2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：28.双曲线与抛物线

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）
12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，
再由双曲线定义A=2a，可得.
【详解】∵，得到|，∴=，又，连接A，，在三角形中，由余弦定理可得A，
又由双曲线定义A=2a，可得，∴=，
故选D.
【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求
法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）
10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的焦点，若，则（）
A. 2028
B. 2038
C. 4046
D. 4056
【答案】B
【解析】
【分析】
由抛物线性质得|P n F|x n+1，由此能求出结果．
【详解】∵P1，P2，…，P n是抛物线C：y2＝4x上的点，
它们的横坐标依次为x1，x2，…，x n，F是抛物线C的焦点，
,
∴
＝（x1+1）+（x2+1）+…+（x2018+1）
＝x1+x2+…+x2018+2018
＝2018+20=2038．
故选：B．
【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用．
（山东省德州市2019届高三期末联考数学（文科）试题）
3.已知抛物线的准线与圆相切，则抛物线方程为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由抛物线准线与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相切，知1+＝3，解得p＝4,即得到方程．
【详解】圆x2+y2﹣2x﹣8＝0转化为（x﹣1）2+y2＝9，抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为x ＝﹣，
∵抛物线y2＝2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣2x﹣8＝0相切，
∴1+＝3，解得p＝4．
抛物线方程为：y2＝8x．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．
（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）
10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，，当周长最小时，所在直线的斜率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可。

【详解】结合题意，绘制图像
要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M 的坐标为，所以斜率为，故选A。

【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。

（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）
4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（）
A. 焦点坐标不变
B. 顶点坐标不变
C. 渐近线不变
D. 离心率不变
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合双曲线的基本性质，即可。

【详解】当由正数变成复数,则焦点由x轴转入y轴，故A错误。

顶点坐标和离心率都会随
改变而变，故B,D错误。

该双曲线渐近线方程为，不会随改变而改变，故选C。

【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。

难度中等。

（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）
9.已知是双曲线：的右焦点，直线与双曲线交于，两点，且
，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分别计算出M,N,F坐标，然后结合，代入坐标，计算，即可。

【详解】分别计算M,N的坐标,得到,结合
，得到，所以
结合，得到,所以，故选A。

【点睛】本道题考查了向量坐标运算，难度中等。

（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）
13.已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题结合焦点坐标,计算出m，即可。

【详解】,解得,所以双曲线方程为
,所以渐近线方程为
【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小。

（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）
8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（）
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），
A为线段OB的中点，可得B（2a，0），
令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，
可设P（2a，b），
由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），
即|AP|＝2a，即有2a，
可得a＝b，e，
故选：A．
【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）
12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为
，则（）
A. B. 以为直径的圆的面积大于
C. 直线过抛物线的焦点
D. 到直线的距离不大于2
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．
【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），
由斜率之积为，可得，即，
∴MN的直线方程为x＝2；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，
联立，可得ky2﹣y+m＝0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则，，
∴，即m＝﹣2k．
∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．
则直线MN过定点（2，0）．
则O到直线MN的距离不大于2．
故选：D．
【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线
位置关系的应用，是中档题．
（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
5.过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若
，则（）
A. 4
B. 2
C. 1
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设A，根据抛物线的定义知，
又，联立即可求出p.
【详解】设A，根据抛物线的定义知,
又，联立解得，故选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属于中档题.
（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）
5.若双曲线与直线有交点,则其离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为，只需这条渐近线比直线的斜率大，即，选C.
（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）
20.在平面直角坐标系中，过动点作直线的垂线，垂足为，且满足，其中为坐标原点，动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点作与轴不平行的直线，交曲线于，两点，点，记，，分别为，，的斜率，求证：为定值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】
【分析】
解法一：（I）用x,y分别表示，结合，构造等式，即可。

（II）设出直线l的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。

解法二：（I）设出P,Q坐标，结合，建立方程，即可。

（II）设出直线l 的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。

解法三（I）利用向量数量积关系，建立方程，计算结果，即可。

（II）与解法一、二相同。

【详解】解法一：
（Ⅰ）设，则，
，，. ∵，
∴，
代入整理得，
曲线的方程为.
（Ⅱ）设直线的方程为，，
联立，
整理得，
设，，
则，
∵，，
∴
，
∴为定值.
解法二：（Ⅰ）设，则，
∴，，
∵，
∴.
整理得，
曲线的方程为.
（Ⅱ）依题意得，直线的方程为，，联立，
整理得，
设，，
则，
∵，，
∴
，
∴为定值.
解法三：（Ⅰ）设，则，
∴，，
∵，
∴.
整理得，
曲线的方程为.
（Ⅱ）同解法一，解法二.
【点睛】本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.
（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）
20.已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两点.
（Ⅰ）求抛物线和椭圆的方程；
（Ⅱ）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值，并求出该定值.
【答案】（Ⅰ）抛物线的方程为；椭圆的方程为：（Ⅱ）4
【解析】
【分析】
（I）把点坐标代入抛物线方程，计算p值，即可。

结合椭圆性质，建立方程，即可。

（II）设出直线l的方程，联解椭圆方程，设出M，N坐标，用坐标表示，结合根与系数关系，即可求得定值。

【详解】解法一：（Ⅰ）∵点在抛物线：上，
∴，解得，
∴抛物线的方程为.
∴椭圆的左、右焦点分别为和.
，
∴，，
所以椭圆的方程为：.
（Ⅱ）设的方程为.
由，消去整理得：. 设，，则，
故
.
综上，.
解法二：（Ⅰ）∵点在抛物线：上，
∴，解得，
∴抛物线的方程为.
∴椭圆的左、右焦点分别为和，即.
∴.
又点在椭圆上，
∴，
即，
解得，（舍去）.
∴，，
所以椭圆的方程为：.
（Ⅱ）同解法一.
【点睛】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.
（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）
10.过点的直线交抛物线于、两点(异于坐标原点),若，则该直线的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设直线AB的方程为联立
，化为，即（*）．
或满足（*）
但是当直线方程为时，与抛物线的有关交点为原点，不满足，应该舍去．
∴该直线的方程为即．
故选B．
（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）
8.已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得
，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有e2=5，解得，故选C．
点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出的坐标，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.
（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）
10.已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：的左右焦点，点F2关于双曲线E 的一条渐近线的对称点为点A，若｜AF1｜＝4，则此双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知AF2＝=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.
【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OB∥AF1，由AF2⊥OB，可得AF2⊥AF1，AF2＝=4，点F2（4,0），渐近线：x，
所以，解得：b＝2，＝2，所以离心率为e＝2,
故选C.
【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）
7.抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若｜PF｜＝，则△PQF的面积为（）
A. 3
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由条件结合抛物线定义可知P的横坐标为x＝3，代入抛物线方程得点P的纵坐标的绝对值，则可求△PQF的面积.
【详解】依题意，得F（，0），因为｜PF｜＝4，由抛物线的性质可知：
｜PQ｜＝4，即点P的横坐标为x＝3，代入抛物线，得
点P的纵坐标的绝对值为：｜y｜＝2，
所以，△PQF的面积为：S＝，
故选D.
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单应用．涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力．
（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）
11.是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点,若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题设可知
,即
,解之得,即,故.应选A.
考点：双曲线的几何性质及运用.
【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和基本不等式的综合运用，属于难题．本题利用双曲线的几何特征,建立关于为变量的正切函数的函数关系式，通过计算
求得,即,由此计算得双曲线的离心率．
（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）
11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合抛物线性质，分别计算A,B的坐标，结合两点距离公式，即可。

【详解】结合抛物线的性质可得，所以抛物线方程为，所以点A坐标为
，所以直线AB的方程为，代入抛物线方程，计算B的坐标为，所以，故选C。

【点睛】本道题考查了抛物线性质以及两点距离公式，难度中等。

（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）
6.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆过点，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题结合双曲线的性质，计算渐近线方程以及圆的方程，计算面积，即可。

【详解】渐近线方程为，该圆的方程为，则其中一个点P的坐标为，
所以，故选C。

【点睛】本道题考查了双曲线性质以及圆方程计算方法，难度中等。

（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）
11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点
，则的值是（）
A. 12
B. 10
C. 9
D. 4.5
【答案】C
【解析】
【分析】
由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物
线的定义即可得到弦长.
【详解】法一：因为在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解得，，由抛物线的定义，得，所以.
故选.
法二：直线过焦点，，又，所以
，
故选.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力.
（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）
7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.
【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，
不妨设点在渐近线上，则
以为直径的圆为
又在圆上，
解得，
，
故选：.
【点睛】本题考查双曲线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.
（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）
11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点（均不与坐标原点重合），已知抛物线的焦点到直线距离的最大值为3，则（）
A. B. 2 C. 3 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
设直线的方程为，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求得
，再由，列出方程，求得.进而得到抛物线的焦点到直线距离的最大值，求得的值，得到答案。

【详解】设直线的方程为，，把直线方程代入抛物线方程，得，所以，.
因为，所以，即，解得，所以.所以直线恒过点，则抛物线的焦点到直线距离的最大值为，即.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理应用抛物线的几何性质，以及把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，属于中档试题。

（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）
4.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以，进而可求解双曲线的方程，得到答案。

【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点（均不与坐标原点重合），已知抛物线的焦点到直线距离的最大值为3，则（）
A. B. 2 C. 4 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】
先设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得
，，再由，即可求出，从而可确定结果.
【详解】设直线的方程为，，把直线方程代入抛物线方程，得
，所以，.因为，所以，即
，解得，所以，所以直线恒过点，则抛物线的焦点到直线距离的最大值为，即.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常情况下要先设直线方程与交点坐标，联立直线与曲线方程，结合韦达定理和题中条件，即可得到参数之间关系，属于中档题型.
（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）
4.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知双曲线先求出所求双曲线的顶点坐标，再由所求双曲线的渐近线互相垂直，可得，从而可得双曲线方程.
【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.
（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）
6.已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为 1 ，焦点到渐近线
的距离是，则双曲线的方程为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意可得c﹣a＝1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程．
【详解】双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，
可得c﹣a＝1，
由双曲线的渐近线方程为y x，
则焦点（c，0）到渐近线的距离为d b，
又c2﹣a2＝b2＝5，
解得a＝2，c＝3，
所以双曲线的方程为1．
故选：B．
【点睛】本题考查双曲线的方程的求法，注意运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．
（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）
8.已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先排除渐近线不含的选项，然后将点的坐标代入剩余选项中，符合的即是正确选项. 【详解】由于C选项的中双曲线的渐近线方程为，不符合题意，排除C选项.将点
代入A,B,D三个选项，只有B选项符合，故本题选B.
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查点在曲线上的概念，属于基础题.
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）
14.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为
____；
【答案】2
【解析】
【分析】
根据渐近线方程求得的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率.
【详解】由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）
6.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将点的坐标代入抛物线方程，求得的值，由此求得抛物线焦点的坐标，根据两点求斜率的公式求得直线的斜率.
【详解】将坐标代入抛物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C.
【点睛】本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线的几何性质，考查已知两点坐标求直线斜率的公式.属于基础题.
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）
11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )
A. B. 2 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得
周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线的离心率.
【详解】依题意得点P，，由双曲线的定义得周长为
，由此得，，故．
【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.
（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）
8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立
直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此求得的值，而的夹角为
，最后利用数量积的运算求得的值
【详解】依题意易得，，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程
与抛物线的方程消去y得，得, 则,故
.故选D.
【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查
了向量数量积的运算.属于基础题.
（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）
11.双曲线：的左、右焦点分别为，过作一条直线与两条渐近线分别相交于两点，若，，则双曲线的离心率为（）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示，连接，又由，且为的中点，
所以，
因为，即，所以A为线段的中点，
又由于为的中点，所以，所以，所以，
又由直线OA与OB是双曲线的两条渐近线，则，
所以，则，
所以双曲线的离心率为，故选C.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.
（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）
6.已知抛物线：的焦点为，点在上，的中点坐标为，则的方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，根据点A在曲线C上，AF的中点坐标为，利用中点公式可得，可得，代入抛物线的方程，求得，即可得到抛物线的方程.
【详解】由抛物线，可得焦点为，
点A在曲线C上，AF的中点坐标为，
由中点公式可得，可得，
代入抛物线的方程可得，解得，
所以抛物线的方程为，故选B.
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题设条件和中点公式，求得点A的坐标，代入求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）
10.直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为（）
A. 2
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意，根据双曲线的渐近线方程，求得直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再根据抛物线的定义得到弦长，求得，即可求解双曲线的离心率.
【详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，设直线的方程为
又由抛物线的焦点，则，即，
所以直线的方程为
设，联立，得，
所以，
根据抛物线的定义可知，即，即，
又由，所以，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，以及抛物线的标准方程与几何性质和抛物线的焦点弦的性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）
9.已知双曲线的一个顶点到其渐近线的距离等于，则的离心率为（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离，进而可得c，。