北京清华附中上地学校C21级数学几何综合练习及答案

1．西城2024
2．东城2024
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC上一点，连接DA，将线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE．
（1）如图1，当点D与点B重合时，连接AE，交BC于点H，求证：AE⊥BC；
（2）当BD≠CD时(图2中BD＜CD，图3中BD>CD) ，F为线段AC的中点，连接EF．在图2，图3中
任选一种情况，完成下列问题：
①依题意，补全图形；
②猜想∠AFE的大小，并证明．
已知线段AB和点C，将线段AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AD，将线段BC绕点B顺时针旋转180°-α，得到线段BE，连接DE ，F为DE的中点，连接AF，BF.
（1）如图1，点C在线段AB上，依题意补全图1，直接写出∠AFB的度数；
（2）如图2，点C在线段AB的上方，写出一个α的度数，使得AF=成立，并证明.
图1 图2
已知在△ABC 中，AB =AC ，0°<∠BAC <90°，将线段AC 绕点 A 逆时针旋转α得到线段AD ，连接ＢD ，CD ．
（1）如图1，当∠BAC =α时，∠ＡBD
=
（用含有α的式子表示）； （2）如图2，当α=90°时，连接BD ，作∠BAD 的角平分线交BC 的延长线于点F ，交BD
于点E ，连接DF ．
①依题意在图2中补全图形，并求∠DBC 的度数；
②用等式表示线段AF ，CF ，DF 之间的数量关系，并证明．
图1 图2
如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=°，60BAC ∠=°．D 是边BA 上一点（不与点B 重合且12
BD BA <），将线段CD 绕点C 逆时针旋转60°得到线段CE ，连接DE ，AE ． （1）求CAE ∠的度数；
（2）F 是DE 的中点，连接AF 并延长，交CD 的延长线于点G ，依题意补全图形．
若G ACE ∠=∠，用等式表示线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系，并证明．
D
A
B
C
E
如图，在等边三角形ABC中，E，F分别是BC，AC上的点，且BE CF
=，AE，BF交于点G.
（1）AGF
∠=°；
（2）过点A作AD∥BC（点D在AE的右侧），且AD BC
=，连接DG.
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系，并证明.
如图，△ABC中，AC=BC ,∠ACB=90°，D为AB边中点，E为△ABC外部射线CD上一点，连接AE，过C作CF⊥AE于F.
（1）依题意补全图形，
（2）找出图中与∠EAD相等的角，并证明；
（3）连接DF，猜想∠CFD的度数，并证明.
8．通州
如图，△ABC中，90
∠=︒，AC = BC，点D在AB的延长线上，取AD的中点F，连结CD、
ACB
CF，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，连结AE、BE.
（1）依题意，请补全图形；
（2）判断BE、CF的数量关系及所在直线的位置关系，并证明.
1．
2．（1）证明：∵AB =AC ，∠BAC =120°，
∴∠ABC =∠C =30°.
将线段DA 绕点D 顺时针旋转60°得到线段DE ， ∴DE =DA ，∠ADE =60°. ∴△ADE 是等边三角形. ∴∠BAE =60°. ∴∠AHB =90°.
∴BC ⊥AE. ………..3分
（2）解：选择图2：
①补全图形如图所示：………..4分
②猜想∠AFE =90°. ………..5分
证明：如图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，连接AE . 则∠AHB =∠AHC =90°. ∵AB =AC ，∠BAC =120°，
∴∠CAH =1
2
∠BAC =60°，∠C =30°. ∴AH =
12AC . ∵F 为线段AC 中点， ∴AF =
12
AC . ∴AH =AF .
由（1）可知△ADE 是等边三角形. ∴∠DAE =60°=∠CAH ，AD=AE. ∴∠DAH =∠EAF .
在△ADH 和△AEF 中，
.DAH EA AD AE AH AF F ∠==⎧∠⎪⎨⎪=⎩
，， ∴△ADH ≌△AEF （SAS ）.
∴∠AFE =∠AHD =90°. ………7分 选择图3：
①补全图形如图所示：
②
（选择图3的答案与选择图2的答案一致）
3.（1）解：补全图1，如图.
90.
（2）60.
证明：延长AF到点G，使得GF=AF，连接BG，连接GE并延长，与AB的延长线于点H.
∵F是DE的中点，
∴DF=EF.
∵∠DF A=∠GFE，
∴△DF A≌△GFE.
∴AD=GE，∠DAF=∠FGE.
∴AD//EG.
∴∠DAB+∠H=180°.
在△ACB中，
∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA
=180°-（∠DAB-∠DAC）-（∠EBA-∠EBC）
=180°-∠DAB+α-∠EBA+180°-α
=∠H+∠EBH
=∠BEG.
∵BE=CE，AD=AC=GE，
∴△ABC≌△BEG.
∴AB=BG，∠ABC=∠GBE.
∴AF⊥BF，∠ABG=2∠ABF，∠ABG=∠EBC.
∵α=60°，
∴∠EBC =180°-α=120°.
∴∠ABF=60°.
∴∠F AB=30°.
∴AF=√3BF.
4. （1）∠ABD=90°-α． ··················································1分（2）①解：依题意补全图形. ·······································2分
5．（1）解：取AB 的中点M ，连接MC ，如图.
∵90ACB ∠=°， ∴CM AM =. 又∵60CAM ∠=°， ∴ACM △是等边三角形. ∴160ACM ∠=∠=°，CA CM =. ∵60DCE ∠=°， ∴23∠=∠． 又∵CE CD =， ∴ACE △≌MCD △．
∴41801120CAE ∠=∠=−∠=°°. ………………………… 3分
（2）依题意补全图形（略）．
线段FG ，AF ，AE 之间的数量关系：FG AF AE =+.
证明：过点D 作DN ∥AE 交AG 于点N ，如图．
∴FDN △∽FEA △. ∴
ND NF FD
AE AF FE
==． ∵FD FE =，
∴ND AE =，NF AF =．
∵12060180CAE ACM ∠+∠=+=°°°， ∴CM ∥AE ． ∴CM ∥DN ．
∴53∠=∠．
∵2G ∠=∠，23∠=∠， ∴5G ∠=∠． ∴NG ND AE ==．
∵FG NF NG =+，NF AF =，
4
3
2
1M D
A
B
C
E
5
4
3
2
1N G
F
M D
A
B
C
E
6．（1）60；………….………..……….2分（2）①依题意补全图形，如图.
………….………..……….4分
②用等式表示线段AG，BG与DG的数量关系：222
3AG BG DG
+=.
………….………..……….5分
证明：作120
GAM
∠=︒，在AM截取AP AG
=，连接GP，PD.
∵AP AG
=,120
GAP
∠=︒,
∴30
AGP APG
∠=∠=︒.
∵△ABC是等边三角形，
∴AB BC
=,60
ABC
∠=︒.
又∵AD BC
=,
∴AB AD
=.
∵AD∥BC，
∴180
ABC BAD
∠+∠=︒.
∴120
BAD
∠=︒.
∵120
GAP
∠=︒,
∴BAG DAP
∠=∠.
∴△BAG≌△DAP（SAS）.
∴BG DP
=，120
APD AGB
∠=∠=︒.
∵30
APG
∠=︒，
∴90
DPG
∠=︒.
∴222
GP DP DG
+=.
过点A作AQ GP
⊥于点Q，
在Rt△AGQ中，
∵30
AGQ
∠=︒，cos
GQ
AGQ
AG
∠=，
∴
2
GQ AG
=.
∴2
GP GQ
==.
又∵BG DP
=，
∴222
3AG BG DG
+=. ………….………..……….7分
D
G
F
E C
B
A
M
Q
P
H D
G
F
E C
B
A
7．27.解：（1）依题意补全图形
(1)
（2）∠FCE=∠EAD
(2)
证明：在△ABC中，AC=BC , D为AB边中点
∴CD⊥AB，∠ADE=90°，∴∠DAE+∠E=90°.
∵CF⊥AE，∴∠CFE=90°，∴∠FCE+∠E=90°.
∴∠FCE=∠EAD
(3)
（3）∠CFD=45°
(4)
证明如下：
在CF上取一点H，使CH=AF，连结DH.
(5)
在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC ，D为AB边中点，∴AD =DB=CD
由（2）可知∠HCD=∠FAD
∴△HCD≌△FAD
(6)
∴HD=FD，∠HDC=∠ADF
∴CD⊥AB，∠ADC=90°，∠HDC+∠ADH=90°.
∴∠ADF+∠ADH=90°.
即∠FDH=90°
∴△FDH是等腰直角三角形.
∴∠CFD=45°.
(7)
B
8．（1）如图…………………………1分（2）BE = 2CF，BE⊥CF
证明：取AC中点M，连结FM
∵F为AD中点
∴FM∥CD，
1
2 FM CD
=
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE
∴
1
2 FM CE
=
∵AC = BC
∴
11
22 CM AC CB ==
∴CM FM
BC EC
=…………………………2分
∵FM∥CD
∴∠FMC+∠DCA=180°
∴∠FMC=180°-∠DCA=90°-∠ECA
∵∠BCE=90°-∠ECA
∴∠FMC=∠BCE …………………………3分
∴△FMC∽△ECB …………………………4分∴BE = 2CF，∠BEC=∠CFM …………………………5分∵DC⊥CE
∴FM⊥CE
∴∠FCE+∠CFM =90°
∴∠FCE+∠BEC=90° …………………………6分∴BE⊥CF. …………………………7分。