内蒙古翁牛特旗乌丹第一中学高一数学下学期期中试题[1]

内蒙古翁牛特旗乌丹第一中学2017-2018学年高一数学下学期期中试题
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2017-2018学年度乌丹一中高一数学下学期期中测试
一、单选题（共12小题，每题5分,共60分）
1. 等差数列{n a ｝中，1696=+a a ，14=a ，则11a ＝（ ） A 。

64 B 。

32 C 。

30 D 。

15
2. ΔABC 中,A=
6π， B=4
π
,b=2,则a 等于（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．23
3. 等比数列}{n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a a （ ）
A 。

21 B.42 C 。

63 D.84
4. 若一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A 。

12 B. 32 C. 1 D. 1
3
5. 设变量x ，y 满足约束条件0,
20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪
⎨⎪⎩
则目标函数
2z x y =+的最小值为（ )
A 。

2 B.3 C 。

4 D.5
6.已知}{n a 是等比数列， 251
2,4
a a ==,则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ）
A 。

()1614n --
B 。

()1612n -- C. ()32143n -- D. ()32
123
n --
7.已知2lg 8lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ，则y
x 31
1+的最小值是（ ）
A 。

1 B. 2 C. 3 D. 4
8.《算法统宗》是中国古代数学名著．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“竹筒容米”就是其中一首：家有九节竹一茎，为因盛米不均平；下头三节三升九，上梢四节贮三升；唯有中间二节竹，要将米数次第盛；
若是先生能算法，也教算得到天明！大意是：用一根9节长的竹子盛米，每节竹筒盛米的容积是不均匀的．下端3节可盛米3.9升，上端4节可盛米3升，要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，则中间两节可盛米为（ ）升． A ．1.9 B ．2.1 C ．2。

2 D ．2.3
9.在△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a c b 4
1
=-，C B sin 3sin 2=，则cosA=（ ）
A 。

1611 B 。

87 C.41 D 。

4
1- 10。

圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。

若该几何体的表面积为16 ＋ 20π，则r ＝（ )
A.8 B 。

4 C.2 D 。

1
11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若b
2
＋c 2
＋bc －a 2
＝0，则c
b C a --︒)30sin(等于（ ）
A. 12 B 。

32 C 。

1
2
- D 。

32-
12.定义
n
p p p n
+++......21为n 个正数n p p p ,.....,,21的“均倒数”,已知数列}
{n a 的前n 项的“均倒数”为121
+n ，又4
1+=n n a b ，则
=+++111032211......11b b b b b b （ ） A ．
1211 B ．1110 C ．10
9 D ． 111
二、填空题（共4个小题，每题5分）
13。

如图，一个封闭的三棱柱容器中盛有水，且侧棱长AA 1＝8．若侧面AA 1B 1B 水平放置时,液面恰好经过AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点． 当底面ABC 水平放置时，液面高度为________．
14。

已知32x <
，则函数()4
223
f x x x =+-值域是__________． 15.设等比数列}{n a 满足5,104231=+=+a a a a ，则n a a a ...21的最大值为
__________．
16。

在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若
cos cos 3sin 3sin B C A
b c C
+=， cos 3sin 2B B =，则a c +的取值范围是 ．
三、解答题（共计70分)
17。

雾霾大气严重影响人们生活,某科技公司拟投资开发新型节能环保产品，策划部制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，经过市场调查,公司打算投资甲、乙两个项目，根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和60％，可能的最大亏损率分别为20%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元要求确保可能的资金亏损不超过1。

6万元。

（1)若投资人用x 万元投资甲项目,y 万元投资乙项目，试写出x 、y 所满足的条件，并在直角坐标系内做出表示x 、y 范围的图形；
（2)根据（1）的规划,投资公司对甲、乙两个项目投资多少万元,才能是可能的盈利最大？
18。

已知数列{n a ｝是等差数列，满足15,3321=+=a a a ,数列｛n b ｝满足
20,441==b b ，且｛n n a b -｝为等比数列．
（1)求数列{n a }和｛n b }的通项公式； （2）求数列{n b ｝的前n 项和．
19.△ABC 的内角A,B ，C 的对边分别为a ，b,c ，已知sin A ＋错误!cos A ＝0，a ＝2错误!，b ＝2。

（1)求c ；
(2）设D 为BC 边上一点，且AD⊥AC，求△ABD 的面积．
20。

已知数列{}n a 满足()*113
,31.2n n a a a n N +==-∈
（1)若数列{}n b 满足1
2
n n b a =-,求证： {}n b 是等比数列；
(2）令n n b n c ⋅=3，求数列{}n c 的前项和.n S
21.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为A
a sin 32。

（1）求sin Bsin C ；
（2）若6cos Bcos C ＝1,a ＝3，求△ABC 的周长．
22。

已知数列{}n a 满足1122(1)22n n a a na n ++++=-+，n N *∈．
(1）求数列{}n a 的通项公式; (2）若1
22log log 1
+⋅=
n n n a a b ,n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使得不等式
2291n n n k n T n ⋅-+≥()恒成立的实数k 的取值范围．
高一数学期中测试答案：
1—5 DABAB 6-10 CDBDC 11,12 AB
13.6 14.(],1-∞- 15. 64 16.]
3,23
⎝
⎛
17.解：(1）由题意，⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0
06.11.02.010
y x y x y x 上述不等式组表示的
平面区域如图中阴影部分（含边界)，
根据（1）的规划和题设条件，可知目标函数为y x z 6.0+=,
作直线06.0:0=+y x l ，并作平行于直线)R (6.0∈=+z z y x 与可行域相交，当平行直线经过直线10=+y x 与6.11.02.0==y x 的交点A 时，其截距最大,解方程组⎩
⎨⎧===+6.11.02.010y x y x ，解得⎩⎨
⎧==46y x ，即)4,6(A ， 此时4.846.06=⨯+=z （万元）,
∴当6=x ，4=y 时，z 取得最大值。

即投资人用6万元投资甲项目,4万元投资乙项目，才能确保亏损不超过1.6万元，使可能的利润最大。

18. 解：(1）法一：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，由已知,有
15
23
111=+++=d a d a a ，
解得
3
31==d a
法二：由已知，,31=a 154132=+=+a a a a ，124=∴a ，设等差数列｛a n ｝的公差为d ，d ＝
413a a -＝123
3
-＝3． 所以a n ＝a 1＋（n －1）d ＝3n （n ＝1，2，…）．
设等比数列｛b n －a n ｝的公比为q ，由题意得q 3
＝4411b a b a --＝2012
43
--＝8,解得q ＝2。

所以b n －a n ＝(b 1－a 1）q
n －1
＝2
n －1
,从而b n ＝3n ＋2
n －1
（n ＝1，2,…)．
(2）由（1）知b n ＝3n ＋2
n －1
（n ＝1,2，…）．
数列｛3n}的前n 项和为32
n （n ＋1），数列{2n －1｝的前n 项和为1×1212n --＝2
n
－1．
所以，数列{b n }的前n 项和为32
n （n ＋1）＋2n
－1．
19.．解 (1)由已知可得tan A ＝－错误!，所以A ＝错误!.
在△ABC 中，由余弦定理，得28＝4＋c 2
－4c·cos 错误!， 即c 2
＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去）,c ＝4. (2)由题设可得∠CAD＝错误!， 所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝错误!。

故△ABD 的面积与△ACD 的面积的比值为错误!＝1. 又△ABC 的面积为错误!×4×2sin∠BAC＝2错误!， 所以△ABD 的面积为错误!. 20.解: (1） 由题可知()
*111322n n a a n N +⎛
⎫-
=-∈ ⎪⎝
⎭,从而有13n n b b +=， 111
12
b a =-
=，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列. （2) 由（1）知13n n b -=,
n n n n n n nb c 33331=⋅==∴-
n n n S 3323121⋅++⋅+⋅=∴L (1)
把（1）乘以3得
132332313+⋅++⋅+⋅=∴n n n S L (2)
由（1)-(2）得
132333332+⋅-++++=-n n n n S L
133
1)
31(32+⋅---=-n n n n S
经化简整理，得
4
33)12(411+⋅-=
∴+n n n S
21。

解 (1)由题设得错误!acsin B ＝错误!,即错误!csin B ＝错误!。

由正弦定理，得错误!sin Csin B ＝错误!， 故sin Bsin C ＝错误!.
(2）由题设及（1）,得cos Bcos C －sin Bsin C ＝－1
2，
即cos(B ＋C ）＝－错误!.所以B ＋C ＝错误!，故A ＝错误!. 由题意得错误!bcsin A ＝错误!，a ＝3，所以bc ＝8. 由余弦定理,得b 2
＋c 2
－bc ＝9，
即（b ＋c)2
－3bc ＝9。

由bc ＝8，得b ＋c ＝错误!。

故△ABC 的周长为3＋错误!。

22.(1)当时,
①-②得,
所以
, 当
时， ，所以， ．
（2）因为
， 所以 122log log 1+⋅=
n n n a a b =1
1
1)1(1+-=+n n n n
∴12111111223
11
n n n
T b b b n n n =++
+==-
+-++
-=
++, 由2291n n n k n T n ⋅-+≥()恒成立,即292n n k -≥恒成立．
设292n n n d -=,1112(1)929112222
n n n n n n n n
d d ++++----=-=，
所以当6n ≥时，数列{}n d 单调递减，当15n ≤≤时，数列{}n d 单调递增;
又56133264d d =
<=
,所以数列最大项为6364d =，∴3
64
k ≥。