一元学霸—黄金压轴二次函数最短路径

最短路径问题——和最小
【方法说明】
“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得P A ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，P A ＋PB 最小．
l
B
A
l
【方法归纳】
①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．
l
A
l
②如图所示，在直线l 上找一点P 使得P A ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时P A ＋PB 最小，则点P 即为所求．
l
A
l
③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．
O
B
O
B
④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．
B
O
B O
⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．
l
l
⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝1
4x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P
在什么位置时P A ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时P A ＋PB 最小，则点P 即为所求．
1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．
（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；
（2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；
（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；
（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．
【解题过程】
解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），
∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，
∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；
（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，
∴抛物线的顶点为：D（2，－1），
当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；
（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，
【方法一】
∵C（0，3）、D（2，－1），
设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，
当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝3
2，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（3
2，0）．
【方法二】
过点D作DE⊥y轴于点E，
∵PO∥DE，∴PO
DE＝
CO
CE，∴
PO
2＝
3
4，解得：PO＝
3
2，
∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（3
2，0）．
2．（11菏泽）如图，抛物线y＝1
2x
2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．
【思路点拨】
（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标； （2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B ，
C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2＝AB 2
，得出△ABC 是直角三角形；
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值． 【解题过程】
解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－3
2，
∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为 （32，－25
8
）．
（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．
当y ＝0时，12x 2－3
2
x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．
∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．
（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，
连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小． 【方法一】
设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧n ＝23
2k ＋n ＝－258，解得：⎩⎨⎧n ＝2k ＝－4112
．∴y ＝－41
12
x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝24
41
．
【方法二】
设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．
∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258
，∴m ＝2441
．
3．（11福州）已知，如图，二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：y ＝
3
3
x ＋3对称． （1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上； （2）求二次函数解析式；
（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．
【思路点拨】
（1）二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）中只有一个未知参数a ，令y ＝0，解出方程ax 2＋2ax ﹣3a ＝0（a ≠0），即可得到点A ，B 的坐标．把点A 的坐标代入直线l 的解析式即可判断A 是否在直线上； （2）根据点H 、B 关于过A 点的直线l ：y ＝
3
3
x ＋3对称，得出AH ＝AB ＝4，过顶点H 作HC ⊥AB 交AB 于C 点，得AC ＝1
2
AB ＝2，利用勾股定理求出HC 的长，即可得出点H 的坐标，代入二次函数解析式，求
出a ，即可得到二次函数解析式；
（3）直线BK ∥AH 易得直线BK 的解析式，联立直线l 的解析式方程组，即可求出K 的坐标．因为点H ，B 关于直线AK 对称，所以HN ＝BN ，所以根据“两点之间，线段最短”得出HN ＋MN 的最小值是MB ．作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，所以QM ＝KM ，易得BM ＋MK 的最小值为BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值，求出QB 的长即可． 【解题过程】
解：（1）依题意，得ax 2＋2ax ﹣3a ＝0（a ≠0），解得x 1＝﹣3，x 2＝1，
∵B 点在A 点右侧，∴A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（1，0），
∵直线l ：y ＝33x ＋3，当x ＝﹣3时，y ＝3
3
×(－3)＋3＝0，∴点A 在直线l 上．
（2）∵点H 、B 关于过A 点的直线l ：y ＝3
3
x ＋3对称，∴AH ＝AB ＝4，
过顶点H 作HC ⊥AB 交AB 于C 点，则AC ＝1
2
AB ＝2，HC ＝23，
∴顶点H （－1，23），代入二次函数解析式，解得a ＝－3
2
，
∴二次函数解析式为y ＝－32x 2－3x ＋33
2，
（3）直线AH 的解析式为y ＝3x ＋33，直线BK 的解析式为y ＝3x ＋33，
由⎩⎨
⎧y ＝33x ＋
3
y ＝3x －
3
，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23
，即K （3，23），则BK ＝4，
∵点H 、B 关于直线AK 对称，
∴HN ＋MN 的最小值是MB ，KD ＝KE ＝23， 过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则QM ＝MK ，QE ＝EK ＝23，AE ⊥QK ， ∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值， ∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°，由勾股定理得QB ＝8， ∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8．
【思路点拨】
（1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；
（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出；
（3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小． 【解题过程】
解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．
将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1
k ＝9，
∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．
（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），
如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．
S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN •MN －1
2
OM •OE
＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92
＝－（x －94）2＋153
16
∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，153
16）．
（3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．
令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）． 四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，
因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．
如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）； 作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）； 连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．
设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得： ⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3
m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．
当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋1
4
． ∴a ＝
6＋1
4
时，四边形PMEF 周长最小．
图1 图2
2．（14福州）如图，抛物线y ＝1
2(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，
顶点为D 了．
（1）求点A ，B ，D 的坐标；
（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；
（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点
P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．
【思路点拨】
（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得1
2(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；
（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠F AD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠F AD ＝90°即可得出结论；
（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出
点Q 的坐标即可． 【解题过程】
解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得1
2
(x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．
∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．
（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72
）．
∴GC ＝72-(-1) ＝ 9
2
．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．
∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DG
EM ，即9
23＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3． 由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．
设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．
（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．
要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小． 设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．
∵y ＝1
2
(x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．
当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得1
2(x －3)2-1＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．
又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)． 此时Q 点坐标为（3，1）或(195，13
5
)．
6．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式；
（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题：
（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ．
（ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）因为抛物线的对称轴是y 轴，所以b ＝0，再代入点（0，﹣1），（2，0）即可求出抛物线的解析式； （2）由（1）设出P 的坐标，分别表示出PE ，PQ 的长度，即可得出结论；
（3）（i ）因为BN ∥AM ，所以∠ABN ＋∠BAM ＝180°．由（2）的结论可得BO ＝BN ，AO ＝AM ，可得出∠BON ＝∠BNO ，∠AOM ＝∠AMO ，易得∠BON ＋∠AOM ＝90°再得到∠MON ＝90°即可；
（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论． 【解题过程】
解：（1）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1
4b ＝0c ＝－1
，∴抛物线的解析式为：y ＝1
4
x 2－1；
（2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝1
4
a 2＋1．
在Rt △POE 中，由勾股定理，得PO ＝
a 2＋(14a 2－1)2＝1
4
a 2＋1，∴PO ＝PQ ；
（3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，
∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，
∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；
（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，
l
∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，
∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′， ∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点． ∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．
【举一反三】
1．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．
（1）求抛物线
y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；
（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．
2．（13成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣1
2x
2＋bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角
三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究
PQ
NP＋BQ
是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存
在，请说明理由．
3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；
（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△P AC的周长有最小值，并求出△P AC的周长的最小值．
【参考答案】
1．解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得
⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－44a ＋2b ＋c ＝0c ＝0
，解得a ＝﹣12，b ＝1，c ＝0，∴解析式为y ＝﹣1
2x 2＋x ． （2）由y ＝﹣12x 2＋x ＝﹣12（x ﹣1）2＋1
2
，
可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ， ∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ，连接AB 交直线x ＝1于M 点，则此时OM ＋AM 最小， 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt △ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42， ∴OM ＋AM 最小值为42．
2．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，－1），C 的坐标为（4，3），
∴点B 的坐标为（4，－1）．∵抛物线过A （0，－1），B （4，－1）两点，
∴ ⎩⎨⎧c ＝－1
－12
×16＋4b ＋c ＝－1，解得：b ＝2，c ＝－1，
∴抛物线的函数表达式为：y ＝－1
2
x 2＋2x －1．
（2）（i ）∵A （0，－1），C （4，3），∴直线AC 的解析式为：y ＝x －1．
设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（2，1），且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为（m ，m －1）， 则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝－1
2
（x －m ）2＋m －1．
解方程组：⎩
⎨⎧y ＝x －1y ＝－12(x －m )2
＋(m －1)，解得⎩⎨⎧x 1＝m y 1＝m －1， ⎩⎨⎧x 2＝m －2
y 2＝m －3， ∴P （m ，m －1），Q （m －2，m －3）． 过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则
PE ＝m －（m －2）＝2，QF ＝（m －1）－（m －3）＝2．∴PQ ＝22＝AP 0． 若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）． 由A （0，－1），B （4，－1），P 0（2，1）可知， △ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝22．
如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝－1
2
x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．
∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x ＋b 1，∵B （4，－1），∴－1＝4＋b 1，解得b ＝＝－5，
∴直线l 1的解析式为：y ＝x －5．解方程组 ⎩⎨⎧y ＝x －5y ＝－12x 2＋2x －1
，得：⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝－1，⎩⎨⎧x 2＝－2
y 2＝－7，
∴M 1（4，－1），M 2（－2，－7）．
②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为 2 ． 如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，－1）． 由A （0，－1），F （2，－1），P 0（2，1）可知：
△AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为 2 ．
过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝－1
2x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．
∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x ＋b 2，
∵F （2，－1），∴－1＝2＋b 2，解得b 2＝－3，∴直线l 2的解析式为：y ＝x －3．
解方程组⎩⎨⎧y ＝x －3y ＝－12x 2＋2x －1
，得：⎩⎨
⎧x 1＝1＋5
y 1＝－2＋5，⎩⎨⎧x 1＝1－5
y 1＝－2－5
， ∴M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．
综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：
M 1（4，－1），M 2（－2，－7），M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）． （ii ）
PQ
NP ＋BQ
存在最大值．理由如下：
由i ）知PQ ＝22为定值，则当NP ＋BQ 取最小值时，
PQ
NP ＋BQ
有最大值．
如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ ＝B ′Q ．
连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN ＝PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP ＝FQ ． ∴NP ＋BQ ＝FQ ＋B ′Q ≥FB ′＝22＋42 ＝25．
∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP ＋BQ 最小，最小值为25．∴
PQ NP ＋BQ 的最大值为2225
＝10
5．
F
3．解：（1）设抛物线的解析式：y ＝ax 2，∵拋物线经过点B （﹣4，4），∴4＝a •42，解得a ＝1
4
，
所以抛物线的解析式为：y ＝1
4
x 2；
过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，如图，
∵点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ，∴Rt △BAE ≌Rt △ACD ，
∴AD ＝BE ＝4，CD ＝AE ＝OE ﹣OA ＝4﹣1＝3，∴OD ＝AD ＋OA ＝5，∴C 点坐标为（3，5）； （2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，如图，
∵点P 在抛物线y ＝14x 2上，∴b ＝14a 2，∴d 1＝1
4
a 2，
∵AF ＝OF ﹣OA ＝PH ﹣OA ＝d 1﹣1＝1
4
a 2﹣1，PF ＝a ，
在Rt △P AF 中，P A ＝d 2＝AF 2＋PF 2＝(14a 2－1)2＋a 2＝1
4
a 2＋1，∴d 2＝d 1＋1；
（3）由（1）得AC ＝5，∴△P AC 的周长＝PC ＋P A ＋5＝PC ＋PH ＋6，
要使PC ＋PH 最小，则C 、P 、H 三点共线，
∴此时P 点的横坐标为3，把x ＝3代入y ＝14x 2，得到y ＝9
4
，
即P 点坐标为（3，9
4
），此时PC ＋PH ＝5，∴△P AC 的周长的最小值＝5＋6＝11．。