第六章6.1柱、锥、台的侧面展开与面积-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件

的侧面积是2πS.(
)
(2)若圆锥的母线长为l,底面圆的半径为r,则一定有S圆锥侧=πrl.
(
)
(3)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的周长 (3)√
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
已知矩形的边长分别为1和2,若分别以这两边所在直线为轴旋转,
所形成几何体的侧面积之比为(
S圆柱侧=2πrl
矩形的一边长为母线长,另
r:底面半径,
一边长是圆柱底面周长
l:母线长
圆
锥
S
=πrl
扇形的半径为母线长,扇形 圆锥侧
r:底面半径,
的弧长为圆锥底面周长
l:母线长
侧面积公式
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
几何体 侧面展开图形状
展开图度量与几
侧面积公式
何体度量的关系
圆台
扇环的较短的弧
S圆台侧=π(r1+r2)l
知识点拨
微练习2
若一个圆柱的底面面积是S,侧面展开图是正方形,则圆柱的侧面积
为(
)
A.4πS
B.2πS
C.πS
2 √3
D.
3
πS
解析设圆柱的底面半径为 r,母线长为 l,则
S=πr2,所以
展开图是正方形,则 l=2πr,故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧
S
=2πrl=(2πr)2=4π2· =4πS.

答案A
答案B
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
2.已知长方体的对角线长为 2√14,长、宽、高的比为 3∶2∶1,则它
的表面积为
.
解析设长,宽,高分别为3x,2x,x,
则对角线长为√9 2 + 4 2 + 2 = √14x=2√14,所以 x=2.
所以表面积S=2(6x2+3x2+2x2)=88.
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知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)侧面积公式S棱柱侧=cl(其中c为底面周长,l为棱柱侧棱长)仅适用
于正棱柱.(
)
1
(2)正棱锥侧面积公式S正棱锥侧= ch'中c为底面周长,而h'为正棱锥
2
的高.(
)
答案(1)× (2)×
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知识点拨
S=6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2
=24-0.5π+2π=24+1.5π.
答案24+1.5π
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟 1.求组合体的表面积的基本步骤
(1)弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么;
(2)根据组合体的组成形式设计计算思路;
(3)根据公式计算求值.
长为圆台上底面
r1,r2分别为圆台上、
周长,较长的弧长
下底面半径,l为母
为圆台下底面周
线长
长
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知识点拨
名师点析圆柱、圆锥、圆台的结构特征比较
结构特征 圆柱
圆锥
底面
两个底面是平行且 只有一个底面,
形状
半径相等的圆
且底面是圆
侧面展开
矩形
扇形
图形状
母线
平行且相等
相交于顶点
平行于底
平行于底面且
个侧面的面积分别求出来,然后相加.
(3)注意合理运用多面体的特征几何图形,如棱柱中的矩形、棱台中
的直角梯形、棱锥中的直角三角形,它们是联系高与斜高、侧棱、
底面边长的桥梁,也是侧面积公式中未知量与条件中已知几何元素
间的桥梁.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练2若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长
6.1
柱、锥、台的侧面展开与面积
-1-
课标阐释
1.通过对具体柱体、锥体、台体结构的分析,能探索出用展开的思
想方法来研究其侧面积.(数学抽象)
2.理解柱体、锥体、台体的侧面积和表面积计算公式及其使用范
围.(逻辑推理)
3.能运用柱体、锥体、台体的侧面积和表面积公式进行计算和解
决有关实际问题.(数学运算、几何直观)
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知识点拨
名师点析1.对于直棱柱,其侧面积可以用公式计算,也可以将其每一
个侧面的面积分别计算,然后相加;对于正棱锥和正棱台,其侧面积
可以由其一个侧面的面积乘以侧面的个数来计算,因为它们的侧面
都是全等的三角形或梯形.
2.对于正棱锥和正棱台来说,其斜高是指其侧面等腰三角形或等腰
梯形的高,它与正棱锥、正棱台的高是不同的.
中圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形.
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
变式训练1圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分,则这两部分侧面
积的比为(
)
A.1∶1 B.1∶2 C.1∶3
D.1∶4
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
解析如图所示,PB 为圆锥的母线,O1,O2 分别为截面与底面的圆心.因
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探究一
探究二
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当堂检测
3
解析(1)由已知得该圆锥的底面半径是 ,母线长为 3,因此其底面面积
S1=π·
3 2
2
2
9
3
9
27
4
2
2
4
= π,侧面积 S2=π× ×3= π,故其表面积为 S=S1+S2= π,故
选 D.
(2)S 圆台表=S 圆台侧+S 上底+S 下底=π(3+4)·6+π·32+π·42=67π.
提示
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探究一
探究二
探究三
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简单旋转体的侧面积与表面积
例1(1)若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥
的表面积是(
)
9
A. π
4
9
B. π
2
C.9π
27
D. π
4
(2)圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于
(
)
A.72
B.42π C.67π
D.72π
r=
S

.又侧面
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微练习3
若五棱台ABCDE-A1B1C1D1E1的表面积是30,侧面积是25,则两底面
面积的和等于(
)
A.5
B.25 C.30 D.55
解析S表=S侧+2S底,则2S底=S表-S侧=30-25=5.
答案A
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三、直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆
柱的表面积为(
)
A.12√2π
B.12π
C.8√2π
D.10π
解析过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底
面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以
2r=l=2√2,r=√2,所以圆柱的表面积为 2πrl+2πr2=8π+4π=12π.
答案(1)D (2)C
反思感悟 旋转体侧面积和表面积的求解策略
(1)简单旋转体的侧面积与表面积计算的关键是熟记公式,灵活套用.
要弄清圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的形状以及展开图中各线段
长(弧长)与原几何体有关量的关系.
(2)求圆柱、圆锥、圆台的侧面积和表面积,关键是求出它们的底面
半径以及母线长.通常借助它们的轴截面来求底面半径及母线长,其
正方体切割出来?
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一、侧面积的概念
把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开后展开在一
个平面上,展开图的面积就是它们的侧面积.
名师点析一个几何体的表面积是指几何体所有面的面积的和,也可
以理解成几何体的侧面积与其底面积的面积之和,也称为全面积.
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
探究一
探究二
探究三
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简单多面体的侧面积与表面积
例2已知正四棱锥的底面边长为4 cm,高与斜
高的夹角为30°,则该正四棱锥的侧面积等于
cm2.
解析如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、
底面边心距OE组成Rt△POE.
1

因为 OE=2×4=2(cm),∠OPE=30°,所以 PE=sin30 °=4(cm).
为3的等腰梯形,则该正三棱台的表面积等于
.
解析由已知可得该正三棱台的斜高 h',即侧面等腰梯形的高为
32 -(2-1)2 =2√2,因此其侧面积
√3
4
1
S 侧=2×(2+4)×2√2×3=18√2.因为其
√3
4
上底面面积为 ×22=√3,下底面面积为 ×42=4√3.
所以其表面积 S=18√2 + √3+4√3=18√2+5√3.
答案 18√2+5√3
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简单组合体的表面积
例3如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个
面的中心连线为轴,钻一个直径为1的圆柱形孔,所
得几何体的表面积为
.
解析由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是
正方体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,
再加上圆柱的侧面积.故其表面积
为 O1 为 PO2 的中点,



1
所以1 = = 1 = 2,
2
2
所以 PA=AB,O2B=2O1A.
又因为 S 圆锥侧=π·O1A·PA,
S 圆台侧=π·(O1A+O2B)·AB,
圆锥侧
则
圆台侧
答案C
= (
1 ·
1 +2
1
= 3.
)·
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层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的
棱长为2,则该塔形几何体的表面积为
.
解析易知由下向上三个正方体的棱长依次为
2, √2 ,1,所以S表=2×22+4×[22+(√2 )2+12]=36.所
以该几何体的表面积为36.
答案36
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探究一
探究二
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1.(2018全国Ⅰ,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过
1
1
=2×2·SA·AB+2×2·BC·SB+AB·BC
1
1
=2×2×2×2+2×2×2×2√2+2×2=8+4√2.
答案 8+4√2
思维脉络
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知识点拨
金刚石是碳的结晶体,是目前自然界中存在的最硬物质,其形状除
了具有规则的正八面体几何外形,还有六面体、十二面体等外形的
晶体.金刚石经过切割、打磨等工序就能加工成五光十色、璀璨夺
目的钻石.如图就是一块正八面体的钻石,如果已知正八面体的棱
长,你有哪些思路能得出该几何体的表面积?这种几何体如何通过
1
所以 S 侧面积=2×4×4×4=32(cm2).
答案32
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探究一
探究二
探究三
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反思感悟 求多面体的侧面积或表面积的技巧方法
(1)对于直棱柱、正棱锥、正棱台,求其侧面积与表面积的关键是求
出它们的基本量,如底面边长、高、斜高等,然后套用公式计算.
(2)对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一
)
A.1∶2
B.1∶1
C.1∶4
D.1∶3
解析以长度为1的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径
为2,母线长为1,其侧面积S1=2π×2×1=4π.
以长度为2的边所在的直线为轴旋转得到的圆柱的底面半径为1,母
线长为2,其侧面积S2=2π×1×2=4π,故S1∶S2=1∶1.
答案B
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2.求组合体的表面积的解题策略
(1)对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合对组合体
表面积的影响;
(2)对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组合体,要注意
新产生的截面和原几何体表面的变化.
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探究一
探究二
探究三
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变式训练3有一塔形几何体由3个正方体构成,构成
方式如图所示,上层正方体下底面的四个顶点是下
微练习
正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为
表面积为
.
,
解析正三棱柱底面为正三角形,侧面为三个全等的矩形,所以侧面积
1
√3
2
S=3×1×2=6;又底面积 S 底面面积= ×1× =
2
√3
答案 6 6+ 2
√3
√3
,所以它的表面积为 6+ .
4
2
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知识点拨
微思考
直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间有何联系?
答案88
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探究一
探究二
探究三
当堂检测
3.在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的
四棱锥称之为阳马,若四棱锥S-ABCD为阳马,侧棱SA⊥底面ABCD,
且SA=BC=AB=2,则该阳马的表面积为
.
解析由题意知几何体的表面积为:
S 四棱锥=2S△SAB+2S△SBC+S 正方形 ABCD
是与两个底面平行
面的截面
半径不相等的
且半径相等的圆
形状
圆
轴截面
矩形
等腰三角形
形状
圆台
两个底面是平行但
半径不相等的圆
扇环
延长线交于一点
是与两个底面平行
且半径不相等的圆
等腰梯形
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知识点拨
微判断
判断(正确的打“√”,错误的打“×”).
(1)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱
(1)多面体的表面积等于各个面的面积之和.(
)
(2)只有侧面是平面的几何体才能求其侧面积.(
)
(3)几何体的平面展开方法可能不同,但其表面积唯一确定.(
答案(1)√ (2)× (3)√
)
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二、圆柱、圆锥、圆台的侧面积
几
何 侧面展开图形状
体
展开图度量与几
何体度量的关系
圆
柱