泗洪中学高三年级数学练习222介绍

数学练习29
1．若函数()f x =A ，函数()lg(1)g x x =-，[2,11]x ∈的值域为B ，
则A B 为 ．
2．已知命题:0p x ∃≥，23x =，则p ⌝为 ．
3． 已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项的和，254a a +=，721S =，则7a 的值为 ．
4．已知)()('x f x f 是的导函数，在区间[)0,+∞上'()0f x >，
且偶函数)(x f 满足)31()12(f x f <-，则x 的取值范围是 ．
5. 把函数()(0,1)x f x a a a =>≠的图象1C 向左平移一个单位，再把所得图象上每一个点
的纵坐标扩大为原来的2倍，而横坐标不变，得到图象2C ，此时图象1C 恰与2C 重合，
则a 为 ．
6．已知方程()f x =22x ax b ++的两个根分别在（0，1），（1，2）内，
则22(4)a b +-的取值范围为 ．
7．将函数sin()y x θ=-的图象F 向右平移
3π个单位长度得到图象F '， 若F '的一条对称轴是直线4π=
x ，则θ的值是 ． 8．已知⎪⎭
⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,53sin ，则cos sin 44ππαα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为________． 9．在ABC ∆中，90A ∠=，且1AB BC ⋅=-,则边AB 的长为 ．
10．函数)3
2sin(lg π
+=x y 的单调递减区间为 ． 11．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a b c +=-，4AC AB ⋅=-且，则ABC
∆的面积等于 ． 12．如果关于x 的方程213ax x
+
=有且仅有一个正实数解，则实数a 的取值范围是 ． 13．如果对任意一个三角形，只要它的三边长,,a b c 都在函数()f x 的定义域内，就有 (),(),()f a f b f c 也是某个三角形的三边长，则称()f x 为“Л型函数”. 则下列函数：
①()f x = ②()sin g x x =，(0,)x π∈； ③()ln h x x =[2,)x ∈+∞，
其中是“Л型函数”的序号为 ．
14．对于数列{}n a ,定义数列}{m b 如下：对于正整数m ，m b 是使得不等式n a m ≥成立的所有n 中的最小值．（Ⅰ）设{}n a 是单调递增数列,若34a =，则4b =____________ ；
（Ⅱ）若数列{}n a 的通项公式为*
21,n a n n N =-∈，则数列{}m b 的通项是________．
15已知数列{}n a 满足：123,(1,2,3,)n n a a a a n a n +++
+=-=
（I ）求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（Ⅲ）令(2)(1)n n b n a =--（1,2,3...n =），如果对任意*n N ∈，都有214
n b t t +≤，
求实数t 的取值范围.
16 已知函数2
()ln 1x f x a x x a a =+->，
（1）求证函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
（2）函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；
（3）对1|)()(|],1,1[,2121-≤--∈∀e x f x f x x 恒成立，求a 的取值范围．
数学练习30
[题目1] 已知向量a ＝(sin θ，2)，b ＝(cos θ，1)，则a ∥b ，其中θ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，π2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ＋π4的值； (2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求φ的值．
[题目2] 如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园，种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．(1)若围墙 AP ，AQ 总长为200米，如何围可使三角形地块APQ 的面积最大？
(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
[题目3] 已知椭圆C ：x 24＋y 22＝1的上顶点为A ，直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆于P ，Q 两点，设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2.
(1)若m ＝0时，求k 1·k 2的值；
(2)若k 1·k 2＝－1时，证明：直线l ：y ＝kx ＋m 过定点．
[题目4] 在数列{a n }，{b n }中，已知a 1＝0，a 2＝1，b 1＝1，b 2＝12，数列{a n }的前n 项和为
S n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且满足S n ＋S n ＋1＝n 2，2T n ＋2＝3T n ＋1－T n ，其中n 为正整数．
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)问是否存在正整数m ，n ，使T n ＋1－m T n －m ＞1＋b m ＋2成立？若存在，求出所有符合条件的有序实数对(m ，n )；若不存在，请说明理由．
数学练习31
[题目6] 设函数f (x )＝x 2ln x －ax 2＋b 在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y ＝－x ＋b .
(1)求实数a 及x 0的值；
(2)求证：对任意实数b ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，e 2，函数f (x )有且仅有两个零点．
[题目7] 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，
b ，
c ，若a ＋c ＝2b .
(1)求证：B ≤π2；
(2)当AB →·BC →＝－2，b ＝23时，求△ABC 的面积．
[题目9] 椭圆M：x2
a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
2，且经过点P⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1，
2
2.过
坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．
[题目10] 如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2 km，AD为4 km.地块的一角是湿地(图中阴影部分)，其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上(隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计)．设点P到边AD的距离为t(单位：km)，△BEF的面积为S(单位：km2)．
(1)求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；
(2)是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3 km2？并说明理由．
数学练习32
[题目11] 已知函数f(x)＝k e x－x2(其中k∈R，e是自然对数的底数)．
(1)若k＜0，试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；
(2)若k＝2，当x∈(0，＋∞)时，试比较f(x)与2的大小；
[题目12] 已知数列{a n}为等差数列，S n为其前n项和，a5和a7的等差中项为
11，且a2·a5＝a1·a14，令b n＝1
a n·a n＋1
，数列{b n}的前n项和为T n.
(1)求a n及T n；
(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
[题目13] 已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(2，－1)．
(1)若a ⊥b ，求sin θ－cos θsin θ＋cos θ
的值；(2)若|a －b |＝2，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．
[题目15] 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本
y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
数学练习33
[题目16] 已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.
(1)求曲线M的方程；
(2)设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．
[题目17] 已知数列{a n}的前n项和S n＝a n＋n2－1，数列{b n}满足3n b n＋1＝(n ＋1)a n＋1－na n，且b1＝3.
(1)求a n，b n；
(2)设T n为数列{b n}的前n项和，求T n，并求满足T n＜7时n的最大值．
[题目18] 已知m ∈R ，f (x )＝2x 3＋3x 2＋6(m －m 2)x .
(1)当m ＝1时，求f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若m ∈[12，2]且关于x 的不等式(m －1)2(1－4m )≤f (x )≤20在区间[k ，0]上恒
成立，求k 的最小值k (m )．
[题目19] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan B tan A ＋1＝2c a .(1)求B ；(2)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝13，求sin A 的值．
数学练习34
[题目21] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0，2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP
→＝2PB →. (1)求椭圆C 的方程；(2)求m 的取值范围．
[题目22] 如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF ︵
的中点，其所在圆O 的半径为4 dm(圆心O 在弓形EMF 内)，∠EOF ＝2π
3.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)，AD ∥EF ，且点A ，D 在EF ︵
上，设∠AOD ＝2θ.(1)求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； (2)当裁出的矩形铁片ABCD 面积最大时，求cos θ的值．
[题目23] 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝
b n ＋2
a n ＋2(n ∈N *
)，求证：c n ＋1＜c n ≤1
3.
[题目24] 已知函数f (x )＝x
ln x －ax .
(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的最小值；
(2)若∃x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a (a ＞0成立)，求实数a 的取值范围．
泗洪中学高三年级数学练习（21）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．． 已知复数z 满足z i
=1+i(i 是虚数单位)，则z = ．
2．若集合(,A m =-∞），{}
22B x x =-<<，且B A ⊆，则实数m 的取值范围是 .
3. 已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差=2
s
4．执行如图所示的算法流程图，则输出的结果是 ．
5． 已知4本不同的教科书中有2本是数学书，从这4本书中随机取
2本，则所取的两本书中至少有一本是数学书的概率是 ． 6． 一个正四棱锥的底面边长和高都为2，则该正四棱锥的侧面积为 ． 7.若θ∈(0，π4)，且sin2θ=14，则sin(θ－π
4)的值为 ． 8．在等比数列}{n a 中，若),1(4,14531-==a a a a 则=7a
9．设集合A ={(x ，y )|x 2+y 2+2x －1=0}，B ={(x ，y )|(x +t )2≥y 2}．若A ⊆B ，则实数t 的取值范围为 ．
第4题图
212
()-1,1(),125
1()3
ax b f x f x f +==+=
10.已知函数是定义在（）上的奇函数，且则
11.若一元二次不等式(3)(2)0ax x a ++->的解集为3
{|2},x x a a
-
<<-+ a 则的取值范围是 12．如图， 箭头形图标上半部分ABC 是等腰直角三角形，下半部分DEFG 是正方形，已知90BAC ∠=︒，DE =2BD =2EC =2，GE 的连线交AC 于点H ，则AF GH ⋅= ．
13．若x y z 、、均为正实数，且2
2
2
1x y z ++=，则2
(1)2z xyz
+的最小值为
14．若函数||ln y x a x =-在 [2，3] 上是减函数，则实数a 的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答． 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
已知函数()tan 34f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．
（1）求9f π⎛⎫
⎪⎝⎭
的值；
（2）设32παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，若234f απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求cos 4πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值．
(第12题图)
16．（本小题满分14分）
17．(本小题满分14分)
如图，某城市有一个五边形的地下污水管网主通道ABCDE ，四边形BCDE 是矩形，其中CD =8km ，BC =3km ；△ABE 是以BE 为底边的等腰三角形，AB =5km ．现欲在B ，E 的中间点P 处建地下污水处理中心，为此要过点P 建一个“直线型”的地下水通道MN 接通主管道，其中接口处M 点在矩形BCDE 的边BC 或CD 上．
（1）若点M 在边BC 上，设∠BPM =θ，用θ表示BM 和NE 的长；
（2）点M 设置在哪些地方，能使点M ，N 平分主通道ABCDE 的周长？请说明理由．
A
N
E
D
C
M B P
Q
(第17题)
（第16题图）
（第18题）
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为2
2，点A (13，23
)在椭圆E
上，射线AO 与椭圆E 的另一交点为B ，点P (－4t ，t )在椭圆E 内部，射线AP ，BP 与椭圆E 的另一交
点分别为C ，D ．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）求证：直线CD 的斜率为定值．
19．(本小题满分16分)
已知函数f (x )=(x +1)e x (x ∈R)． （1）求函数f (x )的极小值；
（2）已知函数y =g (x )的图象与y =f (x )的图象关于直线x =－2对称，证明：当x ＜－2时，f (x )＜g (x )； （3）若函数y =f (x )的图象与直线y =m 交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0， 证明：f ′(x 0)＜0．
20．(本小题满分16分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n +S n =pn 2+qn +r ，其中p ，q ，r 是常数，n N *∈．
（1）若数列{a n }是等差数列且p =5，q =13，r =－2，求数列{a n }的通项公式； （2）①求证：数列{a n }为等差数列的充要条件是3p －q +r =0；
②若r =0，且{a n }是首项为1的等差数列，设T i =
1+1a i 2+ 1a i +12
，Q n =∑n
i =1
(T i －1)． 试问：是否存在非零函数f (x )，使得f (n )Q 1Q 2…Q n =1，对一切正整数n 都成立，若存在，求出f (x )的解析式；否则，请说明理由．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 若点A (2,1)在矩阵M =⎣⎡⎦⎤
1 a b －1对应变换的作用下得到点B (4,5)，求矩阵M 的逆矩阵．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）
在极坐标系中，设圆C 经过点P (3，π6)，圆心是直线ρsin(π3－θ)= 3
2
与极轴的交点，求圆C 的
极坐标方程．
22．如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，BA ⊥ACC ，AB ＝AC ＝A 1B ＝2，A 1B ⊥平面ABC ．
（1）求异面直线AA 1与BC 所成角的大小；
（2）若P 是棱B 1C 1上一点，且AP ＝14，求二面角P －AB －A 1的余
弦值．
23．设有限集合A n ={a 1，a 2，…，a n } (n ≥3)同时满足下列两个条件：
①对于任意的i ，j (1≤i ＜j ≤n )，1≤a i ＜a j ；
②对于任意的i ，j ，k (1≤i ＜j ＜k ≤n )，a i a j ，a j a k ，a i a k 三个数中至少有一个数是集合A n 中的元素． （1）若n =3，且a 1=2，a 3=6，求a 2的值；
B
（2）求n 的最大值，并证明你的结论．
参考答案及评分标准
1．－1+i ； 2．m ≥2； 3．0.8； 4．9； 5．5
6； 6．； 7．
8．4； 9．t ≥3或t ≤－1； 10.
310；11．a<-1 12．15
2
- 13．3+ 14．[3, 22ln2+]
15．【解】（1）2- （2）． 16．证明（1）∵在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， BB 1⊥底面ABC ,AB ⊂底面ABC ,∴AB ⊥BB 1，
∵∠ABC =90︒，∴AB ⊥BC , BC
BB
1=B ,
∴AB ⊥平面BCC 1B 1，∵DB 1⊂平面BCC 1B 1，∴AB ⊥DB 1， ∵在平面BCC 1B 1中，BC =BB 1， 所以四边形BCC 1B 1为正方形， ∵D ,E 分别为BC ,CC 1的中点，
∴BCE △∽1B BD ∆,∴∠CBE =∠BB 1D , ∴∠CBE +∠B 1DB =90°，即B 1D ⊥BE , ∵BA
BE =B ,∴B 1D ⊥平面ABE ,
又DB 1⊂平面AB 1D ,∴平面ABE ⊥平面AB 1D ．
P
C 1
B 1
（2）连接PC 交DE 于点F ，连接A 1C 交AE 于点G ，连接FG ， ∵A 1P ∥平面ADE ，平面A 1PC 平面ADE=FG , ∴A 1P ∥FG ,
∴
111
2
CF CG CE FP GA AA ===, ∴在正方形BCC 1B 1中利用平几知识可得11
=2
B P PD ． 17．解：（1）当点M 在边B
C 上，
设∠BPM =θ(0≤tan θ≤3
4)，在Rt △BPM 中，BM =BP tan θ=4tan θ． ……
2分
在△PEN 中，不妨设∠PEN =α，其中sin α=35，cos α=4
5；
则
PE sin(π―θ―α)=NE
sin θ
，
即NE =
4sin θsin(θ+α) = 20sin θ4sin θ+3cos θ = 20tan θ
4tan θ+3
； …………… 6分
（2）若点M 在边BC 上，
由BM +AB +AN =MC +CD +DE +EN ，得BM －EN =2； 即2tan θ－10tan θ4tan θ+3=1；
所以8tan 2θ－8tan θ－3=0，
解得tan θ=2－104＜0或tan θ=2+104＞3
4
，
与0≤tan θ≤3
4
矛盾，所以均不符合题意； …………… 9分
当点M 在边CD 上时，令CD 中点为Q ，由对称性，不妨设点M 在线段CQ 上； 设∠QPM =θ(0≤tan θ≤3
4)，在Rt △QPM 中，QM =QP tan θ=3tan θ．
在△P AN 中，设∠P AE =β，其中sin β=45，cos β=35；P A sin(π―θ―β)=AN
sin θ，
由
P A sin(π―θ―β) = AN sin θ，得AN =3sin θsin(π―θ―β)=15sin θ3sin θ+4cos θ=15tan θ
3tan θ+4
；
由MC +CB +BA +AN =MQ +QD +DE +EN ，得AN =MQ ；即3tan θ=15tan θ3tan θ+4；
所以 3tan 2θ+4tan θ=5tan θ，即3tan 2θ－tan θ=0，
所以tan θ=0或tan θ=1
3，符合题意． ……………………………………… 12分
当tan θ=0，CM =4，M 位于CD 中点Q 处；
A
N
E
D
C
M
B P
Q
(第17题)
A
N
E
D
C
B
P
Q
(第17题)
当tan θ=1
3，CM =4－1=3，M 在到C 距离为3km 处；由对称，M 在到C 距离为5km 处也可；
答：当M 位于CD 中点Q 处，或M 在到C 的距离为3km 或5km 处时，M ，N 平分总通道ABCDE 的周长． ……………………………………… 14分
18．解：（1）A 点坐标代入得19a 2 +4
9b
2=1，且
1－b 2a 2 = 22
， 解得a 2
=1，b 2
=1
2
，
所以椭圆E 的方程为：x 2+2y 2=1； ………………………………… 6分
（2）设00()P x y ，，11( )A x y ，，22( )B x y ，
，33( )C x y ，，44( )D x y ，， 则0040x y +=，221121x y +=，222221x y +=， ……………………… 8分 又设1AP PC λ=，2BP PD λ=，其中12λλ∈R ，， 则1013110131
(1) (1) x x x y y y λλλλ+-⎧
=⎪⎪
⎨+-⎪=⎪⎩，，代入椭圆2221x y +=并整理得，
22222210011101011(1)(2)(2)2(1)(2)x y x y x x y y λλλ++++-++=，
从而有 2210001011(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-， ① ……………………… 12分 同理可得，2220002021(1)(2)2(2)1x y x x y y λλ++-+=-，②
①－②得，221200()(21)0x y λλ-+-=， ……………………… 14分
因为220021x y +<,所以12λλ=，
从而//AB CD ，故2CD AB k k ==． ……………………… 16分 19．【解】（1）()e (1)e (2)e x x x f x x x '=++=+，令()0f x '=，则2-=x ， ………………1分
当x 变化时，()f x '，)(x f 的变化情况如下表：
所以函数)(x f 在2-=x 处取得极小值2(2)e f --=-． ……………………3分 （2）因为函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =的图象关于2-=x 直线对称，
所以4()(4)(3)e x g x f x x --=--=--． ……………………4分 当2-<x 时，
记4()()()(1)e (3)e x x F x f x g x x x --=-=+++，
4()(2)(e e )x x F x x --'=+-， ……………………5分
令441()e e e e x x x x
h x --+=-=-，可知)(x h 在)2,(--∞上是单调增的， 所以0)2()(=-<h x h 又02<+x ，所以4()(2)(e e )0x x F x x --'=+->，
于是函数)(x F 在区间(]2,-∞-上是增函数． ……………………8分 因为22(2)e (e )0F ---=---=，所以，当2-<x 时，0)2()(=-<F x F ．
因此)()(x g x f < ……………………9分 （3）方法一：设1(,)A x m ，2(,)B x m ，由（1）不妨设212x x <-<， 由（2）得)()(11x g x f <，又11()()f x g x -
-=４， 所以)4()(11x f x f --<，即)4()(12x f x f --<， 又因为21-<x ，所以241->--x ，而22->x ，
且)(x f 在),2(+∞-单调递增，所以124x x --<， ……………………14分 所以
22
2
1-<+x x ，即02x <-， 所以0()0f x '< ……………………16分 方法二：不妨设1(,)A x m ，2(,)B x m ， 且12x x ≠， 要证0()0f x '<，只要证02x <-，即证
22
1-<+x x ，即证124x x --<， (*) ① 若12(2)(2)0x x ++= ，由（1）及12()()f x f x m ==，
得12x x =与12x x ≠矛盾； ②若12(2)(2)0x x ++>，由（1）及12()()f x f x m == ，
得 12x x =与12x x ≠矛盾； ……………………12分 由①②可知12(2)(2)0x x ++<．不妨设212x x <-<．
由（2）得)()(11x g x f <，又)()4(11x g x f =--， 所以)4()(11x f x f --<，即)4()(12x f x f --<， 又因为21-<x ，而22->x ，
且f (x )在),2(+∞-单调递增，所以124x x --<,所以(*)式成立． …………………16分 20．【解】（1）方法一：由题意，25132n n a S n n +=+-， 设数列{a n }的公差为d ，则有211(1)
(1)51322
n n a n d na d n n -+-++
=+-， 即
2211()()513222
d d
n a n a d n n +++-=+-， ……………………………3分 因为上式对任意正整数n 均成立，所以⎩
⎪⎨⎪⎧d
2
=5，a 1－d =－2，a 1+ d
2
=13，
解得18a =，10d =，
所以102()n a n n N *=-∈． ……………………………5分 方法二：由题意，25132n n a S n n +=+-（*）， 令1n =得，18a =，
令2n =得，2244a S +=，所以218a =． ……………………………2分 因为数列{a n }是等差数列，所以102()n a n n N *=-∈． ……………………………4分 所以21()
532
n n n a a S n n +=
=+， 代入（*）式检验，符合题意，
所以102()n a n n N *=-∈． ……………………………5分 （2）①充分性：
方法一：已知3q p r =+，
211(1)(1)n n a S p n q n r +++=++++， ① 2n n a S pn qn r +=++， ②
①－②得，12(21)n n a a p n q +-=++， ③
又 212(23)n n a a p n q ++-=++， ④
④－③得，21232n n n a a a p ++-+=， ……………………………7分 即有2112()()2n n n n a a a a p +++---=， 令1n n n b a a +=-，则122n n b b p +-=， 所以 12(2)2n n b p b p +-=-， 令1n =，代入②得12a p r =+， 令2n =，代入②得24a p r =+， 所以1212b a a p =-=，即120b p -=，
所以20n b p -=，2n b p =为常数，即12n n a a p +-=为常数，
所以数列{a n }是以2p r +为首项，2p 为公差的等差数列． ……………………………9分 方法二：因为30p q r -+=，所以2(3)n n a S pn p r n r +=+++， 当1n =时，1142a S p r +=+，12a p r =+，
当2n n N *∈，≥时，211(1)(3)(1)n n a S p n p r n r --+=-++-+， 两式相减得，12(21)3n n a a p n p r --=-++
22pn p r =++， ……………………………7分
两边同乘以12n -得，111222(2)2n n n n n n a a pn p r ----=++， 叠加得，11212122[2(1)222(2)(222)]n n n n n n a a p n n p r ----=+-+
+⨯++++
+，
化简得，12(1)2(2)(22)n n n n a p n p r +=-++-， 所以2n a pn r =+，从而，12n n a a p +-=为常数，
所以，数列{a n }为等差数列． ……………………………9分 必要性：
因为{a n }为等差数列，设公差为d ，由2n n a S pn qn r +=++，
得2111
(1)(1)2
a n d na n n d pn qn r +-++-=++，
即2111()()()022d d p n a q n a d r -++-+--=对任意正整数n 都成立．
所以⎩
⎪⎨⎪⎧1
2d －p =0，a 1+12
d －q =0，a 1―d ―r =0，
所以30p q r -+=． ……………………………12分 ②因为{a n }是首项为1的等差数列，由①知，公差d =1，所以a n =n ． …………………13分
所以i T =(1)111111(1)(1)1
i i i i i i i i ++=
=+=+-+++，
所以1
111111111
(1)(1)(1)(1)112233411
n
i i T n n n n ==+-++-++-+
++
-=+-++∑， 因此1111
n n
Q n n =-=++． ……………………………15分 于是12
1
1
n Q Q Q n =+，即12
(1)1n n QQ Q +=，所以f (x )=x +1． …………………16分
21． A ．连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，
所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得 CE 2＝AE ·EB ，又CE
(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x = 所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC ……………………………10分 21．B ．2415⎡⎤
⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤
⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,
21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,
3.a b =⎧⎨=⎩，∴1
231M ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦，
解法一：12
det()731
M ∴=
=--， 1
1212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥
-
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
． ……………………………10分 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦，由1
M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e f e f +-⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦
∴31,30,20,2 1.
c d e f c d e f
+=⎧⎪+=⎪⎨
-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,
7
3,
71.
7c d e f ⎧
=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪
⎪=-⎩
112773177M -⎡⎤
⎢⎥
∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
． ……………………………10分 21．C ．因为圆心为直线2sin(
)sin
3
3
π
π
ρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)， 又圆C 经过点6
P π，）
， ∴
圆的半径1r =，∴圆过原点，
∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=． ……………………………10分
（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）
21．D ．由,,a b c
为正数，根据平均值不等式，得11a b +≥
，11b c +≥
，11
a c +≥
．
将此三式相加，得1112()a b c ++≥+
111a b c ++≥
．
由1abc =
1．
所以，
111a b c ++≥=……………………………10分 22． 解（1）建立如图所示的空间直角坐标系，
则C (0, 2, 0)，B (2, 0 , 0)，A 1(0,－2, 2)，B 1(4, 0 , 2)．
从而，AA 1→＝(0,－2, 2)，BC →＝B 1C 1→
＝(－2, 2, 0)． 记AA 1→与BC →
的夹角为θ，则有cos θ＝AA 1→·BC →
|AA 1→|·|BC →|
＝－48·8＝－12．
又由异面直线AA 1与BC 所成角的范围为（0，π），
可得异面直线AA 1与BC 所成的角为60º． ……………………………5分 （2）记平面P AB 和平面ABA 1的法向量分别为m 和n ，则由题设可令m ＝(x , y , z )，且有平面ABA 1的
法向量为n ＝(0,2,0)．
设B 1P →＝λB 1C 1→
＝(－2λ, 2λ, 0)，则P (4－2λ, 2λ, 2)．
于是AP ＝(4－2λ)2＋(2λ)2＋22＝14，解得λ＝12或λ＝3
2
．
又题设可知λ∈(0, 1)，则λ＝32舍去，故有λ＝1
2
．
从而，P 为棱B 1C 1的中点，则坐标为P (3, 1, 2)． ………………………6分 由平面P AB 的法向量为m ，故m ⊥AP →且m ⊥PB →
．
由m ·AP →
＝0，即(x , y , z )·(3, 1 ,2)＝0，解得3x ＋y ＋2z ＝0； ① 由m ·PB →
＝0，即(x , y , z )·(－1,－1,－2)＝0，解得－x －y －2z ＝0，② 解方程①、②可得，x ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，z ＝1，
则有m ＝(0,－2, 1) ． ………………………8分 记平面P AB 和平面ABA 1所成的角为β，
则cos β＝m ·n |m |·|n |＝(0,－2, 1)·(0, 2, 0) 5·2＝－425
＝－255．
故二面角P －AB －A 1的平面角的余弦值是25
5
． ……………………………10分
23．解：（1）由①，得2＜a 2＜6．
由②，2a 2，6a 2，12中至少有一个是集合A 3={2，a 2，6}中的元素， 因为6a 2，12＞6，故2a 2=6，所以a 2=3．
经检验，当a 2=3时，符合题意． ……………………………………3分 （2）n 的最大值为4，证明如下： ……………………………………4分 ①令A 4={1，2，3，6}，则A 4符合①、②． ……………………………………6分
②假如A n 符合①、②，其中有4个元素大于1，a l 为A n 中最大元素，a k 为A n 中第二大元素， 设为a i ，a j ，a k ，a l ，且1＜a i ＜a j ＜a k ＜a l ， 则a i a l ＞a l ，a j a l ＞a l ，a k a l ＞a l ，
故a i a l ，a j a l ，a k a l 不属于A n ，
由②，a j ，a k ，a l 三个元素里，a j a k 属于A n ，a j a k ＞a k ，a j a k =a l ． 同理：a i ，a k ，a l 三个元素里，a i a k 属于A n ，a i a k ＞a k ，a i a k =a l ．．
所以 a j a k = a i a k =a l ．所以 a j = a i ，与①矛盾．
所以可知A n 中至多只有3个元素大于1，A n 至多只有4个元素．
即n 的最大值为4． ………………………………………10分。