广东省汕头市潮南实验学校高中数学选修2-1课件：3.1.2空间向量的数乘运算 共14张 精品
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练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB求 x 的y值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
3
一.空间向量的数乘运算与平面向Βιβλιοθήκη 一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
2a
a
3a 4
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
C
p
P
b
AaB
12
思考 2(课本 P88 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A 、B 、C 是否共面?
3.1.2空间向量的 数乘运算
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
6
例1、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是
边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，
且 CF 2 CB,CG 2 CD.
3
3
求证：四边形EFGH是梯形。
7
例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1)AB BC
D1
5
二.共线向量及其定理
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量． a 平行于 b 记作 a // b ．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量. 2.共线向量定理：空间任意两个向
量
a
、
b
（
b
≠
0 ）， a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
.
8
例3、平行六面体A1B1C1D1 ABCD，M分 AC 成的
比为 1
2
，N分 A1D 成的比为2，设
AB a, AD b, AA1 c,试用 A1
D1
a,b, c 表示 MN 。
B1
C1
N
A
M
B
D C
9
练习：
如图，已知正方体ABCD ABCD，点E是上底面 ABCD的中心，求下列各式中x、y、z的值： (1)BD x AD y AB z AA; (2) AE x AD y AB z AA.
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
11
三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1 M
1
(4) AB AD 2 CC1
D
C
解：(1)AB BC＝AC; A
B
(2)AB 1
AD
AA1
AC
1
AA1
AC
CC1
AC1
(3)
( AB 3
AD
AA1 )
3
AC1
AG
(4) AB
AD+
1 2
CC1＝AM
14
13
课外思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1（a b) c 2
⑵ AG
A
1（a b c) 3
B
G
M
C
D
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
2
b b
a
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?
练习2:已知A、B、P三点共线，O为直线AB
外一点 , 且 OP xOA yOB求 x 的y值.
解:∵ A 、B 、P 三点共线,∴ t R ,使OP OA t AB
∴ OP (1 t )OA tOB
∵ A 、B 、P 、O 四点在同一个平面内,且 OP xOA yOB
∵ O 为直线 AB 外一点,∴ OA、OB 不共线
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一.空间向量的数乘运算与平面向Βιβλιοθήκη 一样,实数 与空间向量 a 的乘积
a 仍然是一个向量.
⑴当 0时, a 与向量 a 的方向相同; ⑵当 0时, a 与向量 a 的方向相反; ⑶当 0 时, a 是零向量.
例如:
2a
a
3a 4
显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律
即：(a b) a b （ ）a a a (a) ()a
2.共面向量定理:如果两个向量 a 、b 不共线,则向
量 p 与向量 a 、b 共面的充要条件是存在唯一的有
序实数对 ( x, y) 使 p xa yb .
C
p
P
b
AaB
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思考 2(课本 P88 思考) 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A 、B 、C ,
满 足 向 量 关 系 式 OP xOA yOB zOC ( 其 中 x y z 1 )的点 P 与点 A 、B 、C 是否共面?
3.1.2空间向量的 数乘运算
上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运 算扩展到了空间.
加法 减法 运算
运 算 律
平面向量 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则 加法交换律
ab ba 加法结合律:
(a b) c a (b c)
空间向量
加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
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例1、已知四边形ABCD是空间四边形，E、H分别是
边AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD上的点，
且 CF 2 CB,CG 2 CD.
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求证：四边形EFGH是梯形。
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例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，化简下列向量 表达式，并标出化简结果的向量.(如图)
(1)AB BC
D1
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二.共线向量及其定理
1.共线向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的
直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行
向量． a 平行于 b 记作 a // b ．
规定: o 与任一向量 a 是共线向量. 2.共线向量定理：空间任意两个向
量
a
、
b
（
b
≠
0 ）， a // b 的充要条件是存在实数 ，使 a b .
.
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例3、平行六面体A1B1C1D1 ABCD，M分 AC 成的
比为 1
2
，N分 A1D 成的比为2，设
AB a, AD b, AA1 c,试用 A1
D1
a,b, c 表示 MN 。
B1
C1
N
A
M
B
D C
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练习：
如图，已知正方体ABCD ABCD，点E是上底面 ABCD的中心，求下列各式中x、y、z的值： (1)BD x AD y AB z AA; (2) AE x AD y AB z AA.
∴由平面向量基本定理可知 x 1 t , y t
∴x y1
反过来,如果已知 OP xOA yOB ,且 x y 1 , 那么 A 、B 、P 三点共线吗?
学习共面
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三.共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.
a
O
A
a
注意：空间任意两个 向量是共面的，但空 间任意三个向量就不 一定共面的了。
C1
(2) AB AD AA1 1
(3) 3 ( AB AD AA1 )
A1 G
B1 M
1
(4) AB AD 2 CC1
D
C
解：(1)AB BC＝AC; A
B
(2)AB 1
AD
AA1
AC
1
AA1
AC
CC1
AC1
(3)
( AB 3
AD
AA1 )
3
AC1
AG
(4) AB
AD+
1 2
CC1＝AM
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课外思考题:
如 图 , 已 知 空 间 四 边 形 ABCD 中 , 向 量
AB a , AC b , AD c , 若 M 为 BC 的 中 点 , G 为
△BCD 的重心,试用 a 、b 、c 表示下列向量:
⑴ DM
1（a b) c 2
⑵ AG
A
1（a b c) 3
B
G
M
C
D
加法交换律 a b b a
加法结合律
(a b) c a (b c)
注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量 的加、减法实质是一样的.
2
b b
a
a
结论：1）空间任意两个向量都是共面向量。
2）涉及空间任意两个向量问题，平 面向量中有关结论仍适用它们。
我们知道平面向量还有数乘运算. 类似地,同样可以定义空间向量的数乘运 算,其运算律是否也与平面向量完全相同呢?