2024届江苏省苏州市五校联考数学高三第一学期期末统考模拟试题含解析

2024届江苏省苏州市五校联考数学高三第一学期期末统考模拟试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分，组织方将观众评分按照[)70,80，[)80,90，[]90,100分组，绘成频率分布直方图如下： 嘉宾 A B
C D E
F
评分
96
95
96 89 97
98
嘉宾评分的平均数为1x ，场内外的观众评分的平均数为2x ，所有嘉宾与场内外的观众评分的平均数为x ，则下列选项正确的是（ ） A ．12
2
x x x +=
B ．12
2
x x x +>
C ．12
2
x x x +<
D ．12
122
x x x x x +>>>
2．已知集合{}
2
lgsin 9A x y x x
==+-，则()cos22sin f x x x x A =+∈，的值域为（ ）
A ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．11,2⎛
⎤- ⎥⎝
⎦
D ．222⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
3．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且
1sin 2a b A ⎛
⎫-
⎪⎝
⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A 15 B ．
15
C 15
D 215
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．83π
3B ．4π1633
C 16343π
+
D ．43π
35．已知抛物线2
:4C y x =和点()2,0D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：
①直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ②//AE y 轴；
③以BE 为直径的圆与抛物线准线相切. 其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①②③
B ．①②
C ．①③
D ．②③
6．已知函数()cos(2)(0)f x A x ϕϕ=+>的图像向右平移
8
π
个单位长度后，得到的图像关于y 轴对称，(0)1f =，当ϕ取得最小值时，函数()f x 的解析式为（ ）
A ．()2)4
f x x π
=+
B ．()cos(2)4
f x x π
=+ C ．()2)4
f x x π
=
-
D ．()cos(2)4
f x x π
=-
7．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π
B ．86π
C 43π
D ．12π
8．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点()1,2P ，则cos2θ=（ ） A ．
35
B ．45
-
C ．
35
D ．
45
9．集合}{
2
20A x x x =--≤，{}
10B x x =-<，则A
B =( )
A ．}{
1x x <
B ．}{
11x x -≤<
C ．{}
2x x ≤
D ．{}
21x x -≤<
10．已知i 为虚数单位，实数,x y 满足(2)x i i y i +=-，则||x yi -= ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5
11．如图，在中，点M 是边
的中点，将
沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线
段
上一点.若二面角与二面角
的平面角相等，则直线
经过
的（ ）
A ．重心
B ．垂心
C ．内心
D ．外心
12．复数5i
12i
+的虚部是 ( ) A ．i
B ．i -
C ．1
D ．1-
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，从一个边长为12的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
14．如图，已知圆内接四边形ABCD ，其中6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，则
22sin sin A B
+=__________．
15．春节期间新型冠状病毒肺炎疫情在湖北爆发，为了打赢疫情防控阻击战，我省某医院选派2名医生，6名护士到湖北A 、B 两地参加疫情防控工作，每地一名医生，3名护士，其中甲乙两名护士不到同一地，共有__________种选派方法.
16．设1021001210(2)x a a x a x a x =+++
，则2a =_____，
（)()22
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+的值为______． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，13,PC M =在PC 上，且PA 面MBD .
（1）求证:M 是PC 的中点；
（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？若存在，求出
AF
AP
的值；若不存在，说明理由. 18．（12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//,2
AD BC ABC π
∠=
，PE ⊥面,ABCD 3,22,3AD AE AB BC AE PC =====.
（1）在线段PD 上是否存在点F ，使//CF 面PAB ，说明理由； （2）求二面角E PC D --的余弦值.
19．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且点(),n n S (
)*
n N ∈在函数1
2
2x y +=-的图像上；
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足：10b =，1n n n b b a ++=，求{}n b 的通项公式；
（3）在第（2）问的条件下，若对于任意的*n N ∈，不等式1n n b b λ+<恒成立，求实数λ的取值范围；
20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝AA 1，M ，N 分别是AC ，B 1C 1的中点．求证：
（1）MN∥平面ABB1A1；
（2）AN⊥A1B．
21．（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：
满意不满意
男40 40
女80 40
（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？
（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：
支付方式现金支付
购物卡支
付
APP支付
频率10% 30% 60%
优惠方式
按9折支
付按8折支付
其中有1/3的顾客按4折支付，1/2的顾客按6折支付，1/6的顾
客按8折支付
将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X，求X的分布列和数学期望．
附表及公式：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
．
()
2
P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22．（10分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于
滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若
1p =求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、C 【解题分析】
计算出1x 、2x ，进而可得出结论. 【题目详解】
由表格中的数据可知，1969596899798
95.176
x +++++=
≈，
由频率分布直方图可知，2750.2850.3950.588x =⨯+⨯+⨯=，则12x x >， 由于场外有数万名观众，所以，12
212
x x x x x +<<<. 故选：B. 【题目点拨】
本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题. 2、A 【解题分析】
先求出集合(]
0,3A =，化简()f x =22sin 2sin 1x x -++，令sin x t =(]0,1∈，得()2
221g t t t =-++由二次函数的性
质即可得值域. 【题目详解】 由2
sin 0
0390
x x x >⎧⇒<≤⎨
-≥⎩，得(]0,3A = ，()cos22sin f x x x =+=-22sin 2sin 1x x ++，令sin x t =， (]0,3x ∈，
(]0,1t ∴∈，所以得()2221g t t t =-++ ，()g t 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上递增，在1,12⎛⎫
⎪⎝⎭上递减，()1311,22g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，所以
()31,2g t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，即 ()f x 的值域为31,2⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
故选A 【题目点拨】
本题考查了二次不等式的解法、二次函数最值的求法，换元法要注意新变量的范围，属于中档题 3、A 【解题分析】 根据正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛
⎫
-
=+- ⎪⎝⎭
，求出cos C ，根据平方关系求出sin C .由2CD CA CB =+两端平方，求ab 的最大值，根据三角形面积公式in 1
2
s S ab C =，求出ABC 面积的最大值. 【题目详解】
ABC 中，()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛
⎫-=+- ⎪⎝
⎭，
由正弦定理可得()()12a b a c b c b ⎛⎫-
=+- ⎪⎝⎭，整理得2221
2
c a b ab =+-，
由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得()1cos ,0,,sin 4C C C π=∈=
D 是AB 的中点，且1CD =，
()(
)
2
2
2,2CD CA CB CD
CA CB ∴=+∴=+，即222
42CD CA CB CA CB =++，
即2
2
2
2
115
42cos 2222
b a ba C a b ab ab ab ab =++=++
≥+=， 8
5
ab ∴≤
，当且仅当a b =时，等号成立.
ABC ∴的面积118sin =
22545
S ab C =≤⨯⨯，
所以ABC . 故选：A . 【题目点拨】
本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题. 4、D 【解题分析】
结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可. 【题目详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆
锥的体积1
114π23V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2
1442V =⨯⨯=故该几何体的体积
12V V V =+=
+故选:D.
【题目点拨】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题. 5、B 【解题分析】
由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+，利用韦达定理判断第一个结论；将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，
18A y y =，从而，2A y y =-，进而判断第二个结论；设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M
为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，
F 三点不共线，进而判断第三个结论.
【题目详解】
解：由题意，可设直线DE 的方程为2x my =+， 代入抛物线C 的方程，有2
480y my --=． 设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 则124y y m +=，128y y =-．
所()()()2
1212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=．
则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为
12
12
2y y x x =-．所以①正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-， 根据抛物线的对称性可知，A ，E 两点关于x 轴对称， 所以直线//AE y 轴．所以②正确．
如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ， 则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，
显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||
222
d d BF EF BE d R ++=
=>=．所以③不正确．
故选：B. 【题目点拨】
本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想,属于难题． 6、A
【解题分析】
先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和()01f =得到A 和ϕ. 【题目详解】
因为()cos 2cos 284f x A x A x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=-
+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
关于y 轴对称，所以()4k k Z πϕπ-+=∈，所以4
k π
ϕπ=
+，ϕ的最小值是
4π.()0cos 14f A π==，则2A =，所以()2cos 24f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭.
【题目点拨】
本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x 的系数和平移量之间的关系. 7、A 【解题分析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可． 【题目详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为2 设球的半径为r ， 则()
2
22224r =
+6r =
所以2424S r ππ==， 故选：A ． 【题目点拨】
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题． 8、A 【解题分析】
由已知可得sin θ，根据二倍角公式即可求解.
【题目详解】
角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，
终边经过点()1,2P ，则2||5,sin 5OP θ==， 23cos 212sin 5θθ∴=-=-. 故选：A. 【题目点拨】 本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
9、C
【解题分析】
先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可．
【题目详解】
解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =<
所以{}
2A B x x ⋃=≤，故选C ．
【题目点拨】
本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．
10、D
【解题分析】 ()12,2,2
x x i i y i xi y i y =-⎧+=-∴-+=-∴⎨=-⎩ ， 则12 5.x yi i -=-+=
故选D.
11、A
【解题分析】
根据题意到两个平面的距离相等，根据等体积法得到
，得到答案.
【题目详解】
二面角
与二面角的平面角相等，故到两个平面的距离相等. 故，即，两三棱锥高相等，故，
故，故为中点. 故选：. 【题目点拨】
本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
12、C
【解题分析】 因为()()()512510*********i i i i i i i i -+===+++- ，所以5i 12i
+的虚部是1 ，故选C.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1
【解题分析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为3，由此能求出所得正三棱柱的体积．
【题目详解】
如图，作AO BC ⊥，交BC 于O ，2212663AO =-=，
由题意得正三棱柱底面边长6EF =，高为3h =，
∴所得正三棱柱的体积为：
166sin 603272
DEF V S h ∆=⋅=⨯⨯⨯︒⨯=． 故答案为：1．
【题目点拨】
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
14、103
【解题分析】
由题意可知A C π+=，B D π+=，在ABD ∆和BCD ∆中，利用余弦定理建立
方程求cos A ，同理求cos B ，求sin ,sin A B ，代入求值.
【题目详解】
由圆内接四边形的性质可得180C A ∠=︒-∠,180D B ∠=︒-∠．连接BD ，在ABD ∆中，
有2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅．在BCD ∆中，2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅．
所以22222cos 2cos AB AD AB AD A BC CD BC CD A +-⋅=++⋅,
则2222222265343cos 2()2(6534)7AB AD BC CD A AB AD BC CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯，所以sin A === 连接AC ，同理可得2222222263541cos 2()2(6354)19
AB BC AD CD B AB BC AD CD +--+--===⋅+⋅⨯+⨯,
所以sin
19B ===．所以22sin sin 3
A B +=+=．
【题目点拨】
本题考查余弦定理解三角形，同角三角函数基本关系，意在考查方程思想，计算能力，属于中档题型，本题的关键是熟悉圆内接四边形的性质，对角互补.
15、24
【解题分析】
先求出每地一名医生，3名护士的选派方法的种数，再减去甲乙两名护士到同一地的种数即可.
【题目详解】
解：每地一名医生，3名护士的选派方法的种数有132640C C =，
若甲乙两名护士到同一地的种数有11124216C C C =，
则甲乙两名护士不到同一地的种数有401624-=.
故答案为：24.
【题目点拨】
本题考查利用间接法求排列组合问题，正难则反，是基础题.
16、720 1
【解题分析】
利用二项展开式()n a b +的通式1C r n r r r n T a b -+=可求出2a ；令1021001210(2)x a a x a x a x +=+++中的1x =，
1x =-得两个式子，代入)()22
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+可得结果.
【题目详解】
利用二项式系数公式，2822210(2)720T C x x ==，故2720a =， 1010011001210(21),(21)a a a a a a a ++⋯+=+-+-⋯+=-，
故（)()22
024101359a a a a a a a a +++⋯+-+++⋯+
=()()1010011001210(21)(21)1a a a a a a a ++⋯+-+-⋯+=+-=， 故答案为：720；1.
【题目点拨】
本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、 (1) 见解析;(2)
38
AF AP =. 【解题分析】
试题分析：(1)连AC 交BD 于E 可得E 是AC 中点，再根据PA 面MBD 可得,PA ME 进而根据中位线定理可得结果；(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出面MBD 的一个法向量n ，用λ表示面FBD 的一个法向量m ，由·0n m =可得结果.
试题解析：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴是PC 的中点.
(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，
y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为
()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,222A B D C P M ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭. 设存在F 满足要求，且AF AP λ=，则由AF AP λ=得：()
1,0,3F λλ-，面MBD 的一个法向量为231,,33n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，面FBD 的一个法向量为221,,33m λλ-⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，由·0n m =，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38
AF AP =. 18、（1）存在；详见解析（2）
55 【解题分析】
（1）利用面面平行的性质定理可得，F 为PD 上靠近D 点的三等分点，ED 中点Q ，证明平面//CQF 平面PAB 即得；
（2）过E 作//EG AB 交BC 于G ，可得,,PE EG ED 两两垂直，以,,EG ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，求出,EC EP 长，写出各点坐标，用向量法求二面角．
【题目详解】
解：（1）当F 为PD 上靠近D 点的三等分点时，满足//CF 面PAB .
证明如下，取ED 中点Q ，连结,,CQ QF CF .
//,3,22,AD BC AD AE BC AE AQ BC ===∴=
即易得//,//AB CQ QF AP 所以面//CQF 面PAB ，即//CF 面PAB ．
（2）过E 作//EG AB 交BC 于G
PE ⊥面ABCD ，2ABC π
∠=
,,PE EG ED ∴两两垂直，以,,EG ED EP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图， 22225,2EC EG GC PE PC EC =+==+=
()()()()0,0,0,0,0,2,2,1,0,2,1,0E P C D -
()()()0,0,2,2,1,2,2,1,0EP PC CD ==-=-
设面EPC 法向量()1,,n x y z =，则11
20220n EP z n PC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，即02z y x =⎧⎨=-⎩ 取()11,1,2,0x n =∴=-
同理可得面PCD 的法向量()21,2,2n =
1235cos ,535
n n -∴<>==- 综上可知锐二面角E PC D --的余弦值为
55．
【题目点拨】
本题考查立体几何中的存探索性命题，考查用空间向量法求二面角．线面平行问题可通过面面平行解决，一定要掌握：立体几何中线线平行、线面平行、面面平行是相互转化、相互依存的．求空间角一般是建立空间直角坐标系，用空间向量法求空间角．
19、（1）()*
2n n a n =∈N （2）当n 为偶数时，2233n n b =+；当n 为奇数时，2233n n b =-.（3）(1,)+∞ 【解题分析】
（1）根据1n n n a S S -=-,讨论1n =与2n ≥两种情况,即可求得数列{}n a 的通项公式;
（2）由（1）利用递推公式及累加法,即可求得当n 为奇数或偶数时{}n b 的通项公式.也可利用数学归纳法,先猜想出通项公式,再用数学归纳法证明.
（3）分类讨论,当n 为奇数或偶数时,分别求得
1
n n b b +的最大值,即可求得λ的取值范围. 【题目详解】
（1）由题意可知,122n n S +=-. 当2n ≥时,1n n n a S S -=-()12222n n +=---2n =,
当1n =时,111122a S +==-2=也满足上式.
所以()*
2n n a n =∈N . （2）解法一：由（1）可知12n n n b b ++=()*n ∈N ,
即12k k k b b ++=()
*k ∈N .
当1k =时,1212b b +=,①
当2k =时,2322b b +=,所以2322b b --=-,②
当3k =时,3432b b +=,③
当4k =时,4542b b +=,所以4542b b --=-,④ ……
当1k n =-时,n 为偶数112n n n b b --+=
当k n =时,n 为偶数所以112n n n b b ----=-
以上1n -个式子相加,得
2341122222n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅+121(2)1(2)n -⎡⎤--⎣⎦
=--2233
n =+. 又10b =,所以当n 为偶数时,2233
n n b =+. 同理,当n 为奇数时,
2341122222n n b b -+=-+-+⋅⋅⋅-121(2)1(2)n -⎡⎤--⎣⎦
=--223
n -=, 所以,当n 为奇数时,2233
n n b =-. 解法二：
猜测：当n 为奇数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅+-1112
12112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭
2233n =-. 猜测：当n 为偶数时,
1222222n n n b --=-+⋅⋅⋅-+1112
12112n n --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭
2233n =+. 以下用数学归纳法证明：
1n =,命题成立；
假设当n k =时,命题成立；
当n 为奇数时,1222222k k k b --=-+⋅⋅⋅+-,
当1n k =+时,n 为偶数,由12k k k b b ++=()
*k ∈N 得 1221222222k k k k k k b b --+=-=-++⋅⋅⋅-+
故,1n k =+时,命题也成立.
综上可知, 当n 为奇数时2233
n n b =- 同理,当n 为偶数时,命题仍成立.
（3）由（2）可知()()22332233n n n n b n ⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩
为偶数为奇数. ①当n 为偶数时,1122332233
n n n n b b +++=-12222n n ++=-113222n +=++,
所以1n n b b +随n 的增大而减小从而当n 为偶数时,1n n b b +的最大值是23
1b b =. ②当n 为奇数时,1122332233
n n n n b b ++-=+12222n n +-=+113222n +=-+, 所以1n n b b +随n 的增大而增大,且1113112222
n n n b b ++=-<<+. 综上,1
n n b b +的最大值是1. 因此,若对于任意的*n ∈N ,不等式1n n b b λ+<恒成立,只需1λ>,
故实数λ的取值范围是(1,)+∞.
【题目点拨】
本题考查了累加法求数列通项公式的应用,分类讨论奇偶项的通项公式及求和方法,数学归纳法证明数列的应用,数列的单调性及参数的取值范围,属于难题.
20、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解题分析】
（1）利用平行四边形的方法，证明//MN 平面11ABB A .
（2）通过证明1A B ⊥平面1AB N ，由此证得1A B AN ⊥.
【题目详解】
（1）设E 是AB 中点，连接1,ME B E ，由于M 是AC 中点，所以//ME BC 且12
MN BC =，而1//B N BC 且112
B N B
C =，所以ME 与1B N 平行且相等，所以四边形1MEB N 是平行四边形，所以1//MN B E ，由于MN ⊂平面11ABB A ，1B E ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A .
（2）连接1AB ，由于直三棱柱中1BC BB ⊥，而BC AB ⊥，1BB AB B ⋂=，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1BC A B ⊥，
由于11//BC B C ,所以111B C A B ⊥.由于四边形11ABB A 是矩形且1AB AA =，所以四边形11ABB A 是正方形，所以11A B AB ⊥,由于1111AB B C B ⋂=,所以1A B ⊥平面1AB N ，所以1A B AN ⊥.
【题目点拨】
本小题主要考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21、（1）有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关； （2）67元，见解析.
【解题分析】
（1）根据表格数据代入公式，结合临界值即得解；
（2）X 的可能取值为40，60，80，1，根据题意依次计算概率，列出分布列，求数学期望即可.
【题目详解】
（1）由题得
22
200(40408040)50 5.556 5.02412080801209K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以，有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关.
（2）由题意可知X 的可能取值为40，60，80，1．
11(40)60%35P X ==⨯=，13(60)60%210
P X ==⨯=， 12(80)30%60%65P X ==+⨯=，1(90)10%10
P X ===． 则X 的分布列为 X 40 60 80 1 P
15 310 25 110 所以，4060809067510510
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=（元）． 【题目点拨】 本题考查了统计和概率综合，考查了列联表，随机变量的分布列和数学期望等知识点，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.
22、（1）110（2）（i ）()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4. 【解题分析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,利用古典概型、排列组合求解即可； （2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11k p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值
【题目详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A ,
则()232355A A 1A 10
P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为
110
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +, ()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦, 若()()12E E ξξ=,则()11k k k k p =+--,则()11k p k
-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥） （ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k <-, 311p =
-,1k k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3
f x x x =-（0x >）,
则()113
f x x '=-,令()0f x '=,则13x =, ∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减,
又ln 4 1.3863≈,4 1.33333
≈, 4ln 43
∴>, 又ln5 1.6094≈,
5 1.66673≈, 5ln 53
∴<, ∴k 的最大值为4
【题目点拨】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性。