两因素完全随机的设计PPT教案
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这类试验结果方差分析的数据模式如 表5-29(P129)所示。
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n
xij xijl l 1
bn
x i
xijl
j1 l 1
an
x j
xijl
i1 l 1
abn
x xijl i1 j1 l 1
n
xijl
xij
l 1
n
bn
xijl
αi，βj分别为Ai、Bj的效应:
αi=μi-μ，βj=μj-μ
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，
且Σαi=0,Σβj=0; εij 为随机误差 ，相互独立 ，且服从
N (0，σ2)。
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两因素交叉分组单个观测值的试验资料，
A因素的每个水平有b次重复，B 因素的每个水 平有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因
xi
j1 l 1 bn
an
xijl
xj
i1 l 1
an
abn
xijl
x i1 j1 l 1 abn
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i i. ,
两因素有重复观测值试验的数学模型为:
xijl i j ( )ij ijl
(i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b;l 1, 2, , n)
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第22页/共86页
(1) 在这种情况下， SSe， dfe 实际上是A、 B 两因素交互作用平方和与自由度 ，所算得 的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用
引起的变异。 (2) 这时若仍按【例5-5】 所采用的方法进
行方差分析，由于误差均方值大 (包含交互作 用在内) ，有可能掩盖试验因素的显著性， 从 而增大犯Ⅱ型错误的概率。
第10页/共86页
【例5-5】 为了研究不同的田间管理方 法对草莓产量的影响， 选择了 6个不同的 地块，每个地块分成 3 个小区，随机安排 3 种田间管理方法，所得结果见 表5-22， 试作方差分析。
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第11页/共86页
这是个两因素单个观测值试验结果。A
因素有 6 个水平，即 a = 6；B 因素有3个水 平， 即b=3；共有a×b=6×3=18个观测值。
i , j , ij 分别为Ai、Bj、AiBj观测值总体
平均数；且
a
b
n
b
ab
i 0, j 0, ( )ij ( )ij
( )ij 0
i1
j 1
i1
j 1
i1 j1
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第35页/共86页
因试验资料的总变异可分解为水平组合间变 异与水平组合内变异 即 误差两部分 ，若 记A
这就是说，同时追肥、除草产生的效应不 是单独某田间管理措施所产生效应的和，而另 外多增加了30 ，这个30 是两种田间管理措施 共同作用的结果。
若将其平均分到每种田间管理头上，则各 为15，即估计的互作效应。
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第31页/共86页
两因素有重复观测值试验资料的方差分析法
设A与B两因素分别具有a与b个水平， 共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重 复，则全试验共有abn个观测值。
素(本例为田间管理方法)每一水平的重复数
恰为A因素的水平数a。
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B 因素的标准误
Sx. j
MSe a
16.1222 1.6392 6
根据dfe=10，秩次距k=2，3，查临界 q
值并与 Sx j 相乘，求得LSR，见表5-27。
第20页/共86页
在进行两因素或多因素的试验时，除了 研究每一因素对试验指标的影响外，往往 更希望研究因素之间的交互作用。
b
a (x
j 1
j
x
)2
1 a
b
x2j C
j 1
误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB
第9页/共86页
总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe= dfT - dfA – dfB
=(a-1)(b-1)
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对两因素和多因素有重复观测值试验结 果的分析，能研究因素的简单效应、主效应 和因素间的交互作用(互作)效应。
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第25页/共86页
1、简单效应 在某因素同一水平上，另一因 素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。
如在表5-28中，
在A1(不追肥)上， B2- B 1=480-470=10 在A2 (追肥)上， B2- B1=512-472=40 在B1 (不除草)上，A2-A1=472-470=2 在B2 (除草)上， A2-A1=512-480=32
例如，通过对播种期、播种密度、施氮 量、施钾量、施磷量对作物生长发育的影 响有无交互作用的研究，对最终确定有利 于作物生产的最佳栽培技术体系是有重要 意义的。
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第21页/共86页
前面介绍的两因素单个观测值试验只适 用于两个因素间无交互作用的情况。
若两因素间有交互作用，则每个水平组 合中只设一个试验单位(观察单位)的试验设 计是不正确的或不完善的。这是因为：
对于A、B 两个试验因素的全部ab个水平 组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验 共有 ab 个观测值，其数据模式如 表5-21 所示。
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第2页/共86页
b
x i xij j 1
n
x j xij i 1
ab
x xij i1 j1
xi
1 b
b
xij
j 1
1435.1111
2532 ) 106414.2222
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SSB
1 a
x
2 j
C
1 (4422 4592 4832 ) 106414.2222 6
141.4444
SSe SST SSA SSB 1737.7778 1435.1111141.4444 161.2223
两因素完全随机的设计
会计学
1
一、两因素交叉分组试验资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素 ，A因素分a 个水平，B因素分b个水平。
所谓交叉分组是指A因素每个水平与 B 因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形 成ab个水平组合即处理，试验因素 A、B在 试验中处于平等地位 。
第1页/共86页
(一) 两因素单个观测值试验资料的 方差分析
A在B1水平上的效应=472-470=2 A在B2水平上的效应=512-480=32 B在A1水平上的效应=480-470=10 B在A2水平上的效应=512-472=40
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第28页/共86页
A的效应随着B因素水平的不同而不同，反 之亦然，此时称A、B两因素间存在交互作用， 记为A×B。
SSAB SSA SSB SSAB dfAB dfA dfB dfAB
其中，SSA×B，dfA×B为A因素与B因素 交互作用平方和与自由度。
、B 水平组合间的平方和与自由度为 SSAB，
dfAB，则两因素有重复观测值试验资料方差分 析平方和与自由度的分解式可表示为 :
SST SSAB SSe dfT dfAB dfe
第36页/共86页
因 A、B 水平组合间变异可再分解为A 因素
，B因素，A因素与B因素交互作用变异三部分
，于是SSAB、dfAB可再分解为：
其中， 为总平均数； αi为Ai的效应； i i. βj为Bj的效应； j .j (αβ) ij为Ai与Bj的互作效应； ijl 为随机误差，相互独立，且都服从
N(0，σ2)。
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第34页/共86页
(αβ)ij为Ai与Bj的互作效应
()ij ij i. . j
根据dfe=10，秩次距k=2,3,4,5,6从 附表5中查出α=0.05和α=0.01的临界q 值，与标准误相乘，计算出最小显著极差 LSR，q值及LSR值列于表5-25。
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（2）不同田间管理方法的草莓平均产量比较 B因素各水平平均数比较表见表5-26。 在两因素单独观测值试验情况下，B 因
第14页/共86页
dfT ab 1 63 1 17 dfA a 1 6 1 5 dfB b 1 3 1 2 dfe dfT dfA dfe 17 5 2 10
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第15页/共86页
2、列出方差分析表，进行F 检验
F捡验结果表明： 不同地块和不同田间管理方法对草莓的 产量均有显著或极显著影响，有必要进一步 对 A、B 两因素不同水平的平均产量进行多 重比较。
就是简单效应。 简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。
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第26页/共86页
2、主效应 由于因素水平的改变而引起的 平均数的改变量称为主效应。如在表5-28中，当 A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应 为A2水平的平均数减去A1水平的平均数，即
A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25
如在表5-28中：
A2B1-A1B1=472-470=2，这是追肥单独作用的
效应；
A1B2-A1B1=480-470=10，这是除草单独作用
的效应； 两者单独作用的效应总和是2+10=12。
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第30页/共86页
但是，A2B2-A1B1=512-470=42，而不是12。
素及随机误差的作用 。
因此全部ab 个观测值的总变异可以分解 为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异及试
验误差三部分。
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第6页/共86页
平方和与自由度的分解式如下：
SST SSA SSB SSe dfT dfA dfB dfe
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(3)因为每个水平组合只有一个观测值，所 以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因 素的交互作用进行研究。
因此，进行两因素或多因素试验时，一般 应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研 究因素间的交互作用。
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第24页/共86页
(二) 两因素有重复观测值试验资料 的自由度的计算公式为
矫正数
C x2 ab
总平方和
ab
ab
SST
(xij x )2
xi2j C
i1 j1
i1 j1
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第8页/共86页
A因素平方和
a
SSA b (xi
i 1
x
)2 1 b
a
xi2 C
i 1
B因素平方和
SSB
1、计算各项平方和与自由度
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第12页/共86页
C x2 13842 106414.2222 ab 6 3
SST
xi2j C
(712 732
1737.7778
862 852 ) 106414.2222
SSA
1 b
xi2 C
1 (2212 2722 3
x
j
1 a
a i 1
xij
x
1 ab
a i 1
b
xij
j 1
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两因素单个观测值试验的数学模型为：
xij i j ij
(i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b)
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第4页/共86页
式中 μ为总平均数；
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第16页/共86页
3、 多重比较
(1) 不同地块的草莓平均产量比较 ，采用 q法(见表5-24)。
在两因素单个观测值试验情况下，A因 素每一水平的重复数恰为B因素的水平数b。
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第17页/共86页
Sxi
MSe b
16.1222 2.3182 3
主效应也就是简单效应的平均，如 (32+2)÷2=17，(40+10)÷2=25。
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第27页/共86页
3、交互作用(互作) 在 多因素试验中， 一个因素的作用要受到另一个因素的影响， 表现为某一因素在另一因素的不同水平上所 产生的效应不同，这种现象称为该两因素存 在交互作用。如在表5-28中：
或者说，某一因素的简单效应随着另一因 素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在 交互作用。
互作效应可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。
表5-28中的互作效应为： (470+512-480-472)/2=15
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第29页/共86页
互作效应实际指的就是由于两个或两个以上 试验因素的相互作用而产生的效应。
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n
xij xijl l 1
bn
x i
xijl
j1 l 1
an
x j
xijl
i1 l 1
abn
x xijl i1 j1 l 1
n
xijl
xij
l 1
n
bn
xijl
αi，βj分别为Ai、Bj的效应:
αi=μi-μ，βj=μj-μ
μi、μj分别为Ai、Bj观测值总体平均数，
且Σαi=0,Σβj=0; εij 为随机误差 ，相互独立 ，且服从
N (0，σ2)。
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两因素交叉分组单个观测值的试验资料，
A因素的每个水平有b次重复，B 因素的每个水 平有a次重复，每个观测值同时受到A、B 两因
xi
j1 l 1 bn
an
xijl
xj
i1 l 1
an
abn
xijl
x i1 j1 l 1 abn
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i i. ,
两因素有重复观测值试验的数学模型为:
xijl i j ( )ij ijl
(i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b;l 1, 2, , n)
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第22页/共86页
(1) 在这种情况下， SSe， dfe 实际上是A、 B 两因素交互作用平方和与自由度 ，所算得 的MSe是交互作用均方，主要反映由交互作用
引起的变异。 (2) 这时若仍按【例5-5】 所采用的方法进
行方差分析，由于误差均方值大 (包含交互作 用在内) ，有可能掩盖试验因素的显著性， 从 而增大犯Ⅱ型错误的概率。
第10页/共86页
【例5-5】 为了研究不同的田间管理方 法对草莓产量的影响， 选择了 6个不同的 地块，每个地块分成 3 个小区，随机安排 3 种田间管理方法，所得结果见 表5-22， 试作方差分析。
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第11页/共86页
这是个两因素单个观测值试验结果。A
因素有 6 个水平，即 a = 6；B 因素有3个水 平， 即b=3；共有a×b=6×3=18个观测值。
i , j , ij 分别为Ai、Bj、AiBj观测值总体
平均数；且
a
b
n
b
ab
i 0, j 0, ( )ij ( )ij
( )ij 0
i1
j 1
i1
j 1
i1 j1
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因试验资料的总变异可分解为水平组合间变 异与水平组合内变异 即 误差两部分 ，若 记A
这就是说，同时追肥、除草产生的效应不 是单独某田间管理措施所产生效应的和，而另 外多增加了30 ，这个30 是两种田间管理措施 共同作用的结果。
若将其平均分到每种田间管理头上，则各 为15，即估计的互作效应。
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第31页/共86页
两因素有重复观测值试验资料的方差分析法
设A与B两因素分别具有a与b个水平， 共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重 复，则全试验共有abn个观测值。
素(本例为田间管理方法)每一水平的重复数
恰为A因素的水平数a。
第19页/共86页
B 因素的标准误
Sx. j
MSe a
16.1222 1.6392 6
根据dfe=10，秩次距k=2，3，查临界 q
值并与 Sx j 相乘，求得LSR，见表5-27。
第20页/共86页
在进行两因素或多因素的试验时，除了 研究每一因素对试验指标的影响外，往往 更希望研究因素之间的交互作用。
b
a (x
j 1
j
x
)2
1 a
b
x2j C
j 1
误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB
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总自由度 dfT=ab-1 A因素自由度 dfA=a-1 B因素自由度 dfB=b-1 误差自由度 dfe= dfT - dfA – dfB
=(a-1)(b-1)
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对两因素和多因素有重复观测值试验结 果的分析，能研究因素的简单效应、主效应 和因素间的交互作用(互作)效应。
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第25页/共86页
1、简单效应 在某因素同一水平上，另一因 素不同水平对试验指标的影响称为简单效应。
如在表5-28中，
在A1(不追肥)上， B2- B 1=480-470=10 在A2 (追肥)上， B2- B1=512-472=40 在B1 (不除草)上，A2-A1=472-470=2 在B2 (除草)上， A2-A1=512-480=32
例如，通过对播种期、播种密度、施氮 量、施钾量、施磷量对作物生长发育的影 响有无交互作用的研究，对最终确定有利 于作物生产的最佳栽培技术体系是有重要 意义的。
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第21页/共86页
前面介绍的两因素单个观测值试验只适 用于两个因素间无交互作用的情况。
若两因素间有交互作用，则每个水平组 合中只设一个试验单位(观察单位)的试验设 计是不正确的或不完善的。这是因为：
对于A、B 两个试验因素的全部ab个水平 组合，每个水平组合只有一个观测值，全试验 共有 ab 个观测值，其数据模式如 表5-21 所示。
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b
x i xij j 1
n
x j xij i 1
ab
x xij i1 j1
xi
1 b
b
xij
j 1
1435.1111
2532 ) 106414.2222
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SSB
1 a
x
2 j
C
1 (4422 4592 4832 ) 106414.2222 6
141.4444
SSe SST SSA SSB 1737.7778 1435.1111141.4444 161.2223
两因素完全随机的设计
会计学
1
一、两因素交叉分组试验资料的方差分析
设试验考察A、B两个因素 ，A因素分a 个水平，B因素分b个水平。
所谓交叉分组是指A因素每个水平与 B 因素的每个水平都要碰到，两者交叉搭配形 成ab个水平组合即处理，试验因素 A、B在 试验中处于平等地位 。
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(一) 两因素单个观测值试验资料的 方差分析
A在B1水平上的效应=472-470=2 A在B2水平上的效应=512-480=32 B在A1水平上的效应=480-470=10 B在A2水平上的效应=512-472=40
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A的效应随着B因素水平的不同而不同，反 之亦然，此时称A、B两因素间存在交互作用， 记为A×B。
SSAB SSA SSB SSAB dfAB dfA dfB dfAB
其中，SSA×B，dfA×B为A因素与B因素 交互作用平方和与自由度。
、B 水平组合间的平方和与自由度为 SSAB，
dfAB，则两因素有重复观测值试验资料方差分 析平方和与自由度的分解式可表示为 :
SST SSAB SSe dfT dfAB dfe
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因 A、B 水平组合间变异可再分解为A 因素
，B因素，A因素与B因素交互作用变异三部分
，于是SSAB、dfAB可再分解为：
其中， 为总平均数； αi为Ai的效应； i i. βj为Bj的效应； j .j (αβ) ij为Ai与Bj的互作效应； ijl 为随机误差，相互独立，且都服从
N(0，σ2)。
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(αβ)ij为Ai与Bj的互作效应
()ij ij i. . j
根据dfe=10，秩次距k=2,3,4,5,6从 附表5中查出α=0.05和α=0.01的临界q 值，与标准误相乘，计算出最小显著极差 LSR，q值及LSR值列于表5-25。
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（2）不同田间管理方法的草莓平均产量比较 B因素各水平平均数比较表见表5-26。 在两因素单独观测值试验情况下，B 因
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dfT ab 1 63 1 17 dfA a 1 6 1 5 dfB b 1 3 1 2 dfe dfT dfA dfe 17 5 2 10
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2、列出方差分析表，进行F 检验
F捡验结果表明： 不同地块和不同田间管理方法对草莓的 产量均有显著或极显著影响，有必要进一步 对 A、B 两因素不同水平的平均产量进行多 重比较。
就是简单效应。 简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。
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2、主效应 由于因素水平的改变而引起的 平均数的改变量称为主效应。如在表5-28中，当 A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应 为A2水平的平均数减去A1水平的平均数，即
A因素的主效应=492-475=17 同理 B因素的主效应=496-471=25
如在表5-28中：
A2B1-A1B1=472-470=2，这是追肥单独作用的
效应；
A1B2-A1B1=480-470=10，这是除草单独作用
的效应； 两者单独作用的效应总和是2+10=12。
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但是，A2B2-A1B1=512-470=42，而不是12。
素及随机误差的作用 。
因此全部ab 个观测值的总变异可以分解 为 A 因素水平间变异、B因素水平间变异及试
验误差三部分。
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平方和与自由度的分解式如下：
SST SSA SSB SSe dfT dfA dfB dfe
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(3)因为每个水平组合只有一个观测值，所 以无法估计真正的试验误差，因而不可能对因 素的交互作用进行研究。
因此，进行两因素或多因素试验时，一般 应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研 究因素间的交互作用。
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(二) 两因素有重复观测值试验资料 的自由度的计算公式为
矫正数
C x2 ab
总平方和
ab
ab
SST
(xij x )2
xi2j C
i1 j1
i1 j1
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A因素平方和
a
SSA b (xi
i 1
x
)2 1 b
a
xi2 C
i 1
B因素平方和
SSB
1、计算各项平方和与自由度
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C x2 13842 106414.2222 ab 6 3
SST
xi2j C
(712 732
1737.7778
862 852 ) 106414.2222
SSA
1 b
xi2 C
1 (2212 2722 3
x
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1 a
a i 1
xij
x
1 ab
a i 1
b
xij
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两因素单个观测值试验的数学模型为：
xij i j ij
(i 1, 2, , a; j 1, 2, ,b)
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式中 μ为总平均数；
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3、 多重比较
(1) 不同地块的草莓平均产量比较 ，采用 q法(见表5-24)。
在两因素单个观测值试验情况下，A因 素每一水平的重复数恰为B因素的水平数b。
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Sxi
MSe b
16.1222 2.3182 3
主效应也就是简单效应的平均，如 (32+2)÷2=17，(40+10)÷2=25。
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3、交互作用(互作) 在 多因素试验中， 一个因素的作用要受到另一个因素的影响， 表现为某一因素在另一因素的不同水平上所 产生的效应不同，这种现象称为该两因素存 在交互作用。如在表5-28中：
或者说，某一因素的简单效应随着另一因 素水平的变化而变化时，则称该两因素间存在 交互作用。
互作效应可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。
表5-28中的互作效应为： (470+512-480-472)/2=15
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互作效应实际指的就是由于两个或两个以上 试验因素的相互作用而产生的效应。