Qt .
• 引理 设-矩阵A()的左上角元素a11() ≠0, 并且A()中至少有一个元素不能被 它除尽, 那么一定可以找到一个与A() 等价的矩阵B(), 它的左上角元素也不为 零, 但是次数比a11()的次数低. • 证 根据A()中不能被a11()除尽的元素
因为|C()|= -3, 所以C()可逆, 且
2 2 3 4 1 1 C ( ) C * ( ) 2 1 3 3 2 2 1 3 3 1 2 1 3 2 2 1 3 1 2 1 3 3
• 注 称行列式不为0的矩阵为非退化的. • 对数字矩阵和-矩阵,非退化的含义不同.
• 定理 等价的-矩阵具有相同的秩
与相同的各阶行列式因子.
• 证 只需要证明, -矩阵经过一次初等变换, 其秩 与行列式因子是不变的. 设-矩阵A()经一次初等行变换变成B(), f( ) 与g( )分别是A()与B()的k阶行列式因子. 现证f=g.下面分三种情况讨论： (1) A()经初等变换(1)变成B(), 这时,B()的每 个k阶子式或者等于A()的某个k阶子式,或者与 A()的某一个k阶子式反号, 因此f()是B()的k 阶子式的公因式, 从而f()|g().
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
§2 -矩阵在初等变换下的标准形
一.初等变换与初等矩阵 • -矩阵的初等变换:指下面的三种变换
(1)矩阵的两行(列)互换位置; (2)矩阵的某一行(列)乘以非零的常数c; (3)矩阵的某一行(列)加另一行(列)的() 倍, ()是一个多项式. • -矩阵的初等矩阵: • 由单位矩阵经一次-矩阵的初等变换得 到的-矩阵称为初等-矩阵. P(i, j); P(i(c)); P(i, j())
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
再将此矩阵的第1行与第i行互换,得:
r ( ) B ( ) A( ) a11 ( )
B()的左上角元素r()符合引理的要求,故 B()即为所求的矩阵.
(2)在A()的第一行中有一个元素a1i()不
能被a11()除尽,这种情况的证明与(1)类
bs ( ) b1 j ( ) Bs ( ) bi 1 ( )
bs ( ) 0 0
0 A1 ( ) 0
右下角的-矩阵A1()中的全部元素都是 Bs()中元素的组合,都可以被bs()除尽. 若A1(),则对于A1()可以重复上述过程, 进而把矩阵化成
四、-矩阵的多项式表示 • 设-矩阵A()的元素的最高次为m,则A() 可以表示成 A()= mAm+m-1Am-1+…+ A1+A0 这里Ai都是数字矩阵. • -矩阵的多项式的运算与一般多项式相 同. • 由于矩阵的乘法不满足交换律, 故-矩阵 的多项式的乘法不满足相应的次数规律. • 两个非零-矩阵(多项式)相乘可能是零.
第9章 -矩阵
§1 §2 §3 §4 §5 §6 §7
-矩阵 -矩阵在初等变换下的标准形
不变因子 矩阵相似的条件 初等因子 Jordan标准形的理论推导 矩阵的有理标准形
§1 - 矩阵
一. 概念 • 设P是一个数域, 是一个文字,作多项式 环P[]. 如果一个矩阵其元素是的多项 式, 即P[]的元素, 就称为 -矩阵. 常用 A(),B()表示.