石景山区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

石景山区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 随机变量x 1～N （2，1），x 2～N （4，1），若P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），则a=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概
率是0.28，那么摸出黒球的概率是（
）
A ．0.42
B ．0.28
C ．0.3
D ．0.7
3． 函数f （x ）=x 3﹣3x 2+5的单调减区间是（
）
A ．（0，2）
B ．（0，3）
C ．（0，1）
D ．（0，5）
4． 直角梯形中,,直线截该梯形所得位于左边图OABC ,1,2AB OC AB OC BC ===P :l x t =形面积为，则函数的图像大致为（
）
()S f t
=
5． 若函数()()()()()1cos sin cos sin 3sin cos 412f x x x x x a x x a x =-++-+-在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，上单调递增，则实数的取值范围为（
）
A ．117⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， B ．117⎡
⎤-⎢⎥
⎣
⎦，C.1
([1)
7
-∞-+∞U ，，
D ．[1)
+∞，6． 抛物线y 2=8x 的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A ．1
B ．
C ．
D ．
7． 函数()log 1x
a f x a x =-有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A ．()1,10
B ．()1,+∞
C ．()0,1
D ．()
10,+∞8． 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（
）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．1﹣
B ．﹣
C ．
D ．
9． 不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ）
A ．a ＜0，△＜0
B ．a ＜0，△≤0
C ．a ＞0，△≥0
D ．a ＞0，△＞0
10．已知a=
，b=20.5，c=0.50.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（
）
A ．b ＞c ＞a
B ．b ＞a ＞c
C ．a ＞b ＞c
D ．c ＞b ＞a 11．已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有
⎩
⎨
⎧≤>=)0(||)
0(log )(2x x x x x f )(x g R R x ∈；③当时，.则函数在区间上零
1
()(2)2
g x g x =
+]1,1[-∈
x ()g x )()(x g x f y -=]4,4[-点的个数为（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.
12．已知数列的各项均为正数，，，若数列的前项和为5，则
{}n a 12a =114
n n n n a a a a ++-=
+11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
n （ ）
n =A ．
B ．
C ．
D ．3536120
121
二、填空题
13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()21
1{
5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
()()g x f x m =-14．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．15．若实数x ，y 满足x 2+y 2﹣2x+4y=0，则x ﹣2y 的最大值为 ．
16．在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 6=a 5+2a 4，则公比q= ．17．阅读右侧程序框图，输出的结果i 的值为 ．
18．已知函数f（x）=cosxsinx，给出下列四个结论：
①若f（x1）=﹣f（x2），则x1=﹣x2；
②f（x）的最小正周期是2π；
③f（x）在区间[﹣，]上是增函数；
④f（x）的图象关于直线x=对称．
其中正确的结论是 ．
三、解答题
19．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率；
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
20．（本小题满分10分）
已知曲线，直线（为参数）.22
:149x y C +=2,:22,
x t l y t =+⎧⎨=-⎩（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；
C （2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，求的最大值与最小值.
C P 30o
A ||PA 21．某校举办学生综合素质大赛，对该校学生进行综合素质测试，学校对测试成绩（10分制）大于或等于7.5的学生颁发荣誉证书，现从A 和
B 两班中各随机抽5名学生进行抽查，其成绩记录如下：
A 777.599.5
B 6x 8.58.5y
由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计人员只记得x ＜y ，且A 和B 两班被抽查的5名学生成绩的平均值相等，方差也相等．
（Ⅰ）若从B 班被抽查的5名学生中任抽取2
名学生，求被抽取2学生成绩都颁发了荣誉证书的概率；（
Ⅱ）从被抽查的10名任取3名，
X 表示抽取的学生中获得荣誉证书的人数，求X 的期望．　
22．本小题满分10分选修：坐标系与参数方程选讲
44-在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，在极坐标系与直角坐标系取相同的长
xoy
3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩xOy 度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴中，圆
的方程为．
O x C ρθ=Ⅰ求圆的圆心到直线的距离；
C Ⅱ设圆与直线交于点，若点的坐标为，求．
C A B 、P (3,PA PB +
23．2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策．为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度，某市选取70后和80后作为调查对象，随机调查了100位，得到数据如表：生二胎
不生二胎
合计70后3015
4580后451055合计
75
25
100
（Ⅰ）以这100个人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率估计概率，若从该市70后公民中随机抽取3位，记其中生二胎的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望；
（Ⅱ）根据调查数据，是否有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”，并说明理由．参考数据：P （K 2＞k ）
0.150.100.050.0250.0100.005k 2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
（参考公式：
，其中n=a+b+c+d ）
24．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
22⨯患心肺疾病患心肺疾病
合计男20525女101525合计
30
20
50
（1）用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.
（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量，判断心肺疾病与性别是否有关？2
K 下面的临界值表供参考：
)
(2k K P ≥15.010.005.0025.0010.0005.0001.0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.879828
.10
（参考公式：，其中）
)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=d c b a n +++=
石景山区第二中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：随机变量x 1～N （2，1），图象关于x=2对称，x 2～N （4，1），图象关于x=4对称，因为P （x 1＜3）=P （x 2≥a ），所以3﹣2=4﹣a ，所以a=3，故选：C ．
【点评】本题主要考查正态分布的图象，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．　
2． 【答案】C
【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3，故选C ．
【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．　
3． 【答案】A
【解析】解：∵f （x ）=x 3﹣3x 2+5，∴f ′（x ）=3x 2﹣6x ，
令f ′（x ）＜0，解得：0＜x ＜2，故选：A ．
【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．　
4． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，当时，，当时，01t <≤()21
22
f t t t t =
⋅⋅=12t <≤，所以，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符
()1
12(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩
合，故选C.
考点：分段函数的解析式与图象.5． 【答案】D 【
解
析
】
考
点：1、导数；2、单调性；3、函数与不等式.
6． 【答案】A
【解析】解：因为抛物线y 2=8x ，由焦点公式求得：抛物线焦点为（2，0）又双曲线
．渐近线为
y=
有点到直线距离公式可得：d==1．
故选A ．
【点评】此题主要考查抛物线焦点的求法和双曲线渐近线的求法．其中应用到点到直线的距离公式，包含知识点多，属于综合性试题．　
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：函数有两个零点等价于与的图象有两个交点，当时同一坐标
()f x 1x
y a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
log a y x =01a <<系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当时同一坐标系中做出两函数图象如图（1），1a >由图知有两个交点，不符合题意,故选B.
（1） （2）
考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.
【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方
程()y f x =零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：函数()y f x =零点个数就是方程()0f x =根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数的图象的()(),y g x y h x ==交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交(),y a y g x ==点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③.8． 【答案】A
【解析】解：设扇形的半径为r ，则扇形OAB 的面积为
，
连接OC ，把下面的阴影部分平均分成了2部分，然后利用位移割补的方法，分别平移到图中划线部分，则阴影部分的面积为：
﹣
，
∴此点取自阴影部分的概率是．
故选A ．
9． 【答案】A
【解析】解：∵不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，∴a ＜0，且△=b 2﹣4ac ＜0，
综上，不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．故选A ．　
10．【答案】A
【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，∴0＜a ＜c ＜1，b=20.5＞1，∴b ＞c ＞a ，故选：A ．　
11．【答案】D
第
Ⅱ卷（共100分）[．Com]
12．【答案】C
【解析】解析：本题考查等差数列的定义通项公式与“裂项法”求数列的前项和．由n 114n n n n
a a a a ++-=
+得，∴是等差数列，公差为，首项为，∴，由得
2
2
14n n a a +-={}
2
n a 442
44(1)4n a n n =+-=0n a >
．，∴数列的前项和为
n
a
=111
2n n a a +==+11n n a a +⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
n ，∴
，选C
．1111
1)1)52222-+++==L 120n =二、填空题
13．【答案】714⎛
⎤ ⎥
⎝
⎦
，【解析】
14．【答案】　4　．
【解析】解：由题意知，
满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：
{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，
故共有4个，
故答案为：4．
15．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y 过图形上的点A的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
16．【答案】　2　．
【解析】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，
即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，
又各项为正数，则q=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．
17．【答案】　7　．
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=1，i=3
不满足条件S≥100，S=8，i=5
不满足条件S≥100，S=256，i=7
满足条件S≥100，退出循环，输出i的值为7．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确得到每次循环S，i的值是解题的关键，属于基础题．　
18．【答案】　③④　．
【解析】解：函数f（x）=cosxsinx=sin2x，
对于①，当f（x1）=﹣f（x2）时，sin2x1=﹣sin2x2=sin（﹣2x2）
∴2x1=﹣2x2+2kπ，即x1+x2=kπ，k∈Z，故①错误；
对于②，由函数f（x）=sin2x知最小正周期T=π，故②错误；
对于③，令﹣+2π≤2x≤+2kπ，k∈Z得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z
当k=0时，x∈[﹣，]，f（x）是增函数，故③正确；
对于④，将x=代入函数f（x）得，f（）=﹣为最小值，
故f（x）的图象关于直线x=对称，④正确．
综上，正确的命题是③④．
故答案为：③④．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，
第4组的频率为0.04×5=0.2，
第5组的频率为0.02×5=0.1；
（2）第3组的人数为0.3×100=30，
第4组的人数为0.2×100=20，
第5组的人数为0.1×100=10；
因为第3，4，5组共有60名志愿者，
所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，
每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；
应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．
（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；
在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6），
（5，6）；
共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．
【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．
20．【答案】（1），；（22cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
26y x =-+【解析】
试题分析：（1）由平方关系和曲线方程写出曲线的参数方程，消去参数作可得直线的普通方程；（2）C C 由曲线的参数方程设曲线上任意一点的坐标，利用点到直线的距离公式求出点直线的距离，利用正C C P P 弦函数求出，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出的最大值与最小值.
PA PA 试题解析：（1）曲线的参数方程为，（为参数），直线的普通方程为.C 2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩26y x =-+
（2）曲线上任意一点到的距离为．C (2cos ,3sin )P θθ|4cos 3sin 6|d θθ=
+-
则，其中为锐角，且，当时，取||5sin()6|sin 30d PA θα==+-o α4tan 3
α=sin()1θα+=-||PA
当时，sin()1θα+=||PA 考点：1、三角函数的最值；2、椭圆的参数方程及直线的的参数方程.
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵
（7+7+7.5+9+9.5）=8，=（6+x+8.5+8.5+y ），
∵
，∴x+y=17，①∵
，=
，∵，得（x ﹣8）2+（y ﹣8）2=1，②
由①②解得
或，∵x ＜y ，∴x=8，y=9，
记“2名学生都颁发了荣誉证书”为事件C ，则事件C 包含
个基本事件，
共有
个基本事件，∴P （C ）=，
即2名学生颁发了荣誉证书的概率为．
（Ⅱ）由题意知X 所有可能的取值为0，1，2，3，
P （X=0）==，P （X=1）==，
P （X=2）==，
P （X=3）==，EX==．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意平均值和方差的计算和应用．
22．【答案】
【解析】Ⅰ∵
∴
:C ρθ
=2:sin C ρθ=∴，即圆的标准方程为
．22:0C x y +-=
C 22(5x y +=
直线的普通方程为
．30x y +--= 所以，圆
．
C
Ⅱ由，解得或 22(
53
x y y x ⎧+=⎪⎨=-⎪
⎩12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩21x y =⎧⎪⎨=+⎪⎩所以
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知得该市70后“生二胎”的概率为
=，且X ～B （3，），P （X=0）=
=，P （X=1）=
=，P （
X=2）==，P （X=3）=
=，其分布列如下：
X
0123
P ||||PA PB +==
（每算对一个结果给1分）
∴E（X）=3×=2．
（Ⅱ）假设生二胎与年龄无关，
K2==≈3.030＞2.706，
所以有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.。