2022年广东省深圳市科城实验学校高二数学理下学期期末试题含解析

2021-2022学年广东省深圳市科城实验学校高二数学理下学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 用反证法证明命题：“若a,b∈N，ab能被3整除，那么a,b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）
A．a、b都能被3整除 B．a、b都不能被3整除
C．a、b不都能被3整除 D．a不能被3整除
参考答案：
B
略
2. △ABC的BC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，将△ABC沿AD折成大小为θ的二面角
B-AD-C，若，则三棱锥A-BCD的侧面三角形ABC是（）
A、锐角三角形
B、钝角三角形
C、直角三角形
D、形状与a、b的值有关的三角形
参考答案：
C
点评：将平面图形折成空间图形后线面位置关系理不清，易瞎猜。

3. 若函数，则为
A、-2
B、2
C、
1 D、0
参考答案：
D
略4. 已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）
A．2 B．﹣C．﹣2 D．
参考答案：
C
【考点】等比数列．
【分析】由已知的题意利用等比数列的通项公式建立关于公比的方程即可．
【解答】由，
故选C．
5. 函数的单调增区间是（）
A．（0，e）B．（﹣∞，e）C．（e﹣1，+∞）D．（e，+∞）
参考答案：
A
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．
【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），
y′=，
令y′＞0，解得：0＜x＜e，
故函数在（0，e）递增，
故选：A．
6. 若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠?”的充要条件是（）A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥3
参考答案：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】解出关于集合A的不等式，根据A∩B≠?”求出a的范围即可．
【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，
B={x|﹣2＜x＜a}，
若“A∩B≠?”，则a＞﹣1，
故选：B．
7. 已知数列{a n}，如果是首项为1公比为2的等比数列，那么
a n=（）
A．2n+1－1 B．2n－1 C．2n－1 D．2n +1
参考答案：
B
略
8. 将7个座位连成一排，安排4个人就坐，恰有两个空位相邻的不同坐法有（）
A. 240
B. 480
C. 720
D. 960
参考答案：
B
12或67为空时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空时，第三个空位有3种选择；因此空位共有，所以不同坐法有,选B.
9. 已知程序框图如右图所示，则输出的
A．B．7C．9D．11
参考答案：
A
略10. 如图，六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC
C．直线BC∥平面PAE D．平面PAB⊥平面PAE
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 下列命题正确的是__________．
①两条直线没有公共点，则这两条直线平行或互为异面直线；
②如果两个平面有三个公共点，那么它们重合；
③一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行；
④两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
⑤过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行．
参考答案：
①
解：①正确．
②错，可能两个平面相交．
③错，当一条直线与平面内所有直线均无公共点时，直线与平面平行．
④错，两直线可能相交．
⑤错，只能作出一个符合要求的平面．
12. 已知向量与的夹角是钝角，则k
的取值范围是
．
参考答案：
13. 抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m）（m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．
【分析】由题意可求抛物线线y 2=2px 的准线，从而可求p ，，进而可求M ，由双曲线方程可求A ，根据双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则由斜率相等可求a
【解答】解：由题意可知：抛物线线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣4 ∴p=8
则点M （1，4），双曲线的左顶点为A （﹣
，0），
所以直线AM 的斜率为k=，
由题意可知：
∴
故答案为：
14. 某工程由下列工序组成，则工程总时数为_________天． 工序 a b
c
d e f 前工序
—
— a 、b c
c
d 、e
工时数（天） 2
3
2
5
4
1
参考答案：
11 略
15. 用半径为2cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为_ __cm.
参考答案：
16. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直
角坐标系以相同长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线
的方
程为，则
与
的交点个数为 。

参考答案：
2。

将、化为直角坐标方程分别为，，又过（0,1
）在椭圆
内。

∴
与
有两交点。

17. 设等差数列
的前n 项和为
,若
,
,则当
取最小值时,n 等于＿＿＿＿
＿
参考答案：
6
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如下左图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所 在的平面，BC ＝
，且M 为BC 的中点.求二面角P －AM －D 的大小．
参考答案：
解：以D 点为原点，分别以直线DA 、DC 为x 轴、y 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系
,依题意可得
∴
…… 3分
设，且平面PAM，则
即∴，取，得…… 8分
取，显然平面ABCD，
∴[学科结合图形可知，
二面角P－AM－D为45°网]……12分
略
19. （本小题满分14分）
已知函数，为常数．
（1）若，且，求函数的单调区间；（2）若，且对任意，，都有，
求的取值范围．
参考答案：
（1）， -------------------------------------2分
∵，令，得，或， ------------------------------------3分
∴函数的单调增区间为，． -----------------------------4分
单调减区间为
-----------------------------5分注：两个单调增区间，错一个扣1分，错两个扣2分
（2）∵，∴，
∴， --------------------------------------------------7分
设，依题意，在上是减函数． --------------------------8分
当时，，，
令，得：对恒成立，
设，则，
∵，∴，
∴． ------------------------------------------------------------------------------------11分
当时，，，
令，得：，
设，则，
∴在上是增函数，∴，
∴ -------------------------------------13分
综上所述， - --------------------------------------14分
20. （本小题8分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点E在椭圆C 上，且。

(I)求椭圆C的方程；
(II)直线过点P(-2,1)，交椭圆C于A、B两点，且点P恰为线段AB的中点，求直线的方程
参考答案：
21. （10分）已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l 的参数方程为 （t 为参数，
t ∈R ）．
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求直线l 与圆C 相交的弦长．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式求出圆心C 到直线l 的距离d ，由垂径定理及勾股定理即可求出弦长|AB|．
【解答】解：（Ⅰ）由ρ=2cosθ?ρ2=2ρcosθ?x 2+y 2﹣2x=0?（x ﹣1）2+y 2=1，
直线l 的参数方程为（t 为参数，t ∈R ）的普通方程为x ﹣y ﹣2=0；
（Ⅱ）圆心到直线距离为：d==．
∴弦长|AB|=2
=
．
【点评】本题考查了直线的参数方程、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识点，属于中档题．
22. 已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且EH∥FG．求证：EH∥BD．
参考答案：
考点： 直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
专题：证明题．
分析：先由EH∥FG，得到EH∥面BDC，从而得到EH∥BD．解答：证明：∵EH∥FG，EH?面BCD，FG?面BCD
∴EH∥面BCD，
又∵EH?面ABD，面BCD∩面ABD=BD，
∴EH∥BD
点评：本题主要考查线面平行的判定定理，是道基础题．。