【基础】广东深圳中学高中数学必修一导学案8分数指数幂

【关键字】基础
8．分数指数幂
张长印
学习目标
1．理解分数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，理解次方根式的概念．
2．熟练掌握用根式与分数指导数幂表示一个正实数的算术根．
3．能运用有理数指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化．一、夯实根底
根底梳理
1．整数指数幂的概念．
（1）正整数指数幂：．
（2）零指数幂：．
（3）负整数指数幂：．
2．整数指数幂的运算性质：
（1）；（2）；（3）．
3．如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根；如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．
4．如果，那么叫做的次方根，其中，且．
（1）当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．此时，的次方根用符号表示．
（2）当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根有符号表示．正的次方根与负的次方根可以合并成．
（3）负数没有偶次方根．0的任何次方根都是0，记作．
（4）式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．
（5）负数没有偶次方根；0的任何次方根都是，记作．
5．次方根的意义，．
6．分数指数幂
（1）正数的正分数指数幂：__________（）
（2）正数的负分数指数幂：__________（）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．
7．有理数指数幂的运算法则：
（1）__________（）
（2）__________（）
（3）__________（）
根底达标
1．将化为分数指数幂，其正确的形式是（）
A．B．C．D．
2．可化简为（）．
A．1 B．C．D．
3．下列各式中成立的是（）
A．B．C．D．
4．27的平方根和立方根分别是__________．
5．化简__________．
二、学习指引
自主探究
1．初中，我们学过平方根、立方根这一重要数学概念，请叙述平方根、立方根这两个概念内容，并指出它们的表示方法．
2．幂指数表示与我们的生活息息相关，下一列实际问题的结果果都要用到幂指数表示，请用幂指数把它们的结果表示出来，并总结这些问题的共同特点．
（1）某市人口平均每年增长率为，2000年人口数为1万，则3年后人口数为多少万？
（2）国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年（国内生产总值）年平均增长率为，则十年后为2000年的多少倍？
（3）生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡年后体内碳14的含量与死亡时碳14的关系为？
（4）某人有银行存入万元，年利率为，按复利计算，5年后，从银行连本带息全部取出，他能取出多少钱？
3．阅读课本，请叙述根式的概念．
4．请总结根式运算性质及根式化简方法．
5．阅读课本，看看分数指数幂是如何规定的？指数幂有哪些运算性质？ 案例分析
1．求下列各式的值：
（1
（2
（3 【解析】
（1
5=
-；（2
3ππ3=-=-；
（3
6
23
224==．
2．用分数指数幂的形式表示下列各式()0b >：
（1）2
b （
22
；（3
【解析】根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算比较方便．
（1）1
52
2
2
2
b b b b ⋅=； （
23123
335
5
35
b b
b b
-
=
==；
（3
111
55
3
3
44
12b b b b ⎛⎫⎛⎫
=⋅== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
．
3．求下列函数的定义域；
（1
）()0
21y x -； （2）()()335
2
123y x x =-++．
【解析】
（11313
x x
-⇔≥对一切实数x 都有意义：()0
21x -有意义当且仅当1
2102
x x -≠⇔≠
， 故所求函数定义域为：111322⎡⎫⎛⎫
+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
，，．
（2）()351x -有意义当且仅当10x x -≠⇔≠；()32
23x +有意义当且仅当3
2302
x x +>>-，
故所求函数定义域为：()3112⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
，，．
4．已知()22x x f x -=+，若()3f a =，求()2f a ． 【解析】由()3f a =得223a a -+=， ()2
229a a -∴+=，即222229a a -++=．
所以22217a a -+=， 故()222227a a f a -=+=．
5．从盛满1升纯酒精的容器中倒出13升，然后用水填满，再倒出1
3
升，又用水填满，这样进行
5次，则容器中剩下的纯酒精的升数为多少？
【解析】设第n 次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为a ，则第1n +次倒完后容器中剩下的纯酒精的升数为23a ，则从第1次开始，容器中剩下的纯酒精的升数依次为：23，2
23⎛⎫ ⎪⎝⎭，3
23⎛⎫
⎪⎝⎭，
4
23⎛⎫ ⎪⎝⎭，5
23⎛⎫ ⎪⎝⎭．这样进行5次，容器中和剩下的纯酒精的升数为5
23⎛⎫
⎪⎝⎭
． 三、能力提升 能力闯关
1．已知326x a --=+的值．
2．化简11111684
212121212-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．
3．设()8
008r
r
T a r r -=
⋅>∈≤≤N ，，． （1）将T 化简为关于a 的幂的形式．
（2）是否存在r ，使得T 是关于a 的整数指数幂？ 拓展迁移
1()00x y <<，得（ ） A ．22x y
B ．2xy
C ．24x y
D ．22x y -
2．已知实数x y ，满足方程(*10=．
（1）试找出一组满足方程()*的实数x y ，； （2）化简方程()*，使结果不含根式． 挑战极限
1．是否存在无理数a b ，，使得b a 是有理数？若存在，请举例说明；若不存在， 请说明理由．
课程小结
1
（1）当2n =时，n
（2）0的n 次方根一定为00；
（3）当n 是大于1的奇数时，对任意实数a a 的n 次方根，是一个确定的实数．
（4）当n 是大于1的偶数时，对任意非负实数a 0a >时，它表示正数a 的
正的n 次方根，是一个确定的正实数，另一个负的n 次方根为
2．若n ∈N ，2n ≥，则
n
a =（n 哦奇数时，a 可取一切实数；n 为偶数时，0a ≥）；
3．对于分数指数幂根，要注意以下几点：
（1）分数指数幂是根式的另一种表示形式． m
n
a =1m n
m n
a a
=
（*0N a m n >∈，，，且1n >），0的正分数指数幂是0，0的负分
数指数幂无意义，()010a a =≠．
（2）引入分数指数幂后，指数概念就实现了由整数到有理数的扩充，同样，运算性质也扩充了适用范围：设00a b r s Q >>∈，，，，则()s
r s r s r rs a a s a a +⋅==，，()r
r r ab a b =⋅．
（3）进行根式运算一般先化为分数指数幂再进行运算往往比较方便，分数指数幂的计算与化简，
要注意多项式乘法分式的应用．
8．分数指数幂
基础梳理
6．（，且）：（，且）．
7．（）：：
基础达标
1．．
2．．【解析】．
3．．【解析】A．；B．；C．；
D．．
4．，．【解析】因为，所以的平方根有两个：与；而，所以的立方根是．
5．．【解析】．
自主探究
1．【解析】平方根、立方根含义及符号表示如下：
（1）如果，那么叫做的平方根．
正数的平方根有两个，且互为相反数，其中正平方根称为算术平方根，记作，负平方根记作，的平方根记为．
（2）如果，那么叫做的立方根．若，则；若，则；若，则．实数的立方根是唯一的，记作：．
2．【解析】（1）；（2）；（3）；（4）．
这些问题的共同特点就是：问题都是和变化率有关，且这些变化率是固定常数．
3．【解析】一般地，若，那么叫做的次方根，其中．
当为奇数时，正常的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数．记为．当为偶数时，正数的次方根有两个，记为；负数没有偶次方根．
的次方根都是，记作．
4．【解析】根式有如下运算性质：
（1）；（2）；（3）．化简方法：
当是奇数时，；当是偶数时，
5．【解析】分数指数幂规定如下：
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；若是正分数，则；符号没有意义．
指数幂的运算性质规定如下：
（1）；；（2）；（3）．
从上述运算性质，我们可以看出：若，则．
能力闯关
1．【解析】由得，两边平方得，
所以，．
2．【解析】原式
．
3．【解析】（1）．
（2）当且仅当时，可化为关于的整数指数幂．
说明：确定指数为整数时，可在的允许取值范围内由小到大依次取值检验，决定取舍．拓展迁移
1．．【解析】．2．（1）如或等等；（2）．
【解析】（1）如或等等；
（2）方法一：设，
则，从而，
∴，即，两边平方化简可得：．方法二：由原式得，两边平方得
．
于是，即，
两边平方得，后略．
挑战极限
1．【解析】存在，下面证明：若为有理数，则取即可；
若为无理数，则取，即可，因为是有理数．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。