ch2_4DFT分析信号频谱

XN [m]
0
k
N-1
0
m
N-1
DFT可以直接计算周期序列的DFS
可否利用DFT分析以上四种信号的频谱？
基本原理
利用信号傅立叶变换具有的信号时域与频 域之间的对应关系，建立信号的DFT与四种信号 频谱之间的关系。
时域的离散化
频域周期化
时域的周期化
频域离散化
二、四种信号的时域与频域对应关系
x(t)
2
3
W (e j3 / N ) A 20 log 10 W (e j0 ) 13.46 dB
窗函数二： 汉宁窗（hanning)：
w[k
]
0.5 0
0.5cos(
2πk
/
N
)
0k N 其他
时域波形 幅度频谱
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20 15 10
5 0 -1
5
10
15
20
25
w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);
plot(w,abs(F));
ylabel('幅度谱')
（3）栅栏现象：序列后补零，ZFFT
xN [k]
X N (e j )
X [m]
XN
(e
j )
|
2
,
m
m 0,1,..., N 1
N
fc
fsam (Hz) N
（3）栅栏现象：序列后补零，ZFFT
-100
0
100
频率(Hz)
10 8 6 4 2 0 -300
-200
-100
0 频 率(Hz )
100
200
200
信号样点数 N=30
300
信号样点数 N=20
300
利用矩形窗计算有限长余弦信号频谱
N=30;
%数据的长度
L=512; %DFT的点数
f1=100; f2=120;
fs=600;
%抽样频率
旁瓣
旁瓣
2
0 2
4
N
N
N
矩形窗：
1 0 k N w[k] 0 其它
主瓣在处有一个峰值，表示其主要是由直流分量组成。由于矩形窗函数在 其两个端点的突然截断，使得频谱中存在许多高频分量。
W (e j3 / N ) W (ej0 )
sin(3 / 2) N sin(3 / 2N )
1
N (3 / 2N )
T=1/fs;
%抽样间隔
ws=2*pi*fs;
t=(0:N-1)*T;
f=cos(2*pi*f1*t)+cos(2*pi*f2*t);
F=fftshift(fft(f,L));
w=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);
hd=plot(w,abs(F));
ylabel('幅度谱')
已知一连续信号为
FT
0
t
~x (t)
FS
0
t
x[k]
DTFT
0
k
~x[k ]
DFS
0
k
X(j)
0
X(n0)
... 2
...
-N
0
X(ej)
...
0 2
X~[m]
...
m
0
N
三、利用DFT分析连续非周期信号的频谱
抽样
x(t ) 离散化
周期化
x[k]
~x[k]
DFT实现
X ( j)
A
m m
2
X (e j )
A T
=
600/64
20
20
幅度谱
幅度谱
10
0 -300 -200 -100频率0(Hz)100 200 300
N=30, L=128, fc
=
10
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频率(Hz)
N=30, L=256, fc
=
五、DFT参数选取 (fc , fm )
1. 抽样频率: 抽样间隔:
0
m 0 m
2
0
2
（2）泄漏现象：选择合适的窗函数
x[k] 加窗 xN [k] x[k] wN [k] DFT X[m]
X N (e j ) X (e j ) WN (e j )
其中：
wN [k]
矩形窗
汉宁窗 哈明窗
布拉克曼窗 凯塞窗
窗函数一： 矩形窗
时域波形 幅度频谱
1 0 k N w[k] 0 其它
利用DFT分析信号频谱
一、问题的提出 二、四种信号频谱之间的关系 三、利用DFT分析连续非周期信号频谱 四、混叠现象、泄漏现象、栅栏现象 五、DFT参数选取 六、工程实际应用
问题提出： 如何利用数字方法分析信号的频谱？
x(t) X ( j) x(t)ejtdt
xT
(t)
X
(n0
N=50;
%数据的长度
L=512;
%DFT的点数
f1=100;f2=150;
fs=600;
%抽样频率
T=1/fs;
%抽样间隔
ws=2*pi*fs;
t=(0:N-1)*T;
f=cos(2*pi*f1*t)+0.15*cos(2*pi*f2*t);
wh=(hamming(N))';
f=f.*wh;
F=fftshift(fft(f,L));
k 0
k 0
k 0
，m=0,1,2,…,7
{10, 2.7 - j6.5, 1 j, 1.3- j0.5, 0,1.3 j0.5, 1 j, 2.7 j6.5}
10
10
8
| X (e j ) |
8
6
| X[m]|
6
4
4
2
2
00
/2
0
3/2 2
0
x[k ]
| X1(ej ) |
| X1[m] |
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
40 30 20 10
0 -1
5
10
15
20
25
30
35
-0.5
0
0.5
1
矩形窗：
w[k
]
1 0
0k N 其它
WN
(e j
)
DTFT{RN
[k ]}
sin( N / 2) sin( / 2)
j
e
N 1 2
w 2 / N 主瓣
WN (e j )
N
4 / N
)
1 T
T xT (t)e jn0tdt
x[k ] X (e j ) x[k ]e jk
k
~x[k ]
X~[m]
N
1
~x [k
]e
j 2
N
mk
k 0
有限长序列 xN [k的] 傅立叶变换DFT.
N 1
j2π mk
xN [k ] X N [m] xN [k ]e N
k 0
xN[k ]
/2
3/2
2
x1[k ]
幅度谱
x(t) cos(2f1t) cos(2f2t)
20
20
15 幅
10
度 10
谱 5
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频率(Hz)
N=30, X N (e j )
0 -300 -200 -100 0 100
频率(Hz)
200 300
N=30, L=64, fc
X ( j) [ ( 0 ) ( 0 )]
x[k] cos(0kT) cos(0k), k
X (e j ) [ 2 ( 0 ) 2 ( 0 )]
xN [k] x[k] wN [k]
X N (e j ) 0.5 [WN ( 0 ) WN ( 0 )]
抽样
30
35
-0.5
0
0.5
1
窗函数三： 哈明窗（hamming)
w[k ]
0.54 0
0.46 cos(2πk
/
N
)
0k N 其他
时域波形 幅度频谱
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20 15 10
5 0 -1
5
10
15
20
25
30
35
-0.5
0
0.5
1
窗函数四： 布拉克曼窗（Blackman）
2
假设连续信号持续时间有限，频带有限
X~[m]
A T
m
N
讨论：
（1） x(t) 无限长，其频带
有限
x(t) 抽样
X ( j)
A
x[k]
加窗 xN [k] DFT X[m]
X N (e j )
m 0 m
X (e j ) 2
A T
0 2
2
0 2
X [m]
m
0
N1
（2） x(t) 有限长，其频带无
限
四、混叠现象、泄漏现象、栅栏现象
（1）混叠现象：减小抽样间隔T，抗混滤波
X
(e j )
1 T
n
X ( j(
nsam))
1 T
n
X(j 1 T
(
n 2 ))
x(t)
抗混滤波 抽样间隔T
x0 (t )
抽样
x0[k] DFT X [m]
X ( j) A
X0 ( j) A
X 0(e j ) A
海明窗
20
N=25
10
幅度谱
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频 率(Hz )
海明窗
20
N=50
10
幅度谱
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频 率(Hz )
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频 率(Hz )
利用Hamming窗计算有限长余弦信号频谱
I0( )
时域波形 幅度频谱
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20 15 10
5 0 -1
5
10
15
20
-0.5
0
0k N
25
30
35
0.5
1
为了说明时域加窗对连续信号频谱分析的影响，现分析一无穷长的余弦 信号的频谱。
抽样
x(t)
x[k] 加窗 xN [k] DFT
X [m]
x(t) cos(0t), t
xL
[k
]
x 0
N
[k
]
0 k N 1 N k L 1
fc
fsam (Hz), L
LN
x[k] {2, 3, 3, 2}
x1[k] {2, 3, 3, 2, 0, 0, 0, 0}
解：
3
X (e j ) DTFT{x[k]} x[k] e-jk x[k] e-jk
k
k 0
7
X1(e j ) DTFT{x1[k]} x1[k] e-jk x1[k] e-jk
k
k 0
3
x1[k ] e-jk
-
e
j.3 2
(4
cos
3
6
cos
1
)
k 0
2
2
N 1
- j2 km
7
- j2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱkm
3
- j2 km
X1[m] x1[k ] e N x1[k ] e 8 x[k ] e 8
-
e
j.3 2
(4 cos
3
6
cos
1
)
2
2
N1
- j 2 km
3
- j 2 km
X [m] x[k] e N x[k] e 4
k 0
k 0
{10, 1 j, 0, 1 j}
X[m]
X (e j )
2 m 4
-
.3 j
e2
(4 cos 3 2
6 cos 1 2
)
m 2
{10, 1 j, 0, 1 j} ，m=0,1,2,3
0.42 0.5cos(2πk / N ) 0.08cos(4πk / N ) 0 k N
w[k] 0
其他
时域波形 幅度频谱
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
15
10
5
0 -1
5
10
15
20
25
30
35
-0.5
0
0.5
1
窗函数五： 凯塞窗（Kaiser）
w[k] I0(
1 (1 2k / N )2 ,
其频谱时，能够分辨此两个谱峰所需的最少样本点数。
x[k] x(t) tkT cos(2f1k / fsam ) cos(2f 2k / fsam )
f f 2 f1
矩形窗
w
2
N
2 2fT 2f
N
f sam
N fsam / f 30
幅度谱
幅度谱
加矩形窗
20
15
10 5
0 -300
-200
2. 抽样时间: 3. 抽样点数:
f sam 2 f m
T
1
f sam
1 2 fm
Tp
NT
N f sam
1 f c
N Tp min 2 fm Tmax fc
感谢下 载
x(t)
()
0
x[k] 加窗 xN [k] DFT
X ( j)
()
X [m]
0
0
X 32 ( j)
频率泄漏
0
0
0
X 64 ( j)
频率泄漏
0
0
0
已知一连续信号为
x(t) cos(2f1t) cos(2f2t)
f1 100Hz
f2 120Hz
若以抽样频率 fsam 600 Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析
抽样
x(t)
DFT
x[k]
X [m]
X ( j)
A
0
2
X (ej ) 0 2
X[m]
0
m N1
（3） x(t) 无限长，其频带无
限
x(t) 抽样
X ( j) A
x[k]
加窗
DFT
xN [k]
X [m]
X N (e j )
0
X (e j )
2
0 2
X[m]
2
0 2
出现三种现象：混叠、泄漏、栅栏
m
0
N1
x(t) cos(2f1t) 0.15cos(2f2t)
f1 100Hz
f2 150Hz
若以抽样频率 fsam 600 Hz对该信号进行抽样，试求由DFT分析其频谱。
幅度谱
幅度谱
20
矩形窗
20
N=25
10
10
矩形窗 N=50
0 -300 -200 -100 0 100 200 300
频率(Hz)