湖北省八校2015届高三数学第二次联考试卷 文

湖北省八校 2015届高三第二次联考 数学试题（文科）
考试时间：2015年4月1日 下午15:00—17:00 试卷满分：150分
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合
1 3 , A zi
，（其中i 为虚数单位），{4}B =，A B A =，则复数z 的共轭复
数为
A ．i 2－
B ．i 2
C ．i 4－
D ．i 4
2．若变量x ，y 满足约束条件
211y x
x y y ⎧⎪
+⎨⎪-⎩
≤≤≥，则2z x y =+的最大值为
A ．52-
B ．0
C ．53
D ．5
2
3．从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检 表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某高校A
专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 A ．10
B ．20
C ．8
D ．16
4．已知ABC ∆中，内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ，若3A π
=
，且2cos b a B =，
1c =，则
ABC ∆的面积等于
A ．3
4
B ． 32
C ． 36
D ．3
8
5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之
和的1
7是较小的两份之和，则最小一份的量为
2
俯视图
1
1
3第6题图
侧视图
A ． 5 2
B ．5
4 C ． 5
3 D ．56
6．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于
A ． 7 3π
B ．16π
C ． 8π
D ． 28
3π
7．将一枚骰子先后抛掷两次得到的点数依次记为a ，b ，则直线0ax by +=与圆
22(2)2x y -+=
无公共点的概率为
A. 16
B. 5
12
C. 7
12
D. 23
8．下列命题为真命题的是
A ．已知R b a ∈，，则“22
2
a b ab +-≤”是“00a b ><且”的充分不必要条件
B ．已知数列
{}
n a 为等比数列，则“
123
a a a <<”是“
45
a a <”的既不充分也不必要条件
C ．已知两个平面α，β，若两条异面直线n m ，满足βα⊂⊂n m ，且m ∥β，n ∥α，则
α∥β
D.
)
0(0，－∞∈∃x ，使0
03
4x x <成立
9．对于函数()f x ，若存在区间][n m A ，=，使得{}A A x x f y y =∈=，)(|，则称函数()f x 为“可等域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为
A ．
()sin()
2f x x π= B ．
12)(2
－x x f = C ．
()21x
f x =+
D ．
2()log (22)
f x x =-
10．已知二次函数
()
2
0y ax bx c ac =++≠图象的顶点坐标为
)41
2(a a b ，－－
，与x 轴的交
点P ,Q 位于y 轴的两侧，以线段PQ 为直径的圆与y 轴交于)40(1，
F 和)40(2，－F ，则点)(c b ，所在曲线为
A ． 圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置、书写不清、模棱两可均不得分．
11．设向量(21)a =-，
，(34)b =，，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ． 12．已知α为钝角，且
3
cos()25πα+=-
，则sin 2α= ． 13．设函数
22,(0)()log ,(0)x
x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤，则方程1()2f x =的解集为 ． 14．已知抛物线
24y x =的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE l ⊥于E ，若直线EF 的倾斜角为o 150，则||PF = ．
15．已知函数
2()f x x ax =-的图象在点(1(1))A f ，处的切线与直线 320x y ++=垂直，执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 ．
16．在(1)+∞，上的函数()f x 满足：①(2)=()(f x cf x c 为正常数）；②当24x ≤≤时，2()=1(3)f x x --，若函数()f x 的图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上，则c 等
于__________．
17．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若,x y A ∈，则x y A -∈；且0x ≠时，
1
A x ∈，
则称集合A 是“完美集”．给出以下结论： ①集合
{}
1,0,1B =-是“完美集”； ②有理数集Q 是“完美集”；
③设集合A 是“完美集”，若x ,y A ∈，则x y A +∈； ④设集合A 是“完美集”，若x ,y A ∈，则必有xy A ∈；
⑤对任意的一个“完美集”A ，若,x y A ∈，且0x ≠，则必有y
A
x ∈．
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题：本大题5小题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. （本小题满分12分）
函数()sin()f x A x =ω+ϕ（其中
0,0,2A π
>ω>ϕ<
）的图象如图所示，
把函数()f x 的图象向右平移4π
个单位，再向下平移1个单位，得
到函数()y g x =的图象． （Ⅰ）求函数()y g x =的表达式；
（Ⅱ）已知ABC ∆内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且0)(,3==C g c ．若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a b ，的值．
19.（本小题满分12分） 数列
{}
n a 中，11=a ，22=a ，数列{}n b 满足1(1)n
n n n b a a +=+-，n N +∈．
（Ⅰ）若数列{}
n a 是等差数列，求数列
{}
n b 的前100项和
100
S ；
（Ⅱ）若数列{}
n b 是公差为2的等差数列，求数列
{}
n a 的通项公式．
20.（本小题满分13分）
如图，梯形ABCD 中，CE AD ⊥于E ,BF AD ⊥于F ,且1
AF BF BC ===，2DE =，
现将ABF ∆，CDE ∆分别沿BF 与CE 翻折，使点A 与点D 重合，点O 为AC 的中点，设面ABF 与面CDE 相交于直线l ，
（Ⅰ）求证：//l CE ；
（Ⅱ）求证：OF ⊥面ABE ．
A F
E
D
B
C
A
l
B
C
E
O
F
21. （本小题满分14分）
已知函数
ln 1()x f x x +=
，
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间，并判断是否有极值；
（Ⅱ）若对任意的1x >，恒有ln(1)1x k kx -++≤成立，求k 的取值范围；
（Ⅲ）证明：2222ln 2ln3ln 21
.......234(1)n n n n n --+++<+（ 2n N n +∈，≥）．
22．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：22
2
21(0)x y a b a b +=>>，若椭圆C
上的一动点到右焦点的最短距离为2且右焦点到直线2a x c =的距离等于短半轴的长．已知点()4,0P ，过P 点的直线l 与椭圆C 交
于M ,N 两点，点T 与点M 关于x 轴对称． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求OM ON 的取值范围； （Ⅲ）证明：直线TN 恒过某定点．
湖北省 八校 2015届高三第二次联考
数学试题（文科）参考答案 一、选择题
1-5 DCBAC 6-10 DBCBB
鄂南高中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学
襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 华师一附中
二．填空题
11. 2
5 12. 2425 13. 2{ 1 2 }
2－，， 14．4
3
15. 6 16. 12或 17 ②③④⑤
1.【解析】选D ．由A =A B ，可得A ⊆B ，即得4zi =，4z i =-，z 的共轭复数为4i
2.【解析】选C ．线性约束区域如下图，2z x y =+看作是122z
y x =-+
，当经过x 2=y 与1x y +=的交点12
(,)
33时，z 取最大值53．
3.【解析】选B ．满足条件的有3组：视力在0.9到1.1；视力在1.1到1.3；视力在1.3到1.5，纵轴表示的是频率/组距，所以可以报考A 专业的有(1+0.75+0.25)×0.2×50=20(人).
4.【解析】选A .由正弦定理可得B A B cos sin 2=sin ，即3=sin 2=tan A B ，所以
3=
π
B ，
因此这是一个正三角形．
5.【解析】选C ．易得中间的那份为20个面包，设最小的一份为1a ，公差为d ，根据题意，
于是有[20+(d a 3+1)+(d a 4+1)]×+=71
1
a (d a +1)，解得1a =35．
6.【解析】选D ．这是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形的中心连线的中点，外
接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求半径为321
，那么外接球的表
面积为π
π328=37×4．
7．【解析】B ．直线0ax by +=与圆
22
(2)2x y -+=无公共点,则有
a b
>>，满足该条件的基本事件有15种，基本事件总数是36种，故所求
概率为
512P =
．
8.【解析】选C ．选项A 中，22222
()2200
a b a b a b ab ab ab ab +++≤-⇔+=≤⇔<是
00a b ><且的必要不充分条件，所以A 错；
选项B 中，由321a a a ＜＜得101a q >⎧⎨
>⎩或10
01a q <⎧⎨<<⎩，可以推出54a a ＜；但若54a a ＜，则该数
列有可能是摆动的等比数列，如：1，－1，1，－1，1，－1……，此时推不出
3
21a a a ＜＜，
所以B 错；选项D 中，当00x <时，0000333()()1444x x x =>=0034x x ⇔>，所以D 错．
9.【解析】选B ．选项A 中，区间[1,0],[0,1],[1,1]--都可以是“等可域区间”；选项C ，D 中，函数均为增函数且与y x =不可能有两个交点；选项B 中，“等可域区间”为[1,1]-．
10【解析】选B ．结合二次函数的顶点坐标为(
2
4-24b ac b
a a －，)，根据题意可得241
b a
c ∆=-=，①，二次函数图像和x 轴的两个交点分别为(+10
2b a －，)和(1
02b a －－，)，利用射影定理即得：
11
(
)16
22b b a a -+---⨯=⇒22164b a -=，结合①先求出a 和c 之间的关系，代入①可得到，(c b ，)所在的曲线为2
2
1
4c b +=，表示椭圆．
11.【解析】52．向量a
在向量b 方向上的投影为
2||cos =
=
5
a b a a b b
，．
12.【解析】
2425．3cos()25πα+=-
，即
3sin 5α=，又α为钝角，4
cos 5α=-，24
sin 22sin cos 25ααα==-
．
13．【解析】2{12}2－，，．令x
2=21或x 2log =21或
21
=log 2－x ． 14.【解析】4
3．P 点只能在抛物线上半部分，设P 点为(2)x x ，
，2EG PH
x ，
232FG x
，解得31=
x ，14
133PF =+=．
15．【解析】6．因为a x x f －2=)('，即过A 点的切线斜率为a －2，与直线320x y ++=垂
直，可得a =－1从而
x x x f +=)(2
，1111
()(1)1f k k k k k ==-++，程序的算法中，1111115
(1)()()1223116S k k k =-+-+-=->
++，跳出循环时6k =．
16．【解析】12或．先令1
2x
，那么2
24x
，
c x f x f )2(=
)(=])32(1[1
2－－x c ；再
令4
8x
，那么
2
4
2
x
，)21(=)(x cf x f =2
1[1(3]2c x －－）
；分别算出它们的极值点为
(
c 1
23，)，(3,1),(6,)c ，三点共线解得12c c ==或． 17.【解析】 ②③④⑤
①－1B ∈，1B ∈，但是11=2B ---∉，B 不是“完美集”； ②有理数集肯定满足“完美集”的定义；
③0A ∈，y x ，A ∈，0－y =－y ∈A ，那么A ∈+=)y (y x x －－；
④对任意一个“完美集”A ，任取y x ，A ∈，若y x ，中有0或1时，显然xy A ∈；下设y
x ，均不为0，1，而()()2
22222+1
+
+1=21+21=1y x y x y x y x xy xy xy －－－－
1－，x x A ∈，那么()11=
111－－－x x x x A ∈，所以()A ∈1－x x ，进而
()A ∈=+12x x x x －，结合前面的算式，A ∈xy ；
⑤y x ，A ∈，若0≠x ，那么A
∈1
x ，那么由(4)得到：x y A ∈．
三．解答题
18（Ⅰ）由函数)(x f 的图象，
ωπ
ππ2)3127(
4=-=T ，得2=ω，
又
3,3
2π
ϕπϕπ
=
∴=+⨯
，所以
)
32sin()(π
+
=x x f ． ……………………3分
由图像变换，得1)62sin(1)4()(--=--=π
πx x f x g ．……………………6分 （Ⅱ）∵ ()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)1
6C π
-=
∵ 0C π<<，
1126
6
6C π
π
π
-
<-
<
，
∴
26
2C π
π
-
=
，∴
3C π
=
． ………………………………………………7分
∵ m n 与共线，∴ sin 2sin 0B A -=．
由正弦定理 sin sin a b
A B =
， 得2,b a = ①………………………………9分
∵ 3c =，由余弦定理，得
2292cos
3a b ab π
=+- ②……………………11分
解方程组①②，得a b ⎧=⎨
=⎩
……………………………………12分
19. （Ⅰ）11=a ，22=a 且{}n a 是等差数列，n a n
=，
当n 为奇数时，11
n n n b a a +=-=，即
13521 (1)
n b b b b -=====；
当n 为偶数时，
121n n n b a a n +=+=+，则
25
b =，
469,13
b b ==，
10012100139924100......+(....)(....)50494
150(505)52002
S b b b b b b b b b =++=+++++++⨯⨯=⨯+⨯+
=………………6分
（Ⅱ）
{}n b 是公差为2的等差数列,1211b a a =-=，21n b n =-．
当n 为奇数时，
121
n n n b a a n +=-=-；当n 为偶数时，
121
n n n b a a n +=+=-．
即
2122122124341n n n n n n b a a n b a a n --+=-=-⎧⎨
=+=-⎩21212
n n a a +-⇒+=且
2321
n n a a ++=，因为
11,
a =
13521..... 1.1n a a a a -⇒====⇒=，
242
n a n =-，
1 (n )
2 2 (n )n a n ⎧=⎨-⎩，
为奇数∴，为偶数 ………………………………………12分
20． 解析：（Ⅰ）//////CE BF
CE ABF
CE ABF CE ACE l CE
BF ABF ABF ACE l ⎫⎫⎪⎪
⊄⇒⊂⇒⎬⎬⎪⎪⊂=⎭⎭
面面面面面面．……………6分
（Ⅱ）
12,,ABF AF BF AF BF AB AE BCEF BE CF G 为等腰直角三角形取正方形两对角线的交点为∆⎫==⎫⎪
⇒⇒
⎬⎬⊥∴==⎪
⎭⎭,AG BE BE ACF ACF ABE AG
CF BE BE ABE ⊥⊥⎫
⎫⇒⇒⊥⎬⎬⊥⊂⎭⎭
面面面交线为面 ① 12 AF EF AF FE AF BCEF
AF BF AE ==⎫⊥⎫
⎪⇒⇒⊥⎬⎬⊥=⎪⎭⎭
面，
在Rt AFC ∆中，连接OG ,得
11
//22OG AF OG AF =
=且,
且
2,tan 22tan 22OF OC OFC OCF Rt AFG FAG FGA ⎫
=⇒∠=∠=θθ=⎪
⎪
⎬
π
⎪∆∠=⇒∠=-θ⎪⎭中， 2FGA OFG OF AG π
⇒∠+∠=
⇒⊥②
结合①②得，即 OF ⊥面ABE ． ………………………………………………13分
21．（Ⅰ）ln 1()x f x x +=
，（0x >），
2ln ()x f x x -'=， 即(0,1),()0x f x '∈>，当(1,)x ∈+∞，()0f x '<，
所以()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减，
在1x =处取得极大值，极大值为(1)1f =，无极小值．……………………………４分 （Ⅱ）方法1：因为ln(1)1x k kx -++≤，ln(1)1ln(1)1(1)1x x k x k x -+⇒-+-⇒
-≤≤ max
(1)k f x -≥对任意的1x > 恒成立,由（1）知max ()(1)1f x f ==， 则有max (1)1f x -=，所以1k ≥ ．……………………………………………9分 方法2：记()ln(1)(1)1g x x k x =---+，1(),(1)1g x k x x '=->-，
0k ≤当时,()0g x '≥， 0k >当时，由()0g x '>得
11,x k <+即 0k ≤当时()(1,)g x +∞在上为增函数；
0k >当时
1()(1,1+)g x k 在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上为减函数． 因为对1,ln(1)(1)10,x x k x ∀>---+≤ 即要求()0g x ≤恒成立,
所以0k >符合且max 1()(1)ln g x g k k +=-=≤0
得1k ≥． ………………………………………………………………9分 （Ⅲ）1ln ()x f x x +=，由（Ⅰ）知max 1ln ()()(1)1x f x f x f x +=≤==， 则1ln ln 111x x x x x +≤⇒≤-（当且仅当1x =取等号）．
令2x n =（,2n N n *∈≥），即222ln 11n n
n <-，则有
222222222222ln 2ln 3ln 111111......(1)(1)....(1)(1)(....)23232311111111131(1)(....)(1)(....)+2334(1)2334121n n n n n
n n n n n n n n +++<-+-+-=--++<--++=---+-++-=-⨯⨯⨯+++ 222222222ln 2ln 3ln ln 2ln 3ln 31......2(.......)+232321n n n n n n +++=+++<-+∴ ∴
2222ln 2ln3ln 13121.......(+)232214(1)n n n n n n n --+++<-=++ 则得证 ……………………………………………………………… 14分
22．解：（Ⅰ）由题意知222a c a c b c ⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩， 解得22a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
， 故椭圆C 的方程22
142x y +=．……………………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(4)y k x =-．
由22
(4),1.42y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得
2222(21)163240k x k x k +-+-=． ① 设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，
22222212221222
212122(16)4(21)(324)1696016213242112(4)(4)21k k k k k
x x k k x x k k y y k x x k ⎧=--+-=->⎪⎪+=⎪+⎪⎨-=⎪+⎪⎪=--=⎪+⎩
212122244426==222121k OM ON x x y y k k -+=-++，2106k <≤
即
5[4,)2OM ON ∈- ． …………………………………………………… 9分 (Ⅲ)由（Ⅱ）知，11(,)T x y -，直线TN 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．
令0y =，得
221221()y x x x x y y -=-+． 将11(4)
y k x =-，22(4)
y k x =-代入， 整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-． ②
由①得
2
1221621k x x k +=+，212232421k x x k -=+代入②整理，得1x =． 所以直线TN 恒过定点(1,0)Q ． …………………………………………14分。