散度定理——高斯定理的新讲法

散度定理
——高斯定理的新讲法
▍凯里学院 陈 骏 朱 聪 吴玉杰
分析标量场仅需分析其梯度就可以了，而分析矢量场，
比如电磁场、力场、速度场、加速度场和位移场等，则需要分析其散度和旋度。

我们今天就详细地探讨一下与矢量场密切相关的散度定理，也就是数学上的高斯定理。

矢量场既有大小，又有方向，不同于标量场，我们一般用相应的场线来描述相应的矢量场，这样既很形象，也很直观。

下面我们就先探讨一下矢量场的场线。

一、矢量场的场线
在三维坐标系中，我们通常用一系列带箭头的曲线来描述矢量场，因为这样可以很形象地呈现出矢量场的性质，也非常直观。

由于这些曲线切线的方向可以表示矢量场的方向，而这些曲线的疏密程度则可以表示矢量场的大小，因而用这些曲线描述矢量场非常直观和形象，我们就把这一系列带箭头的曲线叫作矢量场的场线，有的教材上面也叫作力线或者矢量线。

例如负点电荷周围的电场线就是向负点电荷汇聚的一系列曲线，越靠近负点电荷越密集，表示电场越强；越远离负点电荷越稀疏，则表示电场越弱。

任意矢量A 相应的场线上一点的矢量为：332211e A e A e A A ++= （1）
对于任意矢量场的场线都必须满足下面的式子：
///332211A dx A dx A dx == （2）只需要解出（2）式就可以得到矢量场场线的方程，进而也可以得到相应矢量场场线。

例如，负点电荷周围的电场线就是以点电荷为中心汇聚的曲线，而正点电荷周围的电场线就是以点电荷为中心发散的曲线，越靠近正点电荷的电场线越密集，表示电场越强，并且方向是向外的；离正点电荷越远电场线越稀疏，则表示电场越弱。

接下来我们学习矢量场通量的概念。

二、矢量场的通量
通量在中学阶段就已经接触过，就是穿过某一面积上的场线的条数。

比如以前所学习的磁通量这一概念，就是穿过某一面积S 的磁场线的条数，条数越多则相应的磁通量越大。

这里通量就是矢量场与面元的点积的积分，由于任意两个矢量的点积是标量，所以矢量场通量是标量。

当矢量场与面元的夹角是90度时，它们的点积为零，因此通量为零；当
面元的方向同矢量场的方向的夹角是90度到180度时，它
们的点积为负值，因此通量为负值；当矢量场与面元的夹角是0度到90度时，它们的点积为正值，因此通量为正值。

在计算通量的时候，由于面积分为闭合曲面和开放的面积，闭合曲面是没有边界的，比如篮球的表面就是闭合的曲面，一只蚂蚁在上面爬的话永远也爬不到边界；而开放的面积是有边界的，一只蚂蚁在一张纸上面爬的话很快就可以爬到边界，从而离开。

对于闭合曲面的积分，就在积分号的中间加一个小圆圈表示；对于开放的面积积分，在积分号的中间没有一个小圆圈，这就表示积分的区域是开放的、有边界的。

对于某一闭合曲面而言，如果矢量场的通量为正值的话，那么该闭合曲面内就一定有正的源；假设矢量场的通量为负值的话，那么该闭合曲面内就一定有负的源；如果矢量场的通量为零的话，那么该闭合曲面内就没有多余的源。

如果单纯地运用闭合曲面来分析矢量场的性质的话，对于均匀场的确可以了解许多信息。

但是我们需要了解的矢量场并非都是均匀的，同时仅仅知道均匀场的信息还不够，所以我们需要学习下一个概念——散度。

三、散度
散度的定义就是：矢量场在体元表面的通量与体元的比值。

也就是说，单位体积内矢量场的通量就是该矢量场在这个地方的散度，如下式所示。

A A div
•∇=
（3）如果某处的矢量场场线是向外发散的，则该处的散度是大于零的；如果某处的矢量场场线是向内汇聚的，则该处的散度是小于零的；如果某处的矢量场场线没有发出也没有汇聚的话，则该处的散度是等于零的。

下面是一个计算矢量r 散度的例子：
)
'()'()'(z z z y y y x x x r ∂−∂+
∂−∂+∂−∂=•∇ （4）3111=++=•∇r
（5）而矢量r 对于带撇量的散度则有：3111'−=−−−=•∇r
（6）可见只要掌握了计算方法，任意矢量函数的散度都可以计算出来。

对于上面的计算，还带有一个信息，就是对于矢量r 或者其函数的散度与矢量r 或者其函数对带撇量的散度相应值的大小是一样的，仅仅相差一个负号，这一规律在计算的时候可以带来很大方便。

下面我们来讨论今天的重点——高斯定理。

四、高斯定理
把散度定义式的分母，也就是小体积，移到等式的另外。