陕西省榆林市绥德中学2020届高三下学期第六次模拟考试数学(文)试题

陕西省榆林市绥德中学2020届高三下学期第六次模拟考试数
学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}
2
B x x x =>，则A B ⋂=（ ）
A ．{}1,0,1-
B ．{}1,2-
C ．{}1,2
D ．{}2
2．若复数1z i =，23z i =-，则2
1
z z =（ ） A ．13i +
B ．2i +
C ．13i --
D ．3i +
3．角α的终边过点(1,2)P -，则sin α等于 （ ） A
B
C
．5
-
D
． 4．设向量a ()1,0=，b ()1,m =-，若()
a ma
b ⊥-，则m =（ ） A ．-2
B ．-1
C ．1
D ．2
5．方程lg 3x x +=的解所在区间为（ ） A ．()0,1
B ．()1,2
C ．()2,3
D ．()3,+∞
6．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =
A ．31
44AB AC - B ．
13
44AB AC - C ．31
44
+AB AC
D ．13
44
+AB AC
7．把函数sin y x =的图像上所有的点向左平行移动3
π
个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ） A ．sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
B ．sin 26x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ C ．sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．2sin 23y x π⎛⎫=+
⎪⎝
⎭
8．函数()ln ,0,
1,0,
x x f x x x >⎧=⎨+<⎩则()1f x >-的解集为（ ）
A ．()2,-+∞
B ．()2,0-
C ．()
12,0,e ⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
D ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
9．函数23
12x y e π
-
=
⋅的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[]1,0-上单调递减，设
( 2.8)=-a f ，( 1.6)=-b f ，(0.5)=c f ，则a ，b ，c 大小关系是（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．b c a >>
D ．a c b >>
11．已知向量a ()
2
,1x x =+，b ()1,x t =-，若函数()f x a b =⋅在区间()1,1-上是增
函数，则t 的取值范围是（ ） A ．5t ≥
B ．5t ≤
C ．5t ≥-
D ．5t ≤-
12．已知()3
f x x x =+是定义在R 上的函数，且对于任意()0x π∈，，不等式
()()sin 1cos 0f x x f x a -+-≤恒成立，则整数a 的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题 13．函数f （x ）
=的定义域为_____． 14．已知sin(
)
2sin(
)2
，则sin cos αα⋅=___________．
15．曲线32y x x =-在1x =-处的切线方程为 ．
16．在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=
，边AB ，AD 的长分别为2和1，若M ，N 分别
是边BC ，CD 上的点,且满足CN CD
BM BC
=
，则AM AN ⋅的取值范围是_________．
三、解答题
17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，25a =-，612S =-
． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求n s ，并求当n 取何值时n S 有最小值.
18．已知向量a ()2sin ,cos x x =，b ()
cos x x =，函数()f x a b =⋅. （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的最大值与最小值. 19．设()3
2
21f x x ax bx =+++的导数为()'f x ,若函数()'y f x =的图象关于直线
1
2
x =-对称,且()'1
0f =.
（
1）实数,a b 的值； （2）求函数()f x 的极值.
20．ABC 中，内角A ，
B ，
C 对应的边分别为a ，b ，c ，满足
)(sin )sin A B B B A +=+.
（Ⅰ）已知cos C =
，3a =，求sin B 与b 的值； （Ⅱ）若0,
3B π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，且4
cos()5
A B -=
，求sin B . 21．已知函数()ln 3(,0)f x a x ax a R a =--∈≠． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，问：m 在什么范围
取值时，对于任意的[1,2]t ∈，函数32
()()2m g x x x f x ⎡⎤
=++⎢⎣'⎥⎦
在区间(),3t 上总存在
极值？
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程122x t y ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原
点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=． （1）直线l 的参数方程化为极坐标方程； （2）求直线l 的曲线C 交点的极坐标（0ρ，02θπ<）.
23．已知函数()2=+++f x x a x a （1）若(1)3f >，求实数a 的取值范围； （2）证明：m R ∈时，1
()()6≥-+f m f m
．
参考答案
1．B 【分析】
求解不等式，从而解得集合B ，再根据集合的交运算，求解结果. 【详解】
对集合B ：2x x >，解得1x >，或0x <，故集合()(),01,B =-∞⋃+∞； 由集合的交运算可得{}1,2A B ⋂=-. 故选：B. 【点睛】
本题考查集合的交运算，属基础题. 2．C 【分析】
根据复数的运算，整理化简即可求得. 【详解】
因为1z i =，23z i =-，
故可得
21z z =()()23313i i i i i i
-⨯--==---. 故选：C. 【点睛】
本题考查复数的除法运算，认真计算即可. 3．B 【解析】
由三角函数的定义知，x ＝－1，y ＝2，r
∴sin α＝y r
. 4．B 【分析】
根据向量垂直，则数量积为零，结合数量积的运算，列出方程，即可求得参数值. 【详解】
向量a ()1,0=，b ()1,m =-，
故可得()1,ma b m m -=+-； 因为()
a ma
b ⊥-， 故可得()
0a ma b ⋅-=， 即可得()110m ⨯+=， 解得1m =-. 故选：B. 【点睛】
本题考查向量垂直的转化，以及向量数量积的坐标运算，属基础题. 5．C 【分析】
根据零点存在定理，计算每个区间端点值的函数值，若函数值满足异号，则在该区间必有零点. 【详解】
方程lg 3x x +=的解，等价于函数()3f x lgx x =+-的零点， 又因为()()2210,330f lg f lg =-=，满足()()230f f ⋅<， 故()f x 在区间()2,3上有零点，即方程lg 3x x +=的解所在区间为()2,3. 故选：C. 【点睛】
本题考查由函数零点存在定理判断函数零点所在区间的问题，属基础题. 6．A 【分析】
分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得11
22
BE BA BC =
+，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+，之后将其合并，得到
3144BE BA AC =
+，下一步应用相反向量，求得31
44
EB AB AC =-，从而求得结果. 【详解】
根据向量的运算法则，可得
()
111111
222424BE BA BD BA BC BA BA AC =
+=+=++ 11131
24444
BA BA AC BA AC =++=+， 所以31
44EB AB AC =-，故选A.
【点睛】
该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 7．C 【分析】
根据左右平移和周期变换原则变换即可得到结果. 【详解】
sin y x =向左平移
3π
个单位得：sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 将sin 3y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
横坐标缩短为原来的
1
2得：sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭ 本题正确选项：C 【点睛】
本题考查三角函数的左右平移变换和周期变换的问题，属于基础题. 8．C 【分析】
根据函数的解析式，分段求解不等式，即可求得结果. 【详解】
当0x >时，()1f x >-等价于 1lnx >-，解得1
x e
>
，
与0x >取交集可得不等式解集为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
；
当0x <时，()1f x >-等价于11x +>-，解得2x >-， 与0x <取交集可得不等式解集为：()2,0-；
综上所述，不等式解集为()1
2,0,e ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭
.
故选：C. 【点睛】
本题考查不等式的求解，涉及对数不等式的求解，属基础题. 9．C 【详解】 由题设()()()23
1
2x f x e f x f x π
-
∴=
⋅-=函数为偶函数，排除A,B
又()23
012x f x e
π
-
⋅>=恒成立，故选C
略 10．D 【分析】
依题意可得函数的周期性，根据周期将给定的数据转化到同一周期，再根据单调性可比较出大小. 【详解】
∵偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，∴函数的周期为2.
由于( 2.8)(0.8)a f f =-=-，( 1.6)(0.4)(0.4)b f f f =-==-，(0.5)(0.5)c f f ==-，
0.80.50.4-<-<-.且函数()f x 在[]1,0-上单调递减，∴a c b >>.
【点睛】
本题考查函数周期性和单调性的应用，属于基础题. 11．A
【分析】
根据向量数量积的坐标运算，得到()f x ，再利用导数，根据函数的单调区间，求解参数的范围即可. 【详解】
因为a ()
2
,1x x =+，b ()1,x t =-，
故可得()3
2
f x a b x x tx t =⋅=-+++，
故()2
32f x x x t '=-++.
因为()f x 在区间()1,1-上是增函数，
则()0f x '≥在区间()1,1-上恒成立，且()f x '不恒为零. 即可得2320x x t -++≥在区间()1,1-上恒成立， 即232t x x ≥-在区间()1,1-上恒成立， 又2
32y x x =-的对称轴为13
x =， 故()3215max y <-⨯-=.
故要满足题意，只需5t ≥，即为所求. 故选：A . 【点睛】
本题考查数量积的运算，涉及根据函数的单调区间，利用导数求参数范围的问题，涉及分离参数法，属综合性中档题. 12．A 【解析】 【分析】
利用()3
f x x x =+的单调性和奇偶性，将抽象不等式转化为具体不等式，然后将恒成立问
题转化成最值问题，借助导数知识，即可解决问题． 【详解】
()3f x x x =+，可知()()f x f x -=-，且单调递增，
()()sin 1cos 0f x x f x a -+-≤可以变为()()sin 1cos f x x f x a ---≤，
即()()sin 1cos f x x f a x --≤，∴sin 1cos x x a x --≤， 可知1sin cos a x x x ++≥，设()sin cos h x x x x =+，则
()sin cos sin cos h x x x x x x x '=+-=，
当2x π
=
时，()0h x '=，当02x π⎛⎪∈⎫
⎝
⎭，时，()()0h x h x '>，单调递增； 当2x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，时，()()0h x h x '<，单调递减，可知()max 22
h h x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭=， ∴1
12
2
a a
π
π
+-，，∵a Z ∈，∴整数a 的最小值为1.故选A.
【点睛】
本题主要考查了函数的性质、抽象不等式的解法、以及恒成立问题的一般解法，意在考查学生综合运用所学知识的的能力． 13．（1，+∞） 【分析】
若函数有意义,则10x ->,求解即可. 【详解】
由题,若函数有意义,则10x ->,解得1x >,所以定义域为()1,+∞, 故答案为:()1,+∞ 【点睛】
本题考查具体函数的定义域,属于基础题. 14．25
-
【分析】
根据诱导公式和同角三角函数的基本关系可得tan 2α，
再利用1的代换，即可得答案； 【详解】
sin()2sin(
)2
，
∴sin 2cos ,tan 2ααα=-∴=-
∴222sin cos tan 2sin cos sin cos 1tan 5αααααααα⋅⋅=
==-++， 故答案为：25
-
. 【点睛】 本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系、1的代换的应用，考查运算求解能力. 15．20x y ++=
【分析】
根据导数的几何意义可求出函数在1x =处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．
【详解】
∵32y x x =-，∴223y x '=-，1|1x y =-'=-，而切点的坐标为（-1，-1）
， ∴曲线3
2y x x =-在1x =-的处的切线方程为20x y ++=，故答案为20x y ++=. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了导数的几何意义即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，属于基础题．
16．
[2]5, 【分析】
画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【详解】
解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0)B ，(0,0)A ，
12D ⎛ ⎝⎭，设||||||||BM CN BC CD λ==，[]0,1λ∈，则(22M λ+)，5(22N λ-，
所以(22AM AN λ
=+5)(22λ-2253542544
λλλλλλ=-+-+=--+， 因为[]0,1λ∈，二次函数的对称轴为：1λ=-，所以[]
0,1λ∈时，[]2252,5λλ--+∈． 故答案为：
[2]5,
【点睛】
本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．
17．（1）a n =2n –9；（2）最小值为-16
【分析】
（1）设{a n }的公差为d ，根据条件列出a 1和d 的方程组，解之即可得到答案；（2）利用等差数列的求和公式求出n s ，通过配方法可求得结果.
【详解】
（1）设{a n }的公差为d ，由题意得11
5254a d a d +=-⎧⎨+=-⎩得a 1=–7，d =2， 所以{a n }的通项公式为a n =2n –9；
（2）由（1）得221()8(4)162
n n n a a S n n n +==-=--， 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16.
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式和前n 项和，熟记并掌握公式和概念是解题的关键，属基础题. 18．（1）最小正周期为π；（2
）最大值2+，最小值为0.
【分析】
（1）根据向量的数量积运算，结合正余弦的倍角公式以及辅助角公式，将函数化简为标准正弦型三角函数，即可求得其最小正周期；
（2）先求出x ωϕ+的取值范围，结合正弦函数的单调性，即可求得结果.
【详解】
（1）因为(
)2
2sin cos f x x x x =+
1cos 2
sin 22
x x +=+
sin 22x x =+
2sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭222
T π
ππω===， 故()f x 的最小正周期为π.
（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦
∴当232x ππ+
=，即12x π=，()f x 有最大值2； 当4233
x π
π+=，即2x π=，()f x 有最小值0.
故函数()f x 的最大值2，最小值为0.
【点睛】
本题考查利用正余弦的倍角公式以及辅助角公式化简三角函数为标准型，以及求正弦型三角函数的最小正周期和区间上的值域，属综合基础题.
19．（1）12b =-；（2）()f x 的极大值是21,极小值是6-.
【解析】
试题分析：（1）先对()f x 求导，()f x 的导数为二次函数，由对称性可求得a ，再由()10f '=即可求出b ；（2）对()f x 求导，分别令()f x '大于0和小于0，即可解出()f x 的单调区间，继而确定函数的极值.
试题解析：（1）因()3221f x x ax bx =+++,故()2
'62f x x ax b =++,从而()22'666a a f x x b ⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭,即()'y f x =关于直线6a x =-对称,从而由条件可知162
a -=-,解得3a =,又由于()'0f x =,即620a
b ++=解得12b =-. （2）由（1）知()()()()32223121,'6612612f x x x x f x x x x x =+-+=+-=-+.
令()'0f x =,得1x =或2x =-,
当(),2x ∈-∞-时,()()'0,f x f x > 在(),2-∞-上是增函数,当()2,1x ∈-时,
()()'0,f x f x <在()2,1-上是减函数,当()1,x ∈+∞时,()()'0,f x f x > 在()1,,+∞上是增函数,从而()f x 在2x =-处取到极大值()221f -=, 在1x =处取到极小值()16f =-. 考点：利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质.
20．（Ⅰ）sin 6B =1b =+310 【分析】
)(sin )sin A B B B A +=+化简整理得到sin A A =，求出
3A π
=，再由cos 3
C =求出sin C ，根据sin sin()B A C =+求出sin B ，再由正弦定理，即可求出结果； （Ⅱ）先由4cos()5
A B -=结合题中条件，求出3sin()5A B -=，再由sin sin(())B A A B =--展开，即可求出结果.
【详解】
)(sin )sin A B B B A +=+得
cos sin sin sin sin A B A B B A B A =+，
故sin A A =，因为(0,)A π∈，且cos 0A ≠，
所以tan A =3A π
=.
因为cos C =，(0,)C π∈，所以sin 3
C = 因此sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=
123236
=⋅+⋅=，
由正弦定理知：sin sin b a B A
=，即1b =+
（Ⅱ）因为0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0,33A B B ππ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭，又4cos()5A B -=， 所以3sin()5
A B -=， 所以sin sin(())sin cos()cos sin()B A A B A A B A A B =--=---
=【点睛】
本题主要考查解三角形，熟记正弦定理、两角和与差的正弦公式等即可，属于常考题型. 21．（1）当0a >时，函数()f x 的单调增区间是()0,1，单调减区间是()1,+∞；当0a <时，函数()f x 的单调增区间是()1,+∞，单调减区间是()0,1；（2）37,93⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数'()f x ；②解'()0f x >（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），
（2）点(2,(2))f 处的切线的斜率为1，即(2)1f '=，可求a 值，代入得()g x 的解析式，由[1,2]t ∈，且()g x 在区间(),3t 上总不是单调函数可知：g ′(1)＜0，g ′(2)＜0，g ′(3)＞0，于是可求m 的范围．
【详解】
（1）由(1)()a x f x x
'-=知： 当0a >时，函数()f x 的单调增区间是0,1，单调减区间是1,
； 当0a <时，函数()f x 的单调增区间是1,
，单调减区间是0,1； （2）由(2)12
a f '=-=得2a =- ()2ln 23f x x x ∴=-+-，2()2f x x
'=-. 3232()()2222m m g x x x f x x x x ⎡⎤⎛⎫=++=++- ⎪⎝
⎭'⎢⎥⎣⎦ 2()3(4)2g x x m x ∴=++-',
∵函数()g x 在区间(),3t 上总存在极值，
∴()0g x '=有两个不等实根且至少有一个在区间(),3t 内
又∵函数()g x '是开口向上的二次函数，且(0)20g '=-<，()0{(3)0
g t g ''<∴> 由()0g t '<得234m t t <--，2()34H t t t
=--在[]1,2上单调递减， 所以min ()(2)9H t H ==-；9m ∴<-，
由(3)273(4)20g m =++->'，解得373m >-
； 综上得：3793m -<<-所以当m 在37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭
内取值时，对于任意[1,2]t ∈，函数32()()2m g x x x f x ⎡⎤=++⎢⎣'⎥⎦
，在区间(),3t 上总存在极值. 【点睛】
本题考查利用函数的导数来求函数的单调区间，以及已知函数曲线上一点求曲线的切线方程，考查求导公式的掌握情况，含参数的数学问题的处理，构造函数求解证明不等式问题，
属于难题．
22
．（1cos sin 0θρθ--=；（2
）5(2,
)3π，)6π 【解析】
试题分析：（1）首先消去参数方程的参数，可把参数方程化为普通方程，然后利用公式cos {sin x y ρθ
ρθ==可把直角坐标方程化为极坐标方程；（2）可把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，然后把直线与圆的直角坐标方程联立解得交点坐标，再把交点的直角坐标化为极坐标，也可把直线与圆的两个极坐标方程联立方程组解得交点的极坐标
. 试题解析：（1）将直线:l 122{x t y
=+=（t
为参数）消去参数t ，化为普通方程0y --=， 2分
将cos {sin x y ρθ
ρθ==
0y --=
cos sin 0θρθ--=. 4分
（2）方法一：C 的普通方程为2240x y x +-=. 6分
由220
40y x y x --=+-=
解得：1
{x y ==
3
{x y ==分
所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,
)3π
，)6π. 10分
方法二：由cos sin 04cos θρθρθ--==， 6分 得：sin(2)03π
θ-=，又因为0,02ρθπ≥≤<8分 所以2{53ρπθ==
或{6
ρπθ== 所以l 与C 交点的极坐标分别为：5(2,)3π
，)6
π. 10分 考点：参数方程与普通方程的互化，直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线与圆交点.
23．（1）{}|30a a a -或； （2）见解析.
【分析】
（1）()13f >即为123a a +++>分类讨论即可得到结果；
（2）利用三角绝对值不等式即可得到结果.
【详解】
（1）()13f >即为123a a +++>．当2a <-时，233a --> ，得3a <-； 当21a -≤≤-时，13>，无解当1a >-时，233a +>，得0a >．
所以()13f >时，实数a 的取值范围为{}
|30a a a -或．
（2）证明： ()1121222f m f m a m a a a m a a m a a m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-++-+++++=-++++-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
12
m m
≥+++≥+=
2246
m m
【点睛】
绝对值不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。