2020版高考数学人教版理科一轮复习课时作业：18 定积分与微积分基本定理 Word版含解析

课时作业18 定积分与微积分基本定理
一、选择题
1．定积分⎠⎛0
1(3x ＋e x )d x 的值为( D )
A ．e ＋1
B ．e
C ．e －1
2
D ．e ＋1
2
解析：⎠⎛0
1
(3x ＋e x
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋e x |1
＝32＋e －1＝e ＋12.
2．若f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3＋sin x ，－1≤x ≤1，
3，1<x ≤2，则⎠⎛2－1f (x )d x ＝( D )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：⎠⎛-12f (x )d x ＝⎠⎛-11 (x 3＋sin x )d x ＋⎠⎛1
23d x ＝0＋3x|2
1＝6－3＝3.
3．已知a ＝2
－
1
3
，b ＝(2log 23
) －12 ，c ＝14⎠
⎛0
πsin x d x ，则实数
a ，
b ，
c 的大小关系是( C )
A ．a >c >b
B ．b >a >c
C ．a >b >c
D ．c >b >a
解析：依题意得，a ＝2
－1
3
，b ＝3－12 ，c ＝－14cos x|π0＝12
，所以a
6
＝2－2
＝14，b 6＝3－3＝127，c 6
＝(12)6＝164，则a >b >c .选C.
4．若⎠⎛0
1(x 2＋mx )d x ＝0，则实数m 的值为( B )
A ．－13
B ．－23
C ．－1
D ．－2
解析：由题意知0(x 2＋mx )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3
3＋mx 2
2|10＝13＋m
2＝0，解得m ＝
－2
3.
5．由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( C )
A.10
3 B ．4
C.16
3 D ．6
解析：作出曲线y ＝x 和直线y ＝x －2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x ，y ＝x －2
得交点A (4,2)． 因此y ＝x 与y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为⎠⎛0
4 [x －(x
－2)]d x ＝⎠⎛0
4 (x －x ＋2)d x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫23x 32 －12x 2＋2x |40 ＝23×8－12×16＋2×4＝163.
6．抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积是( C )
A.3
4 B ．1 C.43 D.54
解析：令－x 2＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝2，所以抛物线y ＝－x 2＋2x 与x 轴围成的封闭图形的面积S ＝⎠
⎛0
2 (－x 2
＋2x )d x ＝(－13x 3＋x 2)|2
0＝
－83＋4＝4
3.故选C.
7．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛0
1f (x )d x ，则⎠⎛0
1f (x )d x ＝( B )
A ．－1
B ．－13 C.13
D ．1
解析：设m ＝⎠⎛0
1f (x )d x ，则f (x )＝x 2＋2m ， ⎠⎛01
f (x )d x ＝⎠⎛0
1
(x 2
＋2m )d x ＝(13x 3＋2mx )|1
0 ＝13＋2m ＝m ，所以m ＝－1
3.故选B.
8．已知f (x )为偶函数且⎠⎛0
6f (x )d x ＝8，则⎠⎛-6
6f (x )d x 等于( D )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
解析：⎠⎛-6
6f (x )d x ＝⎠⎛-6
6f (x )d x ＋⎠⎛0
6f (x )d x ，
因为f (x )为偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称， 故⎠⎛-6
6f (x )d x ＝2⎠⎛0
6f (x )d x ＝2×8＝16.故选D.
二、填空题
9．若函数f (x )＝x ＋1x ，则⎠
⎛1
e
f (x )d x ＝12e 2＋12.
解析：⎠⎛1
e
f (x )d x ＝⎠⎛1
e ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋1x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋ln x |e 1＝12e 2＋1
2.
10．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
5，0≤x ≤2，
3x ＋4，x >2
(单位：N)的作用下沿与
力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为36J.
解析：由题意知，力F (x )所做的功为 W ＝⎠⎛0
4
F (x )d x ＝⎠⎛0
2
5d x ＋⎠⎛
2
4
(3x ＋4)d x ＝5x 2
0＋⎝
⎛⎭
⎪⎫32
x 2＋4x |42＝5×2＋⎣⎢⎡ 3
2
×42＋4×4－
⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋4×2＝36(J)． 11．(2019·安徽二模)计算：⎠⎛0
1
(2x －x 2
－x )d x ＝π－2
4.
解析：由定积分的几何意义知⎠⎛0
12x －x 2d x 是由y ＝2x －x 2与直
线x ＝0，x ＝1所围成的图形的面积，即是以(1,0)为圆心，以1为半径的圆的面积的14，
故⎠⎛
1
2x －x 2
d x ＝π4，⎠
⎛0
1
(－x )d x ＝－12x 210＝－12，
∴⎠⎛0
1
(2x －x 2
－x )d x ＝π－2
4. 12．已知直线AB ：x ＋y －6＝0(A ，B 为直线与x 轴、y 轴的交点)与抛物线y ＝x 2及x 轴正半轴围成的图形为Ω，若从Rt △AOB 区域内任取一点M (x ，y )，则点M 取自图形Ω的概率为1627.
解析：由定积分可求得阴影部分图形Ω的面积为S ＝⎠⎛0
2x 2d x ＋⎠⎛2
6(6
－x )d x ＝323.又Rt △AOB 的面积为1
2×6×6＝18，所以P ＝32
318＝1627.
13．若直线y ＝1与函数f (x )＝2sin2x 的图象相交于点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且|x 1－x 2|＝2π
3，则线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积是( A )
A.2π
3＋ 3 B.π
3＋ 3 C.2π
3＋3－2
D.π
3＋3－2
解析：如图，分别画出直线y ＝1与函数f (x )＝2sin2x 的图象，不妨令P 在Q 的左边，由|x 1－x 2|＝2π3可得满足题意的两个交点为P (5π
12，1)，Q (13π
12，1)，将线段PQ 与函数f (x )的图象所围成的图形面积的问
题转化为定积分的问题，即S ＝ (1－2sin2x )d x ＝(x ＋cos2x )
＝(13π12＋cos 13π6)－(5π12＋cos 5π6)＝2π
3＋ 3.故选A.
14．设f (x )＝⎩⎨⎧
lg x ，x >0，
x ＋⎠⎛0
a 3t 2d t ，x ≤0，
若f (f (1))≥1，则实数a 的取
值范围是( D )
A ．a ≤－1
B ．a ≥－1
C ．a ≤1
D ．a ≥1
解析：由题知，f (1)＝0，f (f (1))＝f (0)＝⎠⎛0
a 3t 2d t ＝t 3a
0＝a 3，所以
f (f (1))≥1，即a 3≥1，解得a ≥1.故选 D.
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 15．(2019·长沙模拟)设a ＝⎠⎛0
1cos x d x ，b ＝⎠⎛0
1sin x d x ，则下列关系
式成立的是( A )
A ．a >b
B ．a ＋b <1
C ．a <b
D ．a ＋b ＝1
解析：∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝⎠⎛0
1cos x d x ＝sin x|10＝sin1.∵(－
cos x )′＝sin x ，∴b ＝⎠⎛0
1sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos1.∵sin1＋cos1>1，
∴sin1>1－cos1，即a >b .故选A.
16．设M ，m 分别是f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值，则m (b －a )≤⎠⎛a
b
f (x )d x ≤M (b －a )．根据上述估值定理可知定积分⎠⎛-1
2
2
－x
2
d x
的取值范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤316，3.
解析：因为当－1≤x ≤2时，0≤x 2≤4，
所以116≤2－x
2≤1.
根据估值定理得116×[2－(－1)]≤⎠
⎛-1
22－x
2d x ≤1×[2－(－1)]，即316
≤⎠⎛-1
2
2
－x
2
d x ≤3.。