(易错题)高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测卷(含答案解析)(1)

一、选择题
1．函数()ln f x x x =-与()ln x g x xe x x =--的最小值分别为,a b ，则 （ ） A ．a b = B ．a b >
C ．a b <
D ．,a b 的大小不能确
定
2．已知α，β∈R ，则“0αβ+<”是“sin sin αβαβ+<+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件
D ．充分必要条件
3．已知函数2()sin f x x x x =+，,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则下列式子成立的是（ ） A ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫
-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫
<-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．13(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫
<<-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．31(1)22f f f ⎛⎫⎛⎫<-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
4．对任意0x >，若不等式2e ln e x
a x ax x
++≥恒成立(e 为自然对数的底数)，则正实数
a 的取值范围是（ ）
A ．(0,e]
B ．2(0,e ]
C ．2[,e]e
D ．2
2[,e ]e
5．若函数32()x x x f x e e e a =---存在零点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[2,)-+∞
B ．[,
)e C ．2[,)e -+∞ D ．[1,)-+∞
6．已知曲线1C ：()x
f x xe =在0x =处的切线与曲线2C ：()()ln a x
g x a x
=
∈R 在1x =处的切线平行，令()()()h x f x g x =，则()h x 在()0,∞+上（ ）
A ．有唯一零点
B ．有两个零点
C ．没有零点
D ．不确定
7．已知函数()ln f x x =，若对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有
()()()()222
1212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦
恒成立，则实数k 的最大值是（ ） A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
8．已知函数,0(),0
x e x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩（其中e 为自然对数的底数），若函数2()y f x ax =-恰
有三个零点，则（ ）
A ．2
4
e a >
B ．2
4e a
C ．2
2
e a >
D ．2
e a >
9．某企业拟建造一个容器(不计厚度，长度单位：米)，该容器的底部为圆柱形，高为l ，
底面半径为r ，上部为半径为r 的半球形，按照设计要求容器的体积为
28
3
π立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米建造费用为3万元，半球形部分每平方米建造费用为4万元，则该容器的建造费用最小时，半径r 的值为（ ） A ．1
B ．32
C ．34
D ．2
10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若当2x ≠时满足()
02
f x x '≤-，则必有（ ） A ．()()()1322f f f +< B ．()()()1322f f f +≤ C ．()()()1322f f f +≥
D ．()()()1322f f f +>
11．函数()f x 是定义在区间()0,∞+上的可导函数，其导函数()f x '，且满足
()()20xf x f x '+>，则不等式
()()()
202020202222020
x f x f x ++<
+的解集为（ ）
A ．{}2018x x <-
B ．{}20202018x x -<<-
C ．{}2018x x >-
D ．{}20200x x -<<
12．函数()2x
f x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，且
2
1
2x x ≥，则实数a 的最小值为（ ） A ．ln 2
2
-
B ．ln 2-
C ．2e
-
D ．ln 2
二、填空题
13．已知定义在R 上的函数()f x 满足()11f =，且对于任意的x ，1
()2
f x '
<
恒成立，则不等式()22
lg 1
lg 22
x f x <+的解集为________.
14．函数()y f x =的导函数的图像如图所示，给出下列判断：
①函数()y f x =在区间(3)5，
内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(3)2
-，
内单调递减；
③函数()y f x =在区间(22)-，
内单调递增； ④当1
2
x =-时，函数()y f x =有极大值；
⑤当2x =时，函数()y f x =有极大值； 则上述判断中正确的是________．
15．已知a R ∈，对于任意的实数[]
1,2x ∈，不等式()110x
x e a x a e ⎛⎫+---≤ ⎪⎝
⎭
恒成立，则实数a 的取值范围是________________.
16．已知函数3223,01
()21,1
x x m x f x mx x ⎧-+≤≤=⎨-+>⎩，若函数()f x 的图象与x 轴有且只有两个
不同的交点，则实数m 的取值范围为________．
17．函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是________.
18．已知函数f (x )＝2,(,0]
,(0,)x x x e x +∈-∞⎧⎨∈+∞⎩
，若存在x 1，x 2（x 2＞x 1）满足f （x 1）＝f
（x 2），则x 2﹣2x 1的取值范围为_____.
19．函数()ln f x x ax =-在()1,+∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______. 20．已知函数()()3
1f x x ax b =---，x ∈R ，其中a 、b ∈R ，若()f x 存在极值点
0x ，且()()10f x f x =，其中10x x ≠，则102x x +=_______.
三、解答题
21．已知函数()ln ()=+∈f x x x ax a R ． （Ⅰ）当0a =，求()f x 的最小值；
（Ⅱ）若函数()()ln g x f x x =+在区间[1,)+∞上为增函数，求实数a 的取值范围； 22．函数()cos x f x e x =. （1）求()f x 的单调区间；
（2）当0x ≥时，不等式22()(2)x x f x e e ax ≤'-恒成立，求实数a 的取值范围. 23．已知函数()()2
ln 211f x x ax a x =++++.
（1）讨论()f x 的单调性; （2）当0a <时，证明:()314f x a
≤-
- 24．已知函数()1ln f x ax x =--.
（1）当1a =时，证明：()f x 存在唯一的零点； （2）若()0f x ≥，求实数a 的取值范围. 25．已知函数()2
2ln f x x a x =-，其中a ∈R .
（1）当1a =时，求函数()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最值；
（2）（i ）讨论函数()f x 的单调性；
（ii ）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 26．已知函数3
2113
f x
x ax ，0a >． （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
（2）是否存在实数a ，使得()f x 在[]0,2上的最小值为5
6
？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
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一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
根据函数的单调性分别求出函数()f x ，()g x 的最小值，比较a ，b 即可． 【详解】
()f x 的定义域是()0,∞+，
11()1x f x x x
'-=-
=， 令()0f x '<，解得：01x <<，令()0f x '>，解得：1x >，
()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x 的最小值是()1f 1=，故1a =，
()x g x xe lnx x =--，定义域(0,)+∞，
()()()
11111x x
x g x x e xe x x
+=+--=-'，
令()1x
h x xe =-，则()()10x
h x x e '=+>，(0,)x ∈+∞
则可得()h x 在(0,)+∞上单调递增，且()010h =-<，()110h e =->， 故存在0(0,1)x ∈使得()0h x =即0
01x x e
=，即000x lnx +=，
当0(0,)x x ∈时，()0h x <，()0g x '<，函数()g x 单调递减，
当()0x x ∈+∞，
时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 故当0x x =时，函数取得最小值0000000()11x
g x x e lnx x lnx x =--=--=，即1b =，
所以a b = 故选：A ． 【点睛】
关键点睛：题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，解答本题的关键是由()()()
11111x
x x g x x e xe x x
+=+-
-=-'，得出当0(0,)x x ∈时，函数()g x 单调递减，当()0x x ∈+∞，
时，函数()g x 单调递增，根据000x lnx +=，求出最小值，属于中档题.
2．D
解析：D 【分析】
首先构造函数()sin x x x f -=，利用导数判断函数的单调性，再判断选项. 【详解】
构造函数()sin x x x f -=，
()1cos 0f x x '=-≥恒成立，()f x ∴是单调递增函数，
0αβ+<，即αβ<-，
()()f f αβ∴<-，即()()sin sin ααββ-<---，
即sin sin αβαβ+<+，
反过来，若sin sin αβαβ+<+，即()()sin sin ααββ-<---，
αβ∴<-，即0αβ+<.
故选：D 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是通过条件观察后构造函数()sin x x x f -=，通过判断函数的单调性，比较大小.
3．B
解析：B 【分析】
由奇偶性的定义得到函数()f x 为偶函数，求导数得到函数()f x 在(0,)2
π
上为增函数，则
函数在(,0)2
π
-上为减函数．结合单调性和奇偶性即可判断出答案．
【详解】
函数2()sin f x x x x =+， 22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，，定义域关于原点对称，
且()()()()()2
2sin sin f x x x x x x x f x -=-+--=+=．所以函数()f x 为偶函数，
所以()()11f f -= 又当0,
2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>． ()f x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数，则()f x 在,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭上为减函数．
13π
1
222
<<<，所以()13122f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则()13122f f f ⎛⎫⎛⎫
<-<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 故选：B ． 【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数的奇偶性和单调性比较函数值大小，解答本题的关键是先得出函数为偶函数，再由0,2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，()2sin cos 0f x x x x x '=++>利用单数判断出单调性，属于中档题.
4．B
解析：B 【分析】
将不等式化简并换元，构造函数2
()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，对函数
求导，判断导函数零点与区间端点的关系，分类讨论得出函数的单调性和最小值，代入求解可得正实数a 的取值范围． 【详解】
22
e e e ln e ln e 0x x x a x ax a x x x ++≥⇔-+≥，令e x t x
=(由e e x x ≥可知e t ≥)， 则2ln e 0t a t -+≥，设2
()ln e (e)f t t a t t =-+≥，则min ()0f t ≥即可，
易得()1(e)a t a f t t t t
-'=-
=≥， ①当0e a <≤时，()0f t '≥，所以此时()(e)y f t t =≥是增函数，
故2
min ()(e)e e 0f t f a ==-+≥，解得2e e a ≤+，又0e a <≤，所以0e a <≤；
②当e a >时，则()y f t =在[,)e a 上递减，在(,)a +∞上递增，故min ()()f t f a =，
min ()0()0f t f a ≥⇔≥，所以2ln e 0a a a -+≥，
设2
()ln e (e)g a a a a a =-+>，故()0g a ≥即可，而()ln (e)g a a a '=->，显然
()0g a '<，即()y g a =在(e,)+∞上递减，又2(e )0g =，而()0g a ≥，所以
2()(e )g a g ≥，所以2e a ≤，又e a >，因此2e e a <≤.
综上所述，0e a <≤或2e e a <≤，即2
(0,e ]a ∈. 故选：B 【点睛】
方法点睛：本题考查不等式的恒成立问题，考查导数在单调性和最值中的应用，考查分类讨论思想，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下： 1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；
2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；
3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；
4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．
5．D
解析：D 【分析】
由题意得32x x x a e e e =--，令32()x
x
x g x e e e =--，求()g x 的取值范围可得答案.
【详解】 由32()0x
x x f x e
e e a =---=，则32x x x a e e e =--，
令32()x
x
x g x e e
e =--，
则()()()3223()3211213x
x
x x x x x x x g x e e
e e e e e e e '=--=+-=--，
当()0g x '>得0x >，()g x 单调递增，当()0g x '<得0x <，()g x 单调递减， 所以min
()(0)1g x g ≥=-，()2
215()124x x x x x
g x e e e e e ⎡⎤⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
当x 趋向于正无穷大时，()g x 也趋向于正无穷大， 所以函数()f x 存在零点，则1a ≥-. 故选：D. 【点睛】
方法点睛：本题考查函数零点问题．解题方法是把零点个数转化为方程解的个数，再转化为函数图象交点个数，由图象观察所需条件求得结论．考查了分析问题、解决问题的能力．
6．A
解析：A 【分析】
先对函数()x
f x xe =和()ln a x
g x x
=
求导，根据两曲线在1x =处的切线平行，由导数的几何意义求出a ，得到函数()()()ln x
h x f x g x e x ==，对其求导，利用导数的方法判定
单调性，确定其在()0,∞+上的最值，即可确定函数零点个数. 【详解】
∵()x
f x xe =，∴()()1x
f x x e '=+，
又()ln a x g x x =
，∴()2
ln a a x
g x x -'=， 由题设知，()()01f g '='，即()0
2
ln1
101a a e -+=
，∴1a =， 则()()()ln ln x
x x
h x f x g x xe e x x
==⋅
=， ∴()()ln 1ln x
x x
x x e
e h x e x x x
+==
'+，0x >， 令()ln 1m x x x =+，0x >，则()ln 1m x x '=+，
当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0m x '
<，即函数()ln 1m x x x =+单调递减； 当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0m x '
>，即函数()ln 1m x x x =+单调递增；
∴在()0,∞+上()m x 的最小值为1110m e e ⎛⎫
=-> ⎪
⎝⎭
， ∴()0m x >，则()0h x '>，
∴()h x 在()0,∞+上单调递增，且()10h =.
()h x 在()0,∞+上有唯一零点，
故选：A ． 【点睛】 思路点睛：
利用导数的方法判定函数零点个数时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，确定函数极值和最值，即可确定函数零点个数.（有时也需要利用数形结合的方法进行判断）
7．B
解析：B 【分析】
首先代入函数，变形为
1
22
1ln
1x k
x x x >-，再通过换元设12x t x =(1t >)，则ln 1k t t >-，利用参变分离转化为(1)ln k t t <-，设()()1ln g t t t =-(1t >)，转化为求函数()g t 的最小值. 【详解】
设12x x >，
因为()()()()
2
2
2
1212122f x f x x x k x x x -->+⎡⎤⎣⎦，
变形为()()()()121212212ln ln x x x x x x kx x x -+->+，即12
212
ln
x kx x x x >-， 等价于
122
1ln
1x k x x x >
-，
因为120x x >>，令12x t x =
(1t >)，则ln 1
k t t >-，即(1)ln k t t <-. 设()()1ln g t t t =-(1t >)，则min ()k g t <.
当1t >时1
()ln 10g t t t
'
=+-
>恒成立，故()g t 在()1,+∞上单调递增，()(1)0g t g >=. 所以0k ≤，k 的最大值为0. 故选：B . 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是将条件变形为12
212
ln
x kx x x x >-，并进一步变形为122
1ln
1x k x x x >
-，再通过换元，参变分离后转化为求函数的最值.
8．A
解析：A 【分析】
由(0)1f =，故0不是函数()2y f x ax =-的零点，则由2
()0f x ax -=，得
2()(0)f x a x x =≠，令2()()f x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三
个零点，利用导数研究函数()y g x =的性质并作出示意图可求得答案. 【详解】
由(0)1f =，故0不是函数()2
y f x ax =-的零点，
则由2
()0f x ax -=，得2()
(0)f x a x x
=
≠， 令2
()()f x g x x =2
,0
1,0
x
e x x x x
⎧>⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，则题目转化为y a =与()y g x =有三个零点，
当0x >时，2(
)x e g x x =，则4
(2)
()x xe x g x x
-'=， 则()g x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，当2x =时，()g x 有最小值为2
(2)4
e g =，
当0x →时，()g x →+∞，作出()y g x =的示意图如图所示：
由图知，若函数()2
y f x ax =-恰有三个零点，则2
4
e a >. 故选：A. 【点睛】
方法点睛：求函数()f x 的零点个数的方法如下： 直接解方程()0f x =，求出零点可得零点个数.； 数形结合法：转化为两个函数的交点；
参变分离法：将参数分离出来，再作函数的图像进而转化为y a =与()y g x =（分离后的函数）的交点问题.
9．C
解析：C 【分析】
根据体积公式用r 表示出l ，得出费用关于r 的函数，利用导数求出函数的极小值点即可. 【详解】
解：由题意知2
32314228
2333
V r l r r l r πππππ=+
⨯=+=， 故3332222
2282
282
282333333V r r r l r r r r r πππππ---===-=
， 由0l >可知314r <. ∴ 建造费用
()32
222
2
1282562344611723r y rl r r r r r r r
πππππππ-=+⨯+⨯⨯=⨯+=+，(3014r <<，
则()322
1445614r y r r r
πππ-'=-=. 当(3
4r ∈时，0y '<，3
34,14r ∈
时，0y '>.
当r =
.
故选：C . 【点睛】
本题考查数学建模能力，利用导数求解最值问题，考查运算能力，是中档题.
10．B
解析：B 【分析】
根据
()
02f x x '≤-，得到2x >时，()f x 单调非递增函数，2x <时，()f x 单调非递减函数求解. 【详解】
因为
()
02
f x x '≤-， 所以当20x ->，即2x >时，()0f x '
≤，则()f x 单调非递增函数，
所以()()32f f ≤；
当20x -<，即2x <时，()0f x '≥，()f x 单调非递减函数， 所以()()12f f ≤；
由不等式的性质得：()()()1322f f f +≤. 故选：B 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性以及不等式的基本性质，属于中档题.
11．B
解析：B 【分析】
构造新函数()()2
g x x f x =，求导后可证明()g x 在()0,∞+上单调递增，而不等式
()()()
20202020222
2020x f x f x ++<
+可等价于()()20202+<g x g ，故2020020202x x +>⎧⎨+<⎩
，
解之即可. 【详解】
令()()2
g x x f x =，则()()()()()2
22g x xf x x f x x f x xf x ⎡⎤=+='+'⎣'⎦
， ∵定义域为()0,∞+，且()()20xf x f x '+>，
()0g x '∴>，()g x 在()0,∞+上单调递增，
不等式
()()()
202020202222020
x f x f x ++<
+等价于()()20202+<g x g ，
2020020202x x +>⎧∴⎨+<⎩
，
解得20202018-<<-x 故选：B 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.
12．B
解析：B 【分析】
函数()2x
f x ae x =+，变形为2x x a e =-
，令()2x
x
g x e
=-，利用导数求函数的最值，可得20a e
-<<，结合
212x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值，再把1x ，2x 代入20x ae x +=，求解1x ，再代入112x
ae x =-，即可求得a 的最小值
【详解】
函数()2x
f x ae x =+，变形为2x x a e =-
，令()2x x
g x e =-，得()()21x
x g x e -'=， 当(),1x ∈-∞时，0g x ，当()1,∈+∞x 时，0g x ，可得1x =时，函数()
g x 取得最小值2
e
-
. 又当x →-∞时，()g x →+∞，当x →+∞时，()0g x <， 且函数()2x
f x ae x =+在R 上有两个零点1x ，2x ，得2
0a e
-
<<. 由
2
1
2x x ≥，可得212x x =时，a 取得最小值. 由112x
ae x =-，2
22x ae
x =-，得1214x ae x =-，∴12x e =，解得1ln 2x =.
代入112x
ae x =-，解得ln 2a =-.∴a 的最小值为ln 2-. 故选：B. 【点睛】
此题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化的数学思想，考查计算能力，属于中档题
二、填空题
13．【分析】由构造单调递减函数利用其单调性求解【详解】设则是上的减函数且不等式即为所以得解得或原不等式的解集为故答案为:【点睛】利用导数研
究函数的单调性构造函数比较大小属于难题联系已知条件和结论构造辅助
解析：10,10,
10
.
【分析】 由()1
2
f x '<，构造单调递减函数()()12h x f x x =-，利用其单调性求解.
【详解】
()()11
,022
f x f x <∴-''<，
设()()1
2
h x f x x =-
， 则()()1
02
h x f x ''=-
<， ()h x ∴是R 上的减函数，且()()111111222
h f =-
=-=， 不等式()22
lg 1
lg 22
x f x <+，
即为()22
lg 1
lg 22
x f x -<，
所以()
()2
lg 1h x h <，
得2
lg 1x >，解得10x >或1
10
x
， ∴原不等式的解集为10,
10,
10
.
故答案为:10,10,
10
.
【点睛】
利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小，属于难题，联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
14．③⑤【分析】根据导函数图像得出导数正负根据导数正负判定单调区间根据左正右负和左负有正判定极值【详解】解：对于①当时单调递减当时单调递增所以①错；对于②当时单调递增当时单调递减所以②错；对于③当时单调
解析：③⑤ 【分析】
根据导函数图像得出导数正负，根据导数正负判定单调区间，根据左正右负和左负有正判
定极值. 【详解】
解：对于①，当(34)x ∈，
时()0f x '<，()f x 单调递减， 当(4,5)x ∈时()0f x '>，()f x 单调递增，所以①错；
对于②，当1(2)2
x ∈-，
时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，
时()0f x '<，()f x 单调递减，所以②错； 对于③，当(22)x ∈-，
时()0f x '>，()f x 单调递增，所以③对； 对于④，当(22)x ∈-，
时()0f x '>，()f x 单调递增，故当1
2
x =-时()f x 不是极大值，所以④错；
对于⑤，当1(2)2
x ∈-，
时()0f x '>，()f x 单调递增， 当(23)x ∈，
时()0f x '<，()f x 单调递减，故2x =时函数()y f x =取得极大值，所以⑤对．
故答案为：③⑤. 【点睛】
求函数的极值或极值点的步骤：
（1）求导数()'
f x ，不要忘记函数()f x 的定义域；
（2）求方程()0f x '=的根；
（3）检查在方程的根的左右两侧()'
f x 的符号，确定极值点或函数的极值．
15．【分析】当时证明出由题意可得出可得出结合函数的单调性可求得实数的取值范围【详解】当时先证明出构造函数则则函数在区间上单调递增所以所以函数在区间上单调递增当时所以由可得所以当时即令则所以函数在区间上单
解析：11,e e ⎡⎤+⎢
⎥⎣⎦
【分析】
当[]
1,2x ∈时，证明出11x
x e x e +>-，由题意可得出11x
x
x a e e -≤≤+，可得出
()max min
11x x x a e e ⎛⎫
-≤≤+
⎪⎝
⎭，结合函数的单调性可求得实数a 的取值范围. 【详解】
当[]
1,2x ∈时，先证明出11x
x e x e +
>-，构造函数()11x
x f x e x e
=+-+， 则()1
1x
x f x e e
'=-
-，则函数()f x '在区间[]1,2上单调递增，
所以，()()1
110f x f e e
''≥=-
->，所以，函数()f x 在区间[]1,2上单调递增， 当[]
1,2x ∈时，()()110f x f e e ≥=+
>，所以，1
1x x e x e
+>-. 由()110x x e a x a e ⎛⎫+---≤ ⎪⎝⎭
，可得11x
x x a e e -≤≤+，所以，
()max min
11x
x x a e e ⎛⎫
-≤≤+
⎪⎝
⎭. 当[]
1,2x ∈时，011x ≤-≤，即()max 11x -=， 令()1x
x g x e e =+
，则()10x
x
g x e e
'=->，所以，函数()g x 在区间[]1,2上单调递增， 当[]
1,2x ∈时，()()min 1
1g x g e e ==+
，所以，11a e e
≤≤+. 因此，实数a 的取值范围是11,e e
⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
. 故答案为：11,e e
⎡⎤+⎢⎥⎣
⎦
.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.
16．【分析】利用导数求得在区间上的单调性和最值对分成三种情况进行分类讨论由此求得的取值范围【详解】当时所以在区间上递减最大值为最小值为当时在区间上没有零点在区间上递增而所以在区间上没有零点所以不符合题意
解析：1
(0,)2
【分析】
利用导数求得()f x 在区间[]0,1上的单调性和最值，对m 分成0,0,0m m m <=>三种情况进行分类讨论，由此求得m 的取值范围. 【详解】
当01x ≤≤时，()()'
26661f
x x x x x =-=-，所以()f x 在区间[]0,1上递减，最大值为
()0f m =，最小值为()11f m =-.
当0m <时，()f x 在区间[]0,1上没有零点，在区间()1,+∞上递增， 而2110m -⨯+>，
所以()f x 在区间()1,+∞上没有零点.所以0m <不符合题意.
当0m =时，3223,01
()1,1
x x x f x x ⎧-≤≤=⎨>⎩，所以()f x 在区间[)0,+∞上有唯一零点
()00f =，所以0m =不符合题意.
当0m >时，()f x 在区间[]0,1和区间()1,+∞上递减，要使()f x 的图象与x 轴有且只有
两个不同的交点，则需0102110
m m m >⎧⎪-≤⎨⎪-⨯+>⎩
，解得1
02m <<.
综上所述，m 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故答案为：1(0,)2
【点睛】
本小题主要考查利用导数研究函数的零点，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
17．【分析】根据函数求导解的解集即可【详解】因为函数所以令得或当时所以函数在上的递增区间是故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性还考查了转化问题和运算求解的能力属于中档题
解析：5,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【分析】
根据函数2sin y x x =-，求导12cos y x '=-，解0y '>的解集即可. 【详解】
因为函数2sin y x x =-， 所以12cos y x '=-， 令12cos 0y x '=-=，得3
x π
=或53
x π=
， 当
53
3
x π
π
≤≤
时，0y '>， 所以函数2sin y x x =-在[]0,2π上的递增区间是5,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故答案为：5,33ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦ 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化问题和运算求解的能力，属于中档题.
18．ln22）【分析】用表示出得出关于的函数根据的范围判断函数单调性得出值域即可【详解】显然由题意可知故由可得故设则在上单调递减又故答案为：
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值意在考查学生
解析：[ln 2，2） 【分析】
用2x 表示出1x ，得出212x x -关于2x 的函数2()g x ，根据2x 的范围，判断函数单调性得出值域即可． 【详解】
显然10x ，20x >，
由题意可知212x x e +=，故212x x e =-，
2212224x x x x e ∴-=-+，
由2121x x e +=>可得110x -<，故2120x e -<-，202x ln ∴<， 设()24(02)x g x x e x ln =-+<，
则()120x g x e '=-<，()g x ∴在(0，2]ln 上单调递减， 又(0)2g =，(2)2g ln ln =， 2()2ln g x ∴<．
故答案为：[2ln ，2)． 【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．【分析】求导得到恒成立化简得到计算得到答案【详解】在恒成立即恒成立故故答案为【点睛】本题考查了利用导数计算函数的单调性意在考查学生的计算能力 解析：[1,)+∞
【分析】 求导得到1'()0f x a x =-≤恒成立，化简得到1
a x
≤，计算得到答案. 【详解】
1
()ln '()0f x x ax f x a x
=-∴=-≤在()1,+∞恒成立 即1
a x
≤恒成立，故1a ≥ 故答案为[1,)+∞
【点睛】
本题考查了利用导数计算函数的单调性，意在考查学生的计算能力.
20．【分析】根据得出再根据利用作差因式分解可得出的值【详解】由题意可得则即即故答案为：【点睛】本题考查利用极值点求代数式的值主要考查因式分解考查计算能力属于中等题
解析：3
【分析】
根据()00f x '=得出()2
031a x =-，再根据()()10f x f x =利用作差因式分解可得出
102x x +的值.
【详解】
()()31f x x ax b =---，()()2
31f x x a '∴=--，
由题意可得()()2
00310f x x a '=--=，则()2
031a x =-，
10x x ≠，100x x ∴-≠，
()()10f x f x =，()()3
3
110011x ax b x ax b ∴---=---，
()()()33
101011x x a x x ∴---=-，
()()()()()()22
101100101111x x x x x x a x x ⎡⎤∴--+--+-=-⎣⎦
，
()()()()()222
11000111131x x x x a x ∴-+--+-==-，()()()()2
2
1100111210x x x x ∴-+----=，
()()()()1010111210x x x x ∴---⋅-+-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()()1010230x x x x -+-=，
10230x x ∴+-=，即1023x x +=.
故答案为：3. 【点睛】
本题考查利用极值点求代数式的值，主要考查因式分解，考查计算能力，属于中等题.
三、解答题
21．（1）11
()f e e
=-；（2）2a ≥- 【分析】
（1）对函数求导，令'()ln 1=0=+f x x ，讨论函数的单调性即可求出结果.
（2）由()g x 在区间[1,)+∞单调递增，可得'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数可得：
1
ln (1)+
≥-+x a x ，构造函数即可求出结果. 【详解】
（1）()ln 1,'()ln 1=+=+f x x x f x x 令'()ln 1=0=+f x x ，解得1=
x e
当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下：
所以min ()()f x f e
e ==-
（2）1'()ln 1=+++
g x x a x
， ()g x 在区间[1,)+∞单调递增，所以'()0≥g x 在[1,)+∞恒成立，
即1
ln (1)+
≥-+x a x
在[1,)+∞恒成立 设221111()ln ,'()0-=+
∴=-=>x h x x h x x x x x
1
()ln ∴=+
h x x x
[1,)+∞单调递增，min ()=(1)=1h x h 只需1(1)≥-+a 即可，解得2a ≥-
【点睛】
方法点睛：()g x 在区间[1,)+∞单调递增'()0⇔≥g x 在[1,)+∞恒成立，分离参数，构造函数是常用方法.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于中档题目.. 22．（1）()f x 的单调递增区间为：32,2()44k k k ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ，()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡
⎤π+π+∈⎢⎥⎣
⎦Z ；（2）(,2]-∞. 【分析】
（1）求导函数，计算()0f x '≥和()0f x '≤即可得单调区间；
（2）将
()()cos sin x f x e x x '=-代入不等式化简得2sin cos ()20
x
x
x x h x e ax e -=
+-≥恒成立，通过求导数讨论单调性并求得最值，从而求的实数a 的取值范围. 【详解】
（1）由题可得()cos sin (cos sin )cos 4x x x
x f x e x e x e x x x π⎛
⎫'=-=-=
+ ⎪⎝
⎭
令()cos 04x f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭'，
得22()2
4
2
k x k k π
π
π
ππ-
+
+
∈Z ，
∴322()4
4
k x k k Z ππ
ππ-
+
∈，
∴()f x 的单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎡⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z . 同理，令()0f x '≤，得()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡
⎤
π+π+∈⎢⎥⎣
⎦
Z 综上所述：()f x 的单调递增区间为：32,2()44k k k ππππ⎡
⎤
-
+∈⎢⎥⎣
⎦
Z ， ()f x 的单调递减区间为52,2()44k k k ππ⎡
⎤π+π+∈⎢⎥⎣
⎦Z .
（2）由()()cos sin x f x e x x '=-，得2cos sin 2x x
x x
e ax e --≥
， 即
2sin cos 20x
x
x x e ax e -+-.
设2sin cos ()2x x x x h x e ax e -=
+-，则()22cos 22x
x
x h x e a e
'=+-. 设(
)()x h x ϕ='，则344()x x
e x x e πϕ⎛
⎫-+ ⎪
⎝⎭=
'. 当[0,)x
∈+∞时，344
x e ≥，4x π⎛⎫
+≤ ⎪⎝
⎭
()0x ϕ'≥. 所以()x ϕ即()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()()042h x h a ''≥=-.
若2a ≤，则()()0420h x h a ''≥=-≥， 所以()h x 在[0,)+∞上单调递增. 所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.
若2a >，则()0420h a '=-<，必存在正实数0x ， 满足：当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 此时()()00h x h <=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是(,2]-∞. 【点晴】
方法点晴：将不等式恒成立问题转化为最值问题来求解，通过求导讨论单调性求得最值，从而解决相关问题.
23．（1）答案见解析；（2）证明见解析. 【分析】
（1）含参数的函数单调性，对0a ≥和0a <进行讨论；
（2）对0a <时，先求出()f x 的最大值，构造关于a 的函数
13111ln 12422f a a a a
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，利用导数讨论. 【详解】
解：(1）
()()2ln 211f x x ax a x =++++，
()()()()()2221121112210ax a x ax x f x ax a x x x x
+++++'∴=+++==>， 当0a ≥时，()0f x '≥恒成立，
则()f x 在()0,∞+上单调递增
当0a <时，令()0f x '>，则210ax +>， 所以102x a
<<- 令()0f x '<，则210ax +< 所以12x a
>- 综上:当0a ≥时，()f x 的增区间为()0,∞+;
当0a <时，()f x 的增区间为10,2a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，减区间为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭
. (2)由(1)知，当0a <时，()max 12f x f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 13111ln 12422f a a a a
⎛⎫⎛⎫⎛⎫----=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()()ln 10g t t t t =-+>，
则()1
11t g t t t
-'=-=， 令()0g t '>，则01t <<.
令()0g t '<，则1t >.
故()()max 10g t g ==，
所以ln 10t t -+≤ 又因为102a
->， 所以11ln 1022a a ⎛⎫⎛⎫---+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则13111ln 102422f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+=---+≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 从而()max 314f x a ≤-
+ 即()314f x a
≤-
+. 【点睛】 (1)含参数的导数的讨论：① 判断()0f x '=是否有根，② 比较()0f x '=的几个根的大小；（2）证明不等式通常作差，构造新函数，用导数进行讨论.
24．（1）证明见解析；（2）1a ≥．
【分析】
（1）当1a =时，求导得到()111x f x x x -'=-
=，判断出函数的单调性，求出最值，可证得命题成立；
（2）当0a ≤且1x >时，()0f x <不满足题意，故0a >，又定义域为()0,∞+，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数a 的取值范围．
【详解】
（1）函数()f x 的定义域为()0,∞+，当1a =时，由()111x f x x x -'=-
=， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；
当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；.
且()10f =，故()f x 存在唯一的零点；
（2）当0a ≤时，不满足()0f x ≥恒成立，故0a >
由定义域为()0,∞+，()1ln 0f x ax x =--≥可得1ln x a x +≥
， 令1()lnx h x x +=，则2()lnx h x x
'=-， 则当01x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当1x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，
故当1x =时，函数()h x 取得最大值h （1）1=，
故实数a 的取值范围是1a ≥．
【点睛】
方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：
1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；
2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取值范围的变量看作参数；
3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；
4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解．
25．（1）最大值为22e -，最小值为1；（2）（i ）见详解；（ii ）a e >.
【分析】
（1）由1a =得()22ln f x x x =-，对其求导，利用导数的方法判定其在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调性，即可求出最值；
（2）（i ）先对函数求导，分别讨论0a ≤和0a >两种情况，利用导数的方法，即可判定函数单调性；
（ii ）由（i ）中函数单调性，先判断0a ≤时不满足题意，再由0a >时函数的单调性，得到()min ln f x a a a =-，由函数零点个数，必有()min 0f x <，求出a 的范围，再进行验证，即可得出结果.
【详解】
（1）由1a =得()22ln f x x x =-，所以()()()21122x x f x x x x
+-'=-=， 当1,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()()2110x x f x x +-'=
<，则()f x 单调递减； 当()1,x e ∈时，()()()2110x x f x x
+-'=>，则()f x 单调递增； 所以()()min 11f x f ==；又2211112ln 2f e e e e ⎛⎫
=
-=+ ⎪⎝⎭，()22122f e e e =->+， 所以()()2
max 2f x f e e ==-； 即()f x 在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最大值为22e -，最小值为1； （2）（i ）()()2222x a a f x x x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立；即()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；
当0a >时，若0x <<，则()()
220x a f x x -'=<；若x >()()
220x a f x x -'=>，
所以()f x 在(上单调递减；在)
+∞上单调递增；
综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在(上单调递
减；在)
+∞上单调递增；
（ii ）由（i ）知，当0a ≤时，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增；不可能有两个零点；
当0a >时，()min 2ln f x f a a a a a ==-=-；
为使()f x 有两个零点，必有()min ln 0f x a a a =-<，即a e >；
又()()2
242ln 222ln 2f a a a a a a a =-=-， 令()ln g x x x =-，2x e >，则()1110x g x x x
-'=-
=>在()2,e +∞上恒成立， 即()ln g x x x =-在()2,e +∞上单调递增， 所以()()22ln 20g x g e e e >=->，即()()222ln 20f a a a a =->，
所以根据零点存在性定理可得，存在)1x a ∈
，使得()10f x =； 又442ln 0f a
a a a a =-=+>，
根据零点存在性定理可得，存在
2x ∈，使得()20f x =， 综上，当a e >时，函数()f x 有两个零点.
【点睛】
思路点睛：
利用导数的方法求解由函数零点个数求参数范围问题时，一般需要先对函数求导，利用导数的方法判定函数单调性，求出极值，进而可求出零点个数.（有时也需要分离参数，构造新的函数，将问题转化为两函数图象交点个数问题进行求解）
26．（1）
89；（2）存在，12
a =. 【分析】
（1）由1a =，求导()22f x x x '=-，利用导数的几何意义求得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程，再求得切线的x 轴、y 轴上的截距，代入三角形的面积公式求解. （2）求导()()2
22f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，然后分022a <<，22a ≥，由()f x 在[]0,2上的最小值为56
求解. 【详解】
（1）当1a =时，()32113
f x x x =-+，()22f x x x '=-， 所以()11f '=-，又()113
f =， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()113
y x -=--，
即3340x y +-=，
直线3340x y +-=在x 轴、y 轴上的截距均为
43， 所以三角形的面积为14482339S =
⨯⨯=． （2）()()222f x x ax x x a '=-=-，
令()0f x '=，得0x =或2x a =．
当022a <<，即01a <<时，
当[]0,2x a ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减；
当[]2,2x a ∈时．()0f x '≥，()f x 单调递增．
则()()33min 8524136f x f a a a ==-+=，解得12
a =， 当22a ≥，即1a ≥时，当[]0,2x ∈时，()0f x '≤，()f x 单调递减，
则()()min 8524136f x f a ==
-+=，解得17124a =<，舍去． 综上：存在12a =
，使得()f x 在[]0,2上的最小值为56． 【点睛】
方法点睛：（1）求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．（2）已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．。