2020届重庆市第一中学高三下学期3月月考数学(文)试题(解析版)

2020届重庆市第一中学高三下学期3月月考数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}{}|32,,|24A x x n n Z B x x ==+∈=-<<，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}1,2-
C ．{}1-
D ．{}2
【答案】B
【解析】先计算集合A ，再计算A B I 得到答案. 【详解】
{}{}|32,=...,4,1,2,5,...A x x n n Z ==+∈--，{}|24B x x =-<<
故{}1,2A B =-I . 故选：B 【点睛】
本题考查了集合的交集运算，属于基础题型. 2．i 为虚数单位，复数21i
z i
=-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】B
【解析】由复数的除法运算可得1z i =-+，再结合复数在复平面内对应的点位于的象限求解即可. 【详解】 解：由21i z i
=
-， 则2(1)
1(1)(1)
i i z i i i +=
=-+-+，
则复数21i
z i
=
-在复平面内对应的点的坐标为()1,1-， 即复数21i
z i
=-在复平面内对应的点位于第二象限， 故选：B. 【点睛】
本题考查了复数的除法运算，重点考查了复数在复平面内对应的点位于的象限，属基础题.
3．下列命题是真命题的是（ ）.
A ．命题22
00:,11,:,11p x R x p x R x ∀∈-≤⌝∃∈-≥则
B ．命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题
C ．命题“若(1)10x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x
x e -+≠”；
D ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件； 【答案】C
【解析】分别判断已知四个命题的真假，可得答案． 【详解】
A. 命题2:,11p x R x ∀∈-≤，则2
00:,11p x R x ⌝∃∈->，所以A 错误；
B. 命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为“若2b ac =，则,,a b c 成等比数列”是错误的，所以B 错误；
C. 命题“若(1)10x x e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则(1)10x x e -+≠”是正确的，所以C 正确；
D. “命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的必要不充分条件，不是充分不必要条件，所以D 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查命题真假的判断，涉及含有量词的命题的否定，必要不充分条件的判断，复合命题真假的判断，以及四种命题的真假判断，涉及的知识点较多，难度不大，属于基础题．
4．若抛物线()2
20y px p =>的焦点是椭圆
22
14x y p p
+=的一个焦点，则p =（ ） A ．3 B ．4 C ．8 D ．12
【答案】D
【解析】由抛物线方程可得其焦点坐标为,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由椭圆的方程可得其焦点坐标为()
，再列方程
2
p
=求解即可. 【详解】
解：由抛物线方程为()2
20y px p =>，则其焦点坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
由椭圆的方程为
22
14x y p p
+=，则其焦点坐标为()
，
由已知有
2
p
=， 即p =12， 故选：D. 【点睛】
本题考查了抛物线、椭圆的焦点坐标的求法，属基础题.
5．已知曲线11(0x y a a -=+>且1)a ≠过定点(),k b ，若m n b +=且0,0m n >>，则
41
m n
+的最小值为（ ）. A ．
92
B ．9
C ．5
D ．
52
【答案】A
【解析】根据指数型函数所过的定点，确定1,2k b ==，再根据条件2m n +=，利用基本不等式求41
m n
+的最小值. 【详解】
Q 定点为(1,2),
1,2k b ∴==，
2m n ∴+=
41141()()2m n m n m n +=++∴
149(5+)22
m n n m =+… 当且仅当4m n
n m =时等号成立，
即42
,33m n =
=时取得最小值92
. 故选：A 【点睛】
本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型.
6．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学
九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ）
A ．15
B ．16
C ．47
D ．48
【答案】D
【解析】执行程序框图：
输入331,2,0n x v i i ====≥，，，是
0i ≥，是，1325,1v i =⨯+==; 0i ≥，是，53116,0v i =⨯+==; 0i ≥，是，163048,1v i =⨯+==-; 0i ≥，否，输出48v =.
故选D.
7．函数()21sin 1x
f x x e ⎛⎫
=-
⎪+⎝⎭
图象的大致形状是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】由()f x 的解析式可得函数()f x 为偶函数，以及函数值的符号情况，可排除不正确的选项，从而得到答案. 【详解】
()211sin sin 11x x x
e f x x x e e -⎛⎫
=-= ⎪++⎝⎭
， 则()()()()111sin sin sin 111x x x
x x x
e e e
f x x x x f x e e e
------=-=⋅-==+++，是偶函数，排除B 、D. 当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，e 1x
>，sin 0x >，即()0f x <，排除A. 故选:C. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，根据函数解析式分析函数图像，属于中档题. 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．22
【答案】B
【解析】根据三视图作出原几何体（四棱锥P ABCD -）的直观图如下：
可计算2,6PB PD BC PC ====6.
点睛:思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高
平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
9．已知函数()()2log 2f x x =+，若在[]2,5-上随机取一个实数0x ，则()01f x ≥的概率为（ ） A ．
3
5
B ．
56
C ．
57
D ．
67
【答案】C
【解析】先由对数不等式的解法可得005x ≤≤，再结合几何概型中的线段型概率的求法求解即可. 【详解】
解：解不等式()1f x ≥， 即()2log 21x +≥， 则0x ≥， 又25x -≤≤， 则05x ≤≤， 即005x ≤≤，
设()01f x ≥的概率为P ，
由几何概型中的线段型概率的求法可得：
505
5(2)7
P -=
=--，
故选：C. 【点睛】
本题考查了对数不等式的解法，重点考查了几何概型中的线段型概率的求法，属基础题. 10．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为m ,则m 的范围是（ ） A ．()2,+∞ B ．[)2,+∞
C ．()3,+∞
D ．[
)3,+∞
【答案】A
【解析】设三个角分别为3
A π
-，3π，3A π+，由正弦定理可得sin(
)
3
sin()3
A c m a A π
π+==-，
利用两角和差
，利用单调性求出它的值域．
【详解】
钝角三角形三内角A 、B 、C 的度数成等差数列，则3
B π
=
，23
A C π
+=
， 可设三个角分别为
3
A π
-，3
π，
3
A π
+．(
)6
3
A π
π
<<
故1
sin(
)
sin 3sin()3A A A
c m a A π
π++====-． 又
6
3
A π
π
<<
，
∴
tan A <<． 令tan t A =
t <<，
则1m ==-
因为函数1m =-
上是增函数，
2m ∴>，
故选A ． 【点睛】
本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式，利用单调性求函数的值域，得到
sin()
3
sin()
3
A m A ππ
+=
-，是解题的关键和难点．
11．椭圆C ：22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C
交于A ，B 两点，F 1A 与y 轴相交于点D ，若BD ⊥F 1A ，则椭圆C 的离心率等于（ ） A ．
13
B
C ．
12
D
【答案】D
【解析】由题意可得A ，B 的坐标，且知点D 为1F A 的中点，再由1BD F A ⊥，利用
斜率之积等于1-列式求解． 【详解】
由题意可得，2(,)b A c a ，2
(,)b B c a
-，
则点D 为1F A 的中点，2
(0,)2b D a
∴，
由1BD F A ⊥，得11BD F A k k =-g ，
即222212b b b a a a c c
--
=-g
22ac =，
∴22)2a c ac -=，
2+20e -=
解得e =
故选D ． 【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质，考查两直线垂直与斜率的关系，是中档题．
12．已知函数2,0()115
,024x x f x a x x ⎧>⎪
=⎨+-⎪⎩
…，函数g （x ）＝x 2，若函数y ＝f （x ）﹣g （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（5，+∞） B ．155,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．195,
2⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．195,
2⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】B
【解析】因为()f x 是分段函数，新函数()()y f x g x =-的零点问题也需要分段研究，每一段上的零点个数加成总和即为函数的零点个数. 【详解】
分段讨论：当0x >时，()2x f x =与2
()g x x =有两个交点(2,4),(4,16)，两个零点.
要使()()y f x g x =-有4个零点, 则当0x ≤时115
()24
f x a x =+
-与2()g x x =有两个交点即可（如图）.
过点115
(,)24
-
-作2()(0)g x x x =<的切线，设切点为2(,)(0)m m m <, 则=2k m 切，即切线方程为2
2()y m m x m -=-,
把点115(,)24--代入切线方程，得52m =-或32
m =, 又0m <，则5
2
m =-，=2=5k m -切
又1150024a ⋅+
-<，解得152
a <， 所以实数a 的取值范围是15
(5,)2
故选：B. 【点睛】
分段函数一定要分段研究，不同的取值范围对应不同的解析式。

在二次函数与一次函数相交的问题中，巧妙利用图像法可有效解决问题.
二、填空题
13．曲线y ＝x 2+lnx 在点（1，1）处的切线方程为_____． 【答案】320x y --=
【解析】首先求1x =处的导数，再根据切线公式()()000y y f x x x '-=-求切线方程. 【详解】 解析：1
2y x x
'=+，在点（1，1）处的切线斜率为3，所以切线方程为320x y --=. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义求切线方程，属于简单题型.
14．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为_____. 【答案】2；
【解析】试题分析：先表示出准线方程，然后根据抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p 的值． 解：抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣，
因为抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=16相切， 所以3+=4，解得p=2． 故答案为2
点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系，理解直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．
15．已知三棱锥P ABC -满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AB =，
3
APB π
∠=
，则该三棱锥的外接球的体积为______.
43π 【解析】先由已知求得三棱锥P ABC -的外接球的球心为ABP ∆的外心，在结合正弦定理求出其半径，然后结合球的体积公式求解即可. 【详解】
解：因为AC BC ⊥，
所以ABC ∆的外心为斜边AB 的中点， 又平面PAB ⊥平面ABC ，
则该三棱锥的外接球的球心在平面PAB 内， 即球心为ABP ∆的外心，
设三棱锥P ABC -的外接球的半径为R ， 在PAB ∆中，由正弦定理得：
12sin 3sin 3
AB R APB π=
==
∠，
即3R =
， 则该三棱锥的外接球的体积为343433π
π⨯=
. 【点睛】
本题考查了正弦定理，重点考查了几何体外接球的体积的求法，属中档题. 16．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知
sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且2CA CB mc =⋅u u u v u u u v
，有下列结论：
①28t <<； ②2
29
m -
<<； ③4t =，ln 2a =时，ABC ∆
；
④当8t <<时，ABC ∆为钝角三角形.
其中正确的是__________．（填写所有正确结论的编号） 【答案】①②④ 【解析】【详解】
sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =Q ，∴::ln 2:ln 4:ln a b c t =Q ，
故可设ln 2a k =，ln 42ln 2b k k ==，ln c k t =，0k >.b a c b a Q -<<+，∴ln 23ln 2k c k <<， 则28t <<
，当8t <<时，222
0a b c +-<，故ABC ∆为钝角三角形.
面2222222225ln 2cos 222
a b c a b c k c CA CB ab C ab ab +-+--⋅==⋅==
u u u v u u u v ， 又2CA CB mc =⋅u u u v u u u v
，∴222
22222
5ln 25ln 21222
k c CA CB k m c c c -⋅===-u u u v u u u v . ln 23ln 2k c k <<Q ，∴2222222255518ln 222ln 2k k k k c k <<，即222
55ln 25
1822k c <<，∴229m -<<.当4t =，ln 2a =时，ABC ∆
，故四个结论中，只
有③不正确.填①②④． 【点睛】
解三角形中运用正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式进边角互换及运算是常见题形，要注意三角形内角和为180o 来减少角的个数，及两边之和大于第三边，两边第差
小于第三边来构造不等关系是常用处理技巧．
三、解答题
17．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，65a b =. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S . 【答案】（1）32n a n =-；
（2）23212
n n n -+-
【解析】（1）由已知求得等比数列的公比，进一步求出首项，则等比数列的通项公式可求，再求得等差数列的首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）直接利用数列的分组求和求解． 【详解】 （1）324
22
b q b =
==， ∴11b =即12n n
b -=
111a b ==，6516a b ==，
∴61
361
a a d -=
=- ∴32n a n =-
（2）1
322n n c n -=-+
∴(132)12212n
n n n S +--=+
- 23212
n n n
-=+-
【点睛】
本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和的求法，考查了分组求和的应用，是基础的计算题．
18．在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ⊥平面
.////,ABCD AB CD PQ AB AD PAD ⊥V ，为正三角形，O 为AD 中点，且
2,1AD AB CD PQ ====.
(1)求证：平面POB ⊥平面PAC ； (2)求多面体ABCDPQ 的体积.
【答案】(1)见解析；(2)
43
3
. 【解析】试题分析：(1)根据条件得到AC BO ⊥，由面面垂直可知PO ⊥平面ABCD 即
AC PO ⊥ 从而AC ⊥平面POB ，所以平面POB ⊥平面PAC ；(2) 取AB 中点为E ，连接,CE QE ，易证AB ⊥平面PAD ，利用割补思想可得
BCDPQ PAD QEC Q CEB V V V --=+，从而得到多面体ABCDPQ 的体积.
试题解析：
(1)由条件可知，Rt ADC Rt BAO ≅n n ，故DAC ABO ∠=∠.
DAC AOB ABO AOB 90AC BO ∠∠∠∠∴+=+=︒∴⊥，．
PA PD =Q ，且O 为AD 中点，PO AD ∴⊥.
平面PAD ⊥平面ABCD
PAD ABCD AD
PO AD PO PAD ⋂=⎧⎪⊥⎨⎪⊂⎩
Q 平面平面平面，PO ∴⊥平面ABCD . 又AC ⊂Q 平面ABCD ,AC PO ∴⊥.又BO PO O ⋂=Q ,AC ∴⊥平面POB .
AC ⊂Q 平面PAC ，∴平面POB ⊥平面PAC .
(2)取AB 中点为E ，连接,CE QE .
由(1)可知，PO ⊥平面ABCD .又AB ⊂Q 平面ABCD ，PO AB ∴⊥. 又,0,AB CD PO AD AB ⊥⋂=∴⊥Q 平面PAD .
1
3
BCDPQ PAD QEC Q CEB PAD CEB V V V S AE S PO --∴=+=+⋅V V n ,
211211232⎛⎫=
⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 点睛：空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
19．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下：
男性好友走路的步数情况可分为五个类别：()02000A -步（说明“02000-”表示大于等于0，小于等于2000，下同），()20015000B -步，()50018000C -步，
()800110000D -步，()10001E 步及以上，且,,B D E 三种类别人数比例为1:3:4，
将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.
（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001~10000步的人数；
（2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？ 卫健型 进步型 总计 男 20 女 20 总计
40
附：()()()()()2
2n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
()20P K k ≥ 0.10
0.05
0.025
0.010
0k
2.706
3.841 5.024 6.635
【答案】（1）375
（2）列联表见解析，没有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关
【解析】（1）由条形统计图，男性朋友B 类型设为x ，由总人数为20人，得到各个类型的人数，由此得出每天走路步数在5001~10000步的人数，由此得到600人时符合题意的人数；
（2）根据题设所给数据填写22⨯列联表，再计算2K ，对照题设中的表格，得出统计结论.
【详解】
解：（1）在样本数据中，男性朋友B 类型设为x ， 则由题意知133420x x x ++++=，可得2x =， 即B 类型有2人，D 类型有6人，E 类型有8人，
则男性朋友走路步数在5001~10000步的包括C D 、两类型共计369+=人； 又女性朋友走路步数在5001~10000步的共计16人；
则用样本数据估计所有微信好友每天走路步数在5001~10000步的人数为
916
60037540
+⨯
=； （2）根据题意在抽取的40个样本数据的22⨯列联表如下： 卫健型 进步型 总计 男 14 6 20 女 8 12 20 总计 22
18
40
由22⨯列联表可得()2
24014126840
3.84120202218
11
K ⨯-⨯=
=
<⨯⨯⨯， 故没有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关. 【点睛】
本题考查了独立性检验，重点考查了对数据的分析处理能力，属基础题. 20．在平面直角坐标系中，点、分别为双曲线的左、右焦点，
双曲线的离心率为，点在双曲线上，不在轴上的动点与动点关于原点对
称，且四边形
的周长为
.
(1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交的轨迹于，两点，为上一点，且满足，
其中，求
的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意列出表达式
，又因为点
在双曲线上，所以
，联立两个方程可得到参数值；（2）联立直线和椭圆得到二次方程，又因为
，得，代入椭圆方程得
，根据弦长公式得到
，求表达式的范围即可.
详解：(1)设点，分别为
， ，由已知，所以，，
，又因为点在双曲线上，所以， 则，即
，解得
，
，所以
.
连接
，因为
，，所以四边形为平行四边形，
因为四边形
的周长为
，所以
，
所以动点的轨迹是以点、分别为左、右焦点，长轴长为的椭圆(除去左右顶点)，
可得动点的轨迹方程为：
.
(2)由题意可知该直线存在斜率，设其方程为且
.
由
得
，
∴，得，
设，，，则，
由
，得
， 代入椭圆方程得，由
得
， ∴，
令
，则
，∴
.
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
21．已知函数()1
()sin 02
f x ax x a a R a =-∈≠，， （1）讨论()f x 在[0,
]2
π
上的单调性.
（2）当0a >时，若()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
上的最大值为1π-，讨论：函数()f x 在(0,)π内的零点个数.
【答案】（1）当0a >时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a <时，()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减；（2）2个零点
【解析】（1）求得()()sin cos f x a x x x '=+，根据x 范围可知sin cos 0x x x +>，进而通过对a 的正负的讨论得到函数单调性； （2）由（1）可得函数在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的单调性，进而利用最大值构造方程求得2a =，得
到函数解析式；利用单调性和零点存在定理可确定()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有1个零点；令()sin cos g x x x x =+，求导后，可确定()g x '在,2
p
p 轹÷ê÷÷êø
ë上存在零点，
从而得到()f x 的单调性，通过单调性和零点存在定理可确定零点个数. 【详解】
（1）()()sin cos sin cos f x a x ax x a x x x '=+=+
当0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，sin cos 0x x x +>
∴当0a >，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0a <，0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<
∴当0a >时，()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；当0a <时，()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减
（2）由（1）知，当0a >时，()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增 ()max 11sin 122222f x f a a a ππ
πππ-⎛⎫∴==-==- ⎪⎝⎭，解得：2a =
()2sin 1f x x x ∴=- ()()2sin cos f x x x x '∴=+
()f x Q 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，()00110f =-=-<，
102f ππ⎛⎫
=-> ⎪⎝⎭
()f x ∴在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
内有且仅有1个零点
令()sin cos g x x x x =+，,2x ππ⎡⎫∈⎪⎢
⎣⎭
()cos cos sin 2cos sin g x x x x x x x x '=+-=-
当,2x ππ⎡⎫
∈⎪⎢
⎣⎭
时，cos 0x ≤，sin 0x >，0x > ()0g x '∴< ()g x ∴在,2p
p 轹÷ê÷÷êøë
内单调递减 又sin cos 102222g ππππ⎛⎫=+=> ⎪
⎝⎭
，()sin cos 0g πππππ=+=-< 0,2x ππ⎛⎫
∴∃∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x =
∴当0,2x x π⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
时，()0g x >，即()0f x '>；当()0,x x π∈时，()0g x <，即
()0f x '<
()f x ∴在0,2x π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上单调递增，在()0,x π上单调递减
102f ππ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭Q ()f x ∴在0,2x π⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
上无零点且()00f x >
又()2sin 110f
πππ=-=-<
()f x ∴在()0,x π上有且仅有1个零点
综上所述：()f x 在()0,π上共有2个零点 【点睛】
本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到含参数函数单调性的讨论、函数在区间内零点个数的讨论；讨论函数零点个数通常采用零点存在定理来确定零点所在区间，需注意的是，若用零点存在定理说明零点个数，一定要结合单调性来确定零点的个数.
22．在直角坐标系xOy 中，直线1C
的参数方程为23x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（其中t 为参数）.以坐
标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
2cos 3sin ρθθ=.
（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；
（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求2
2
PM PN +的值.
【答案】（1）1C
20y +-=,2C :2
3x y =（2）90
【解析】（1）消去t 得到直线方程，再利用极坐标公式化简得到答案.
（2）将直线的参数方程代入2
3x y =
，化简得到2180t --=，利用韦达定理计
算得到答案. 【详解】
（1）直线1C
的参数方程为23
x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（其中t 为参数），消去t
20y +-=；
由2
cos 3sin ρθθ=，得22
cos 3sin ρθρθ=，则曲线2C 的直角坐标方程为2
3x y =.
（2）将直线1C
的参数方程2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入2
3x y =
，得2180t --=，
设,M N 对应的参数分别为12,t t
，则121218
t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩
()222
1212290PM PN t t t t +=+-=.
【点睛】
本题考查了直线的参数方程，极坐标，利用直线的参数方程的几何意义可以快速得到答案，是解题的关键.
23．已知函数2()8=-++f x x ax ，()|1||1|g x x x =++-．
（1）当0a =时，求不等式()()f x g x …
的解集； （2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）[]22-,；（2）[]5,5-.
【解析】（1）利用零点分段法化简()g x 为分段函数的形式，由此解不等式()()f x g x ≥，
第 21 页 共 21 页 求得不等式的解集.
（2）根据（1）的结论可知当[]1,1x ∈-时，()2g x =，将不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-的问题，转化为260--≤x ax 在[]1,1-上恒成立来解决，利用二次函数的性质列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.
【详解】
（1）2,1()112,112,1x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩
，当0a =时，2()8=-+f x x ．
()()Q f x g x ≥，2821x x x ⎧-+≥⎨>⎩或28211x x ⎧-+≥⎨-≤≤⎩或2821x x x ⎧-+≥-⎨<-⎩
， 12x ∴<≤或11x -≤≤或21x -≤<-，22x ∴-≤≤，
∴不等式的解集为[]22-,
； （2）由（1）知，当11x -≤≤时，()2g x =．
∵不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，
282x ax ∴-++≥在[]1,1-上恒成立，
即260--≤x ax 在[]1,1-上恒成立，
∴22(1)60160
a a ⎧-+-<⎨--≤⎩，55a ∴-≤≤，
∴a 的取值范围为[]5,5-．
【点睛】
本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.。