石拐区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

石拐区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 直线的倾斜角是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）
B ．D ．上是减函数，那么b+c （
）
A ．有最大值
B ．有最大值﹣
C ．有最小值
D ．有最小值﹣
3． 把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移
个单位，得到函数y=f （x ）的图象关于直线x=
对称，则φ的值为（ ）
A ．﹣
B ．﹣
C ．
D ．
4． 关于函数，下列说法错误的是（ ）2
()ln f x x x
=
+（A ）是的极小值点
2x =()f x （ B ） 函数有且只有1个零点 ()y f x x =- （C ）存在正实数，使得恒成立
k ()f x kx >（D ）对任意两个正实数，且，若，则12,x x 21x x >12()()f x f x =124
x x +>
5． 已知曲线C 1：y=e x 上一点A （x 1，y 1），曲线C 2：y=1+ln （x ﹣m ）（m ＞0）上一点B （x 2，y 2），当y 1=y 2时，对于任意x 1，x 2，都有|AB|≥e 恒成立，则m 的最小值为（ ）
A ．1
B ．
C ．e ﹣1
D ．e+1
6． 若集合M={y|y=2x ，x ≤1}，N={x|
≤0}，则 N ∩M （
）
A ．（1﹣1，]
B ．（0，1]
C ．[﹣1，1]
D ．（﹣1，2]
7． 如果集合 ，同时满足,就称有序集对
,A B {}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A =为“ 好集对”. 这里有序集对是指当时，和是不同的集对， 那么
(),A B (),A B A B ≠(),A B (),B A “好集对” 一共有（ ）个
A ．个
B ．个
C ．个
D ．个
8． 十进制数25对应的二进制数是（
）A ．11001B ．10011
C ．10101
D ．10001
9．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
10．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
【考点】直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离．
11．已知f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，则f（x）g（x）＞0的解集为（）
A．（﹣，﹣a2）∪（a2，）B．（﹣，a2）∪（﹣a2，）
C．（﹣，﹣a2）∪（a2，b）D．（﹣b，﹣a2）∪（a2，）
12．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B 两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）
A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1
二、填空题
13．设A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，A∩B=B，则a的取值范围是 ．
14．已知圆O：x2+y2=1和双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）．若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外
），均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，则﹣= ．
15．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号 ．（写出所有真命题的序号）．
①设A，B为两个定点，若|PA|﹣|PB|=2，则动点P的轨迹为双曲线；
②设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10﹣|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；
④双曲线﹣=1与椭圆有相同的焦点．
16．△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为 ．　
17．椭圆+=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．
18．如图所示是y=f（x）的导函数的图象，有下列四个命题：
①f（x）在（﹣3，1）上是增函数；
②x=﹣1是f（x）的极小值点；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数；
④x=2是f（x）的极小值点．
其中真命题为 （填写所有真命题的序号）．
三、解答题
19．已知等比数列中，。

（1）求数列的通项公式;
（2）设等差数列中，，求数列的前项和.
20．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．
（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；
（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．　
22．（1）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件
（2）求z=2x+y 的最大值，使式中的x 、y 满足约束条件+
=1．
23．已知，且．
（1）求sin α，cos α的值；（2）若
，求sin β的值．
24．【常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）】已知函数.
()()2
ln R f x x ax x a =-+-∈（1）若函数是单调递减函数，求实数的取值范围；
()f x a （2）若函数在区间上既有极大值又有极小值，求实数的取值范围.
()f x ()0,3a
石拐区实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为
，
∴tan α=
，
∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A ．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．　
2． 【答案】B
【解析】解：由f （x ）在上是减函数，知f ′（x ）=3x 2+2bx+c ≤0，x ∈，则
⇒15+2b+2c ≤0⇒b+c ≤﹣．
故选B ．　
3． 【答案】B
【解析】解：把函数y=cos （2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移
个单位，
得到函数y=f （x ）=cos[2（x+）+φ]=cos （2x+φ+
）的图象关于直线x=对称，
则2×
+φ+
=k π，求得φ=k π﹣
，k ∈Z ，故φ=﹣
，
故选：B ．　
4． 【答案】 C 【解析】
，，且当时，，函数递减，当时，，22212
'()x f x x x x
-=-
+='(2)0f =02x <<'()0f x <2x >'()0f x >
函数递增，因此是的极小值点，A 正确；，2x =()f x ()()g x f x x =-221'()1g x x x
=-
+-，所以当时，恒成立，即单调递减，又，2217()24x x -+
=-
0x >'()0g x <()g x 11(210g e e e =+->，所以有零点且只有一个零点，B 正确；设，易知当2222()20g e e e =+-<()g x 2()2ln ()f x x
h x x x x
==+
2x >时，，对任意的正实数，显然当时，，即，
222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=k 2x k >2k x <()
f x k x
<，所以不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数草
()f x kx <()f x kx >图
可看出（0，2）的时候递减的更快，所以124x x +>5． 【答案】C
【解析】解：当y 1=y 2时，对于任意x 1，x 2，都有|AB|≥e 恒成立，可得： =1+ln （x 2﹣m ），x 2﹣x 1≥e ，
∴0＜1+ln （x 2﹣m ）≤，∴
．
∵lnx ≤x ﹣1（x ≥1），考虑x 2﹣m ≥1时．
∴1+ln （x 2﹣m ）≤x 2﹣m ，令x 2﹣m ≤
，
化为m ≥x ﹣e x ﹣e ，x ＞m+．
令f （x ）=x ﹣e x ﹣e ，则f ′（x ）=1﹣e x ﹣e ，可得x=e 时，f （x ）取得最大值．∴m ≥e ﹣1．故选：C ．　
6． 【答案】B
【解析】解：由M 中y=2x ，x ≤1，得到0＜y ≤2，即M=（0，2]，由N 中不等式变形得：（x ﹣1）（x+1）≤0，且x+1≠0，解得：﹣1＜x ≤1，即N=（﹣1，1]，则M ∩N=（0，1]，故选：B ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．　
7． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为，所以当时，；当
{}{}{}{}1,2,3,41,1,1A B B A B =≠≠ ，A ={1,2}A ={1,2,4}B =时，；当时，；当时，；当时，{1,3}A ={1,2,4}B ={1,4}A ={1,2,3}B ={1,2,3}A ={1,4}B ={1,2,4}A =；当时，；所以满足条件的“好集对”一共有个，故选B.
{1,3}B ={1,3,4}A ={1,2}B =
考点：元素与集合的关系的判断.
【方法点晴】本题主要考查了元素与集合关系的判断与应用，其中解答中涉及到集合的交集和集合的并集运算与应用、元素与集合的关系等知识点的综合考查，着重考查了分类讨论思想的应用，以及学生分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于中档试题，本题的解答中正确的理解题意是解答的关键.1111]
8． 【答案】A
【解析】解：25÷2=12...112÷2=6...06÷2=3...03÷2=1...11÷2=0 (1)
故25（10）=11001（2）故选A ．
【点评】本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化，其中熟练掌握“除k 取余法”的方法步骤是解答本题的关键．　
9． 【答案】A
【解析】直线x ﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），
直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；
故．
故选A．
【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．
10．【答案】
【解析】解：（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC为x轴、y轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，则
P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0）
所以=（1，，﹣2），
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即﹣6+=0，解得t=，
所以PA=．
【点评】本小题主要考查空间线面关系的垂直关系的判断、异面直线所成的角、用空间向量的方法求解直线的夹角、距离等问题，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力
11．【答案】A
【解析】解：∵f（x），g（x）都是R上的奇函数，f（x）＞0的解集为（a2，b），g（x）＞0的解集为（，），且a2＜，
∴f（x）＜0的解集为（﹣b，﹣a2），g（x）＜0的解集为（﹣，﹣），
则不等式f（x）g（x）＞0等价为或，
即a2＜x＜或﹣＜x＜﹣a2，
故不等式的解集为（﹣，﹣a2）∪（a2，），
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的对称性的性质求出f（x）＜0和g（x）＜0的解集是解决本题的关键．
12．【答案】A
【解析】解：∵△AF1B的周长为4，
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
二、填空题
13．【答案】　a≤0或a≥3　．
【解析】解：∵A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=B，
∴B⊆A，
则有a+1≤1或a≥3，
解得：a≤0或a≥3，
故答案为：a≤0或a≥3．
14．【答案】　1　．
【解析】解：若对双曲线C上任意一点A（点A在圆O外），
均存在与圆O外切且顶点都在双曲线C上的菱形ABCD，
可通过特殊点，取A（﹣1，t），
则B（﹣1，﹣t），C（1，﹣t），D（1，t），
由直线和圆相切的条件可得，t=1．
将A（﹣1，1）代入双曲线方程，可得﹣=1．
故答案为：1．
【点评】本题考查双曲线的方程和运用，同时考查直线和圆相切的条件，属于基础题．
15．【答案】　②③　．
【解析】解：①根据双曲线的定义可知，满足|PA|﹣|PB|=2的动点P不一定是双曲线，这与AB的距离有关系，所以①错误．
②由|PA|=10﹣|PB|，得|PA|+|PB|=10＞|AB|，所以动点P的轨迹为以A，B为焦点的图象，且2a=10，2c=6，所以a=5，c=3，根据椭圆的性质可知，|PA|的最大值为a+c=5+3=8，所以②正确．
③方程2x2﹣5x+2=0的两个根为x=2或x=，所以方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，所
以③正确．
④由双曲线的方程可知，双曲线的焦点在x轴上，而椭圆的焦点在y轴上，所以它们的焦点不可能相同，所以④错误．
故正确的命题为②③．
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查圆锥曲线的定义和性质，要求熟练掌握圆锥曲线的定义，方程和性质．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，
∴由正弦定理可得：，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
17．【答案】　4　．
【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2sinθ）
则P到直线的距离为d==，
当sin（θ﹣）=1时，d取得最大值为4，
故答案为：4．
18．【答案】　①　
【解析】解：由图象得：f（x）在（1，3）上递减，在（﹣3，1），（3，+∞）递增，
∴①f（x）在（﹣3，1）上是增函数，正确，
x=3是f（x）的极小值点，②④不正确；
③f（x）在（2，4）上是减函数，在（﹣1，2）上是增函数，不正确，
故答案为：①．
三、解答题
19．【答案】
【解析】
解：（1）设等比数列的公比为
由已知，得，解得
（2）由（1）得
设等差数列的公差为，则，解得
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，
即sinB（sin2A+cos2A）=sinA
∴sinB=sinA，=
（Ⅱ）由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=
由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，
可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=
所以B=45°
【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，
∴∠PCB=，PC=，
∵∠ACB=，∴∠ACP=，
在△PAC中，由余弦定理得：PA2=AC2+PC2﹣2AC•PC•cos=5，
整理得：PA=；
（2）在△PBC中，∠BPC=，∠PCB=θ，
∴∠PBC=﹣θ，
由正弦定理得：==，
∴PB=sinθ，PC=sin（﹣θ），
∴△PBC的面积S（θ）=PB•PCsin=sin（﹣θ）sinθ=sin（2θ+）﹣，θ∈（0，），
则当θ=时，△PBC面积的最大值为．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
22．【答案】
【解析】解：（1）由题意作出可行域如下，
，
结合图象可知，当过点A（2，﹣1）时有最大值，
故Z max=2×2﹣1=3；
（2）由题意作图象如下，
，
根据距离公式，原点O到直线2x+y﹣z=0的距离d=，
故当d 有最大值时，|z|有最大值，即z 有最值；
结合图象可知，当直线2x+y ﹣z=0与椭圆
+
=1相切时最大，
联立方程
化简可得，
116x 2﹣100zx+25z 2﹣400=0，
故△=10000z 2﹣4×116×（25z 2﹣400）=0，故z 2=116，
故z=2x+y 的最大值为
．
【点评】本题考查了线性规划的应用及圆锥曲线与直线的位置关系的应用．　
23．【答案】
【解析】解：（1）将sin +cos
=
两边平方得：（sin
+cos
）
2=sin 2
+2sin cos +cos 2=1+sin α=
，∴sin α=，∵α∈（，π），
∴cos α=﹣=﹣
；
（2）∵α∈（，π），β∈（0，），
∴α+β∈（
，
），
∵sin （α+β）=﹣＜0，∴α+β∈（π，），
∴cos （α+β）=﹣
=﹣，
则sin β=sin=sin （α+β）cos α﹣cos （α+β）sin α=﹣×（﹣
）﹣（﹣）×=
+
=
．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及运用诱导公式化简求值，熟练掌握公式是解本题的关键．　
24．【答案】（1）2）.a ≤193
a <<
【解析】试题分析：
（1）原问题等价于对恒成立，即对恒成立，结合均值不等式的结论可()0f x '≤()0,+∞1
2a x x
≤+()0,+∞得
a ≤（2）由题意可知在上有两个相异实根，结合二次函数根的分布可得实数的()221
0x ax f x x
-+-'=
=()0,3a 取值范围是
.
19
3
a <<试题解析：
（2）∵函数在上既有极大值又有极小值，
()f x ()0,3∴在上有两个相异实根，()221
0x ax f x x
-+-'=
=()0,3即在上有两个相异实根，
2210x ax -+=()0,3记，则，得，()2
21g x x ax =-+()()0
03{ 4
0030a
g g ∆><<>
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即
.
19
3
a <<。