人教b版选修2-3章末综合测评(一) 计数原理

章末综合测评(一) 计数原理
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.C9
10＋C8
10
等于( )
A.45
B.55
C.65
D.以上都不对
【解析】C9
10＋C8
10
＝C1
10
＋C2
10
＝55，故选B.
【答案】 B
2.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A.10种
B.20种
C.25种
D.32种
【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.
【答案】 D
3.在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为( )
A.140
B.240
C.360
D.800
【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C4
5
，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x的系数为C45·25＋C45·24＝240.
【答案】 B
4.某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A.16种
B.36种
C.42种
D.60种
【解析】分两类.第一类：同一城市只有一个项目的有A3
4
＝24种；第二类：
一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C2
3·C2
4
·A2
2
＝36种，则共有36＋24
＝60种.
【答案】 D
5.5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有( )
A.18种
B.24种
C.36种
D.48种
【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是A3
3
＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.
【答案】 C
6.关于(a－b)10的说法，错误的是( )
A.展开式中的二项式系数之和为1024
B.展开式中第6项的二项式系数最大
C.展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D.展开式中第6项的系数最小
【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也
是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的.
【答案】 C
7.如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共( )
图1
A.1240种
B.360种
C.1920种
D.264种
【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可
以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C1
3C1
2
A5
5
种；当五种颜色选择四种时，
选法有C4
5C1
3
×3×A4
4
种；当五种颜色选择三种时，选法有C3
5
×2×A3
3
种，所以不同
的涂色方法共C1
3C1
2
A5
5
＋C4
5
C1
3
×3×A4
4
＋C3
5
×2×A3
3
＝1920.故选C.
【答案】 C
8.某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有( )
A.1050种
B.700种
C.350种
D.200种
【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容
机中选2台；
(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台.
所以不同的选购方法有C3
6C2
5
＋C2
6
C3
5
＝350种.
【答案】 C
9.设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为( )
【导学号：62980031】
A.29
B.49
C.39
D.59
【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.
【答案】 B
10.如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是( )
A.60
B.48
C.36
D.24
【解析】在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.
【答案】 B
11.某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为( )
A.96
B.180
C.360
D.720
【解析】由这6个数字组成的六位数个数为
A6
6
A2
2
A2
2
＝180，即最多尝试次数为
180.故选B.
【答案】 B
12.设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是( )
A.15x3
B.20x3
C.21x3
D.35x3
【解析】令x＝0，得a0＝1，
再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，
故展开式中系数最大项是
T 4＝C3
6
x3＝20x3.故选B.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)
13.某科技小组有女同学2名、男同学x名，现从中选出3名去参加展览.若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________.
【解析】由题意得C1
2
·C2x＝20，解得x＝5.
【答案】 5
14.(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________.
【解析】(1.05)6＝(1＋0.05)6＝C0
6＋C1
6
×0.05＋C2
6
×0.052＋C3
6
×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34. 【答案】 1.34
15.观察下列各式：
C0
1
＝40；
C0 3＋C1
3
＝41；
C0 5＋C1
5
＋C2
5
＝42；
C0 7＋C1
7
＋C2
7
＋C3
7
＝43；
……
照此规律，当n∈N＋时，
C 0
2n －1＋C 12n －1＋C 2
2n －1＋…＋C
n －12n －1
＝________.
【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为
4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 2
2n －1＋…＋C n －12n －1＝4
n －1. 【答案】 4n －1
16.设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋
a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.
图2
【解析】 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4). 故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.
由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r
(r ＝0,1,2，…，n ).故C 1n a ＝3，C 2n a 2
＝4，解得a ＝3.
【答案】 3
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知⎩⎨
⎧
C x n ＝C 2x
n ，
C
x ＋1n
＝
113
C x －1
n ，试求x ，n 的值.
【解】 ∵C x
n ＝C
n －x n ＝C 2x
n ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .
由C x ＋1
n ＝
113
C x －1
n ，得 n ！(x ＋1)！(n －x －1)！＝113·n ！
(x －1)！(n －x ＋1)！，
整理得
3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！， 3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .
将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)， ∴x ＝5，n ＝3x ＝15.
18.(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N ＋)能被16整除.
【证明】 49n ＋16n －1＝(48＋1)n ＋16n －1
＝C 0n ·48n ＋C 1n ·48n －1＋…＋C n －1n ·48＋C n n ＋16n －1 ＝16(C 0n ·3×48n －1＋C 1n ·3×48n －2＋…＋C n －1n ·3＋n ).
所以49n ＋16n －1能被16整除.
19.(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球， (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？
【解】 (1)将取出4个球分成三类情况： ①取4个红球，没有白球，有C 44种；
②取3个红球1个白球，有C 34C 16种；
③取2个红球2个白球，有C 24C 2
6种，
故有C 44＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种.
(2)设取x 个红球，y 个白球， 则⎩⎨
⎧
x ＋y ＝5，0≤x ≤4，2x ＋y ≥7，0≤y ≤6，
故⎩⎨⎧
x ＝2，y ＝3
或⎩⎨⎧
x ＝3，y ＝2
或⎩⎨
⎧
x ＝4，y ＝1.
因此，符合题意的取法共有C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 1
6＝186种.
20.(本小题满分12分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式
的值：
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；
(2)a6.
【解】(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10＝1.
(2)a6即为含x6项的系数，T r＋1＝C r10(2x)10－r·(－1)r＝C r10(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13440x6，即a6＝13440.
21.(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.
(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；
(3)全体站成一排，女生必须站在一起；
(4)全体站成一排，男生互不相邻.
【解】(1)共有A7
7
＝5040种方法.
(2)甲为特殊元素.先排甲，有5种方法，其余6人有A6
6
种方法，故共有5×
A6
6
＝3600种方法.
(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A4
4
种
方法，再将4名女生进行全排列，有A4
4种方法，故共有A4
4
×A4
4
＝576种方法.
(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A4
4
种方法，
再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A3
5
种方法，故共
有A4
4×A3
5
＝1440种方法.
22.(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N＋}，B＝
{4,5,6,7,8}.
(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？
(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数？
【解】由1<log
2x<3，得2<x<8，又x∈N
＋
，所以x为3,4,5,6,7，即A＝
{3,4,5,6,7}，所以A∪B＝{3,4,5,6,7,8}.
(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A36＝120个三位数.
(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，
有C3
5·C1
3
·A3
3
＝180个满足题意的自然数；
若不从集合A中取元素3，则有C14C34A44＝384个满足题意的自然数. 所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.。