【易错题】高中必修二数学下期中一模试题带答案(1)

【易错题】高中必修二数学下期中一模试题带答案(1)
一、选择题
1．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为
30o ，则该长方体的体积为（ ）
A ．8
B ．62
C ．82
D ．83
2．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥
3．对于平面
、β、γ和直线a 、b 、m 、n ,下列命题中真命题是( )
A ．若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥
B ．若//,a b b α⊂,则//a α
C ．若//,,,a b αβαγβγ==I I 则//a b
D ．若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα
4．在我国古代数学名著 九章算术 中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD 中， AB ⊥平面BCD ，且AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．32
D ．32
-
5．已知圆截直线
所得线段的长度是
，则圆与
圆的位置关系是（ ）
A ．内切
B ．相交
C ．外切
D ．相离
6．从点(,3)P m 向圆2
2
(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( ) A ．26 B ．5
C ．26
D ．42+ 7．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则
A ．log a c ＜log b c
B ．log c a ＜log c b
C ．a c ＜b c
D ．c a ＞c b
8．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AD ，DD 1的中点，AB ＝4，则过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面周长为（ ） A ．62+45 B ．62+25 C ．32+45
D ．32+25 9．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ）
①若，，则
； ②若，，则； ③若，
，
，则
④若
，
，
，则.
A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．②④
10．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD CD ===，2BD =
，BD CD ⊥，将其
沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，若四面体A BCD '-的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．
3π C ．4π
D ．
3π 11．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（ ） A ．m ，n 是平面α内两条直线，且//m β，//n β B ．α内不共线的三点到β的距离相等 C ．α，β都垂直于平面γ
D ．m ，n 是两条异面直线，m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α
12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实（虚）线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）
A ．64
B ．
643
C ．16
D ．
163
二、填空题
13．给出下面四个命题：
①“直线l ⊥平面α内所有直线”的充要条件是“l ⊥平面α”； ②“直线//a 直线b ”的充要条件是“a 平行于b 所在的平面”； ③“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件是“直线a ，b 不相交”；
④“平面//α平面β”的必要不充分条件是“α内存在不共线三点到β的距离相等”. 其中正确命题的序号是____________________
14．经过两条直线2310x y ++=和340x y -+=的交点，并且平行于直线
3470x y +-=的直线方程是________.
15．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互
相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有________
16．已知三棱锥P ABC -中，侧面PAC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，4AB AC ==，
23PA PC ==，则三棱锥P ABC -外接球的半径为______.
17．若圆1C ：220x y ax by c ++++=与圆2C ：224x y +=关于直线21y x =-对称，则
c =______.
18．小明在解题中发现函数()3
2
x f x x -=
-，[]0,1x ∈的几何意义是：点(),x x []()0,1x ∈与点()2,3连线的斜率，因此其值域为3,22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，类似地，他研究了函数()32
x g x x -=-，
[]0,1x ∈，则函数()g x 的值域为_____
19．三棱锥A BCD -中，E 是AC 的中点，F 在AD 上，且2AF FD =，若三棱锥
A BEF -的体积是2，则四棱锥
B ECDF -的体积为_______________．
20．已知点(,)P x y 是直线4(0)y kx k =-->上的一个动点，PA ，PB 是圆
22:20C x y y +-=的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的面积的最小值为2，
则实数k 的值为__________．
三、解答题
21．如图1，有一边长为2的正方形ABCD ，E 是边AD 的中点，将ABE △沿着直线BE 折起至A BE 'V 位置（如图2），此时恰好A E A C ''⊥，点A '在底面上的射影为O .
（1）求证：A E BC '⊥；
（2）求直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值.
22．如图，ABCD 是正方形，O 是该正方体的中心，P 是平面ABCD 外一点，PO ⊥平面ABCD ，E 是PC 的中点.
（1）求证：//PA 平面BDE ； （2）求证：BD ⊥平面PAC .
23．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点．AB AC ⊥，
1AB AC ==，12AA =．
（Ⅰ）求直线1AC 与平面11BCC B 所成角的正弦值； （Ⅱ）求二面角1A A B C --的余弦值．
24．如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA PD ⊥，底面
ABCD 是直角梯形，其中//BC AD ，90BAD ∠=︒，3AD BC =，2AO OD =.
（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD .
（2）试问在棱PA 上是否存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，若存在，试指出点E 的位置并证明；若不存在，请说明理由.
25．若圆M 的方程为2
2
(2)(5)10x y -+-=，△ABC 中，已知(1,1)A ，(4,2)B ，点C 为圆M 上的动点．
（1）求AC 中点D 的轨迹方程；
（2）求△ABC 面积的最小值．
26．（1）用符号表示下来语句，并画出同时满足这四个语句的一个几何图形： ①直线l 在平面α内； ②直线m 不在平面α内； ③直线m 与平面α交于点A ； ④直线l 不经过点A .
（2）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，F 为棱1CC 的三等分点，画出由1,,D E F 三点所确定的平面β与平面ABCD 的交线.(保留作图痕迹)
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
首先画出长方体1111ABCD A B C D -，利用题中条件，得到130AC B ∠=o
，根据2AB =，求得123BC =，可以确定122CC =，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积. 【详解】
在长方体1111ABCD A B C D -中，连接1BC ，
根据线面角的定义可知130AC B ∠=o
，
因为2AB =，所以123BC =，从而求得122CC =， 所以该长方体的体积为222282V =⨯⨯=，故选C. 【点睛】
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确. 考点：空间点线面位置关系．
3．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 若由线面垂直的判定定理知,只有当
和
为相交
线时,才有
错误；
若
此时由线面平行的判定定理可知,只有当
在平面
外时,才有
错误；
由面面平行的性质定理:若两平面平行,第三个平面与他们都相交,则交线平行,可判断,若
//αβ，a αγ⋂=，b βγ=I ，则//a b 为真命题, 正确；
若
此时由面面平行的判定定理可知,只有当
、
为相
交线时,才有//,D βα错误. 故选C.
考点：考查直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系.
4．A
解析：A 【解析】
如图，分别取,,,BC CD AD BD 的中点,,,M N P Q ，连,,,MN NP PM PQ ，
则,MN BD NP AC P P ，
∴PNM ∠即为异面直线AC 和BD 所成的角（或其补角）． 又由题意得PQ MQ ⊥，11
,22
PQ AB MQ CD =
=. 设2AB BC CD ===，则2PM =.
又11
2,222
MN BD NP AC =
===, ∴PNM ∆为等边三角形， ∴60PNM =︒∠，
∴异面直线AC 与BD 所成角为60︒，其余弦值为1
2
．选A ． 点睛：
用几何法求空间角时遵循“一找、二证、三计算”的步骤，即首先根据题意作出所求的角，并给出证明，然后将所求的角转化为三角形的内角．解题时要注意空间角的范围，并结合解三角形的知识得到所求角的大小或其三角函数值．
5．B
解析：B 【解析】 化简圆
到直线
的距离
，
又
两圆相交. 选B
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
设切线长为d ,则2
2
2
2
(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函
数的最小值得解. 【详解】
设切线长为d ,则2
2
2
2
(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=. 故选:A. 【点睛】
本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：对于选项A ，a b 1gc 1gc
log c ,log c lg a lg b
=
=，01c <<Q ，10gc ∴<，而0a b >>，所以lg lg a b >，但不能确定lg lg a b 、
的正负，所以它们的大小不能确定;对于选项B ，c lg lg log ,log lg lg c a b a b c c =
=,lg lg a b >，两边同乘以一个负数1
lg c
改变不等号方向，所以选项B 正确;对于选项C ，利用c
y x =在第一象限内是增函数即可得到c c a b >，所以C 错误;对于选项D ，利用x
y c =在R 上为减函数易得a b c c <，所以D 错误.所以本题选B.
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用线面平行的判定与性质证明直线1BC 为过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线,从而证得1,,,B E F C 四点共面,然后在正方体中求等腰梯形1BEFC 的周长即可. 【详解】 作图如下:
因为,E F 是棱1,AD DD 的中点, 所以11////EF AD BC ,
因为EF ⊄平面11BCC B ,1BC ⊂平面11BCC B , 所以//EF 平面11BCC B ， 由线面平行的性质定理知,
过直线EF 且过点B 的平面与平面11BCC B 的交线l 平行于直线EF , 结合图形知,l 即为直线1BC ,
过B ，E ，F 的平面截该正方体所得的截面即为等腰梯形1BEFC , 因为正方体的棱长AB ＝4,
所以11EF BE C F BC ====
所以所求截面的周长为+ 故选:A 【点睛】
本题主要考查多面体的截面问题和线面平行的判定定理和性质定理；重点考查学生的空间想象能力;属于中档题.
9．B
解析：B 【解析】 【分析】
在①中，由面面平行的性质定理得m ∥β；在②中，m 与n 平行或异面；在③中，m 与β相交、平行或m ⊂β；在④中，由n ⊥α，m ⊥α，得m ∥n ，由n ⊥β，得m ⊥β． 【详解】
由α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，知：
在①中，若α∥β，m ⊂α，则由面面平行的性质定理得m ∥β，故①正确； 在②中，若m ∥α，n ⊂α，则m 与n 平行或异面，故②错误；
在③中，若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m 与β相交、平行或m ⊂β，故③错误； 在④中，若n ⊥α，m ⊥α，则m ∥n ， 由n ⊥β，得m ⊥β，故④正确． 故选：B ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，是中档题．
10．A
解析：A 【解析】 【分析】
设BC 的中点是E ，连接DE ，由四面体A′­BCD 的特征可知，DE 即为球体的半径.
【详解】
设BC的中点是E，连接DE，A′E，
因为AB＝AD＝1，BD
由勾股定理得：BA⊥AD
又因为BD⊥CD，即三角形BCD为直角三角形
所以DE为球体的半径
DE=
2
==
43
Sππ
故选A
【点睛】
求解球体的表面积、体积的问题，其实质是求球体的半径，解题的关键是构造关于球体半径R的方程式，构造常用的方法是构造直角三角形，再利用勾股定理建立关于半径R的方程.
11．D
解析：D
【解析】
【分析】
A中，根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．B中，根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．C中，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，即可得到答案．【详解】
由题意，对于A中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A错误．
对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B错误．
对于C中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C错误．
对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了平面与平面平行的判定与性质的应用，其中解答中灵活运用平面与平面平行额判定与性质进行判定是解答的关键，着重考查学生严密的思维能力和空间想象能力，属于基础题．
12．D
解析：D 【解析】
根据三视图知几何体是：三棱锥D ABC -为棱长为4的正方体一部分，直观图如图所示：B 是棱的中点，由正方体的性质得，CD ⊥平面,ABC ABC ∆的面积
12442S =⨯⨯=，所以该多面体的体积116
4433
V =⨯⨯=，故选D.
二、填空题
13．①④【解析】【分析】利用直线与直线平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系利用充要条件的定义得结论【详解】解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直故①正确；对于②平行
解析：①④ 【解析】 【分析】
利用直线与直线、平面与平面间的位置关系及性质判断前后两个条件的推出关系，利用充要条件的定义得结论． 【详解】
解：对于①直线与平面垂直的定义是直线与平面内的所有直线垂直，故①正确； 对于②，a 平行于b 所在的平面//a b ⇒或a 与b 异面，故②错； 对于③，直线a 、b 不相交⇒直线a ，b 异面或平行，故③错； 对于④，平面//α平面βα⇒内存在不共线三点到β的距离相等；
α内存在不共线三点到β的距离相等⇒平面//α平面β或相交，故④正确
故答案为：①④ 【点睛】
本题考查直线与直线间的位置关系及性质；充要条件的判断．命题真假的判断，属于中档题．
14．【解析】【分析】先求出两相交直线的交点设出平行于直线的直线方程根
据交点在直线上求出直线方程【详解】联立直线的方程得到两直线的交点坐标平行于直线的直线方程设为则所以直线的方程为：故答案为：【点睛】本题 解析：1934011
x y ++
= 【解析】 【分析】
先求出两相交直线的交点，设出平行于直线3470x y +-=的直线方程，根据交点在直线上，求出直线方程. 【详解】
联立直线的方程23103470
x y x y ++=⎧⎨+-=⎩，得到两直线的交点坐标135
(,)1111-，
平行于直线3470x y +-=的直线方程设为340x y c ++=， 则135
3()4()+01111
c ⋅-
+⋅= 所以直线的方程为：19
34011
x y ++= 故答案为：19
34011
x y ++= 【点睛】
本题考查了直线的交点，以及与已知直线平行的直线方程，考查了学生概念理解，转化与划归的能力，属于基础题.
15．①③【解析】【分析】对4个命题分别进行判断即可得出结论【详解】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平
解析：①③ 【解析】 【分析】
对4个命题分别进行判断，即可得出结论． 【详解】
解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确； ②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确； ③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确； ④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确． 故答案为：①③． 【点睛】
本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
16．【解析】【分析】设三棱锥外接球球心为半径为如图所示作辅助线设则解得答案【详解】设三棱锥外接球球心为半径为故在平面的投影为中点为中点故
侧面底面故底面连接作于易知为矩形设则解得故答案为：【点睛】本题考查解析：
34
【解析】
【分析】
设三棱锥P ABC
-外接球球心为O，半径为R，如图所示作辅助线，设
1
OO h
=，则()2
22
222
1
R PD h OH
R h CO
⎧=-+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，解得答案.
【详解】
设三棱锥P ABC
-外接球球心为O，半径为R，
90
BAC
∠=︒，故O在平面ABC的投影为BC中点1O，D为AC中点，
PA PC
=，故PD AC
⊥，侧面PAC⊥底面ABC，故PD⊥底面ABC.
连接1
O D，作OH PD
⊥于H，易知1
OO DH为矩形，设
1
OO h
=，
则
()2
22
222
1
R PD h OH
R h CO
⎧=-+
⎪
⎨
=+
⎪⎩
，22
PD=，12
OH DO
==，
1
22
CO=，解得
34
2
R=.
故答案为：
34
2
.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
17．【解析】【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称则两圆的圆心的连线与直线垂直且中点在直线上圆的半径也为即可求出参数的值【详解】解：
因为圆：即圆心半径由题意得与关于直线对称则解得圆的半径解得故答案为 解析：165
-
【解析】 【分析】
两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线21y x =-垂直且中点在直线21y x =-上，圆1C 的半径也为2，即可求出参数,,a b c 的值. 【详解】
解：因为圆1C ：2
20x y ax by c ++++=，即2
2
2242
24
a
b a b c
x y 骣骣+-琪琪+++=
琪
琪桫桫， 圆心111,22C a b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，半径2
r =，
由题意，得11
1,2
2C a b ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭与()20,0C 关于直线21y x =-对称，
则1
12,
12211
2221,
2
2b a b
a ⎧-⎪=-⎪⎪-⎨⎪--⎪⎪=⨯-⎩解得85=-a ，45
b =，圆1C
的半径2r ==，
解得165c =-
. 故答案为：16
5
-
【点睛】
本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题.
18．【解析】【分析】根据斜率的几何意义表示函数图象上的点与点连线的斜率数形结合即可求解【详解】为点与点连线的斜率点在函数图像上在抛物线图象上的最大值为最小值为过点与图象相切的切线斜率设为切线方程为代入得
解析：2] 【解析】 【分析】
根据斜率的几何意义，(
)3
2
g x x =-
表示函数y =(2,3)连线的斜率，数形结合，即可求解. 【详解】
()3
2
x g x x -=
-为点(,)x x
与点(2,3)连线的斜率， 点(,),[0,1]x x x ∈在函数,[0,1]y x x =
∈图像上，
(1,1)B 在抛物线图象上，()g x 的最大值为31
221
AB k -=
=-， 最小值为过A 点与,[0,1]y x x =∈图象相切的切线斜率，
设为k ，切线方程为(2)3y k x =-+，代入,[0,1]y x x =
∈得，
320,0,14(32)0kx x k k k k -+-=≠∆=--=，
即281210k k -+=，解得37k +=
或37
k -= 当37
k +=时，37[0,1]37
2x ==-∈+⨯， 当37
k -=
时，37[0,1]
37
2x =
=+∉-⨯
不合题意，舍去，
()g x 值域为37[,2]4
+.
故答案为:37
[
,2]+.
【点睛】
本题考查函数的值域、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
19．【解析】【分析】以B 为顶点三棱锥与四棱锥等高计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解【详解】设B 到平面ACD 的距离为h 三角形ACD 面积为因为是的中点在上且所以所以又=2所以所以
解析：【解析】 【分析】
以B 为顶点，三棱锥B AEF -与四棱锥B ECDF -等高，计算体积只需找到三角形AEF 与四边形ECDF 的面积关系即可求解.
【详解】
设B 到平面ACD 的距离为h ，三角形ACD 面积为S ，因为E 是AC 的中点，F 在AD
上，且2AF FD =，所以16AEF ACD S AE AF
S AC AD ∆∆⋅==⋅,16AEF S S ∆=，所以5
6
ECDF S S =，又A BEF V -=2，所以
⨯=11
236
Sh ，36Sh =，所以153610318
B ECDF ECDF V S h -=
=⋅=. 故答案为10. 【点睛】
本题考查空间几何体的体积计算，考查空间想象能力和运算能力，属于基础题.
20．【解析】分析：画出图形（如图）根据圆的性质可得然后可将问题转化为切线长最小的问题进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理详解：根据题意画出图形如下图所示由题意得圆的圆心半径是由圆的性质可得四边形的
解析：【解析】
分析：画出图形（如图），根据圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，然后可将问题转化为切线长最小的问题，进而转化为圆心到直线距离的最小值的问题处理． 详解：根据题意画出图形如下图所示．
由题意得圆2
2
:20C x y y +-=的圆心()0,1，半径是1r =，
由圆的性质可得2PBC PACB S S =V 四边形，四边形PACB 的最小面积是2， ∴PBC S V 的最小值1
12
S rd ==（d 是切线长）， ∴2d =最小值，
∵圆心到直线的距离就是PC 的最小值， 2
2
2
1251k
+==+
又0k >， ∴2k =．
点睛：本题考查圆的性质、切线长定理的运用，解题时注意转化思想方法的运用，结合题意将问题逐步转化为点到直线的距离的问题处理．
三、解答题
21．（1）证明见解析（2）34
【解析】 【分析】
（1）利用直线与平面垂直的判定定理证明A E '⊥面A BC '，再根据直线与平面垂直的性质可得A E BC '⊥；
（2）依题意得就是直线A B '与面BCDE 所成角，延长EO 交BC 于H ，连接A H '，在直角三角形A EH '中得60A EH '=︒，在直角三角形A EO '中得3
A O '=
，在直角三角形A OB '中得3sin 4
A BO '∠=
. 【详解】
（1）证明：∵A E A B ''⊥，A E A C ''⊥ 又∵A B A C A '''⋂= ∴A E '⊥面A BC ' ∴A E BC '⊥.
（2）∵点A '在底面上的射影为O .
∴AO '⊥面BCDE
∴A BO '∠就是直线A B '与面BCDE 所成角. 延长EO 交BC 于H ，连接A H ' 如图：
∵A E BC '⊥，AO BC '⊥
且A O A E A '''⋂= ∴BC ⊥面A EO ' ∴BC EO ⊥ ∵E 为AD 中点 ∴H 为BC 中点
∵1A E '=，2EH = 由（1）知A E A H ''⊥ ∴60A EH '=︒ ∴32
A O '=
∴3
32sin 24
A O BO A A
B '∠==
''= 所以直线A B '与平面BCDE 所成角的正弦值为3
【点睛】
本题考查了直线与平面垂直的判定和性质，考查了直线与平面所成角的计算，属于中档题. 22．证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）要证PA 与平面EBD 平行，而过PA 的平面PAC 与平面EBD 的交线为
EO ，因此只要证//PA EO 即可，这可由中位线定理得证；（2）要证BD 垂直于平面PAC ，就是要证BD 与平面PAC 内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD 与AC 是垂直的，因此只要再证BD PO ⊥，这由线面垂直的性质或定义可得． 试题解析：证明：（1）连接EO ，∵四边形ABCD 为正方形， ∴O 为AC 的中点，
∵E 是PC 的中点，∴OE 是APC ∆的中位线.
∴//EO PA ，∵EO ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴//PA 平面BDE .
（2）∵PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴PO BD ⊥，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AC BD ⊥，
∵PO AC O ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ， ∴BD ⊥平面PAC .
考点：线面平行与线面垂直的判断． 23．
（Ⅰ）10
；（Ⅱ）23.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意结合线面垂直的判定可得AD ⊥平面11BCC B ，则1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B
所成的角，求得2
AD =
，1AC =后即可得解； （Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE
，由题意可得5
BE =，由余弦定理可得2
9
5
CE =
，进而可得90BEC ∠=o ，则AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，再由余弦定理即可得解. 【详解】
（Ⅰ）Q 三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，
∴1BB ⊥平面ABC ，∴1BB AD ⊥， Q AB AC =，D 是BC 的中点，∴AD BC ⊥，
又1BB BC B =I ，∴
AD ⊥平面11BCC B ，
∴1AC D ∠即为直线1AC 与平面11BCC B 所成的角， Q 1AB AC ==，12AA =，
∴2
AD =
，1AC =
∴
11sin AD AC D AC ∠===
， ∴直线1AC 与平面11BCC B
所成角的正弦值为10
.
（Ⅱ）作1AE A B ⊥，垂足为E ，连接1A C ，CE ，
Q 1AB AC ==，112AA A C ==，
∴11
A B AC ==
，BC = 由1ABE A BA V V ∽
可得BE =
，AE = 在1A BC V
中，22211
11cos 210
A B BC AC A BC A B BC +-∠===⋅，
∴在EBC V 中，22292cos 5CE BE BC BE BC EBC
=+-⋅⋅∠=即355
CE =， ∴222CE BE BC +=即90BEC ∠=o ， ∴AEC ∠即为二面角1A A B C --的平面角，
在AEC V 中，
2
2
2
491
255cos 23
2535255
AE CE AC AEC AE CE +-+-∠===⋅⨯⨯
. ∴二面角1A A B C --的余弦值为
2
3
.
【点睛】
本题考查了线面角和面面角的求解，考查了空间思维能力和计算能力，属于中档题. 24．（1）见解析；（2）在棱PA 上存在点E 且E 满足
2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ，证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）可证PD ⊥平面PAB ，从而得到要证明的面面垂直. （2）在棱PA 上存在点E 且E 满足2AE
EP
=时能使得面//BOE 面PCD ， 利用面面平行的判断定理可证明该结论. 【详解】
（1）因为90BAD ∠=︒，故BA AD ⊥
又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD I 底面ABCD AD =，BA ⊂平面ABCD ， 所以BA ⊥平面PAD .
因为PD ⊂平面PAD ，故BA PD ⊥，
又因为PA PD ⊥，PA AB A =I ，PA ⊂平面PAB ，AB Ì平面PAB ， 所以PD ⊥平面PAB ，而PD ⊂平面PCD ，故平面PAB ⊥平面PCD .
（2）在棱PA 上存在点E ，使得面//BOE 面PCD ，E 满足2AE EP =，证明如下：
因为2AE EP =，2AO OD =，所以D
AE EP AO O =，故//OE PD . 因为OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，故//OE 平面PCD .
因为//BC AD ，13
OD AD BC =
=，故//,OD BC OD BC =， 所以四边形BCDO 为平行四边形，故//BO CD ，
因为BO ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，故//BO 平面PCD . 因为BO ⊂平面EOB ，EO ⊂平面EOB ，BO EO O ⋂=，
故面//BOE 面PCD .
【点睛】
本题考查面面垂直的证明和面面平行的探索，前者注意空间中三种垂直关系的转化，后者应根据题设条件得到动点满足的位置特征，然后再根据判定定理来证明，本题属于中档题.
25．（1）2235()(3)22x y -+-=
（2）12
【解析】
【分析】
（1）利用相关点法求出点D 的轨迹方程；
（2）首先求出直线AB 的方程，求出圆心到直线的距离，圆心到直线的距离减去半径即圆上的点到直线的距离的最小值，即可求出ABC ∆面积的最小值。

【详解】 解：（1）设(,)D x y ，00(,)C x y ，因D 为AC 中点，所以00
1212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
，进而可得00
2121x x y y =-⎧⎨=-⎩， 而00(,)x y 在圆上，故有22
[(21)2][(21)5]10x y --+--= 即
22(23)(26)10x y -+-=，
∴D 的轨迹方程为2235()(3)22x y -+-= （2）由(1,1)A ，(4,2)B 得AB 斜率为
13， 所以直线AB 的方程为11(1)3
y x -=-，即320x y -+=， 则圆心(2,5)到直线AB 的距离11101010d =
=， ∴圆上的点到AB 的最近距离为111010101010
-= 又∵22(41)(21)10AB =-+-=
∴ABC ∆面积最小值为
11011022
⨯⨯= 【点睛】
本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
26．（1）①l α⊂；②m α⊄；③m A α=I ；④A l ∉，示意图答案见解析（2）答案见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意，作出示意图即可；
（2）根据题意，作出示意图即可.
【详解】
（1）l α⊂；m α⊄；m A α=I ；A l ∉；示意图如下：
（2）如图，直线IL 即为所求.
【点睛】
本题考查了空间点､线､面之间的位置关系，属于基础题.。