数模案例1叠砖问题课件

2019年6月3日星期一3时
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40分9秒
TZC-MCM 李韶伟 677193
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A 1, A* 2 A 3.5, A* 7 A 1.7, A* 4
w
w
w
总之，A 越大，衣服洗的越干净，但是这是有限度的. w
比如设总共20斤水，拧干衣服残留1斤水，则极限
1 是污物不会比 40 更少. 2 2019年6月3日星期一3时
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k 3
y (1 k )x x
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考虑n+k个正数 c1, c2 , , cn , cn1,
于 A 的整数.
w
取 c1 c2

cn
1
A nw
, cn1

, cnk , 此处k为大
cnk
1
A kw
，有
(1
A )n (1 nw
A )k kw


n(1

• 1.所提供的砖规格都是一样的； • (砖均为标准的长方体1长×h高×d宽， • 且 0<h<d<1) • 2.密度均匀，表面平整光滑； • 3.各块砖放平，放齐； • 4.摆放无其他自然条件的限制和影响。 • 摆放如下图所示
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叠砖示意图
h
d 1
2019年6月3：每块砖相同伸出量
E
G
aF
a
a
A
DB
C
每块砖都比下面一块砖多伸出一段长为a；
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• n块砖可以伸出(n - 1) a 那么长； • (n - 1) a 不超过一砖之长！ • 上面(n-1)块砖的重心G不能落在最下面那块砖
之外，因此 DC≥BC • 又 DC=0.5×EF= 0.5×[1+(n - 2) a]
容易看出，利用“均值不等式”，让分母最大，mn 有最小值.
c c n
(1
a1
1
)(1
a22
)
ww
cn
(1

an )
c1
in1 c(12nawi
)
n

cn
(1
A )n
w n
nw


其中A，n，w为常数.
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漂洗的用水量不同
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我再也不要
我最喜欢洗衣服了~ 洗衣服了！ 洗
衣
好服 的开心啊~
次
数
也
会
影
我又洗了一遍~
响 结
果
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污物
用水量 次数
剩余水量 分布
……
众多因素，哪些有用哪些没用？或者哪些 是常量，哪些是要研究的量呢？
• BC =(n -1) a • 故 0.5×[1+(n - 2) a] ≥ (n -1) a • 即 n a≤1， (n -1) a ≤ (n -1)/n < 1 • 均匀伸出摆放，伸出最多不超过一砖之长！
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方案2：每块砖伸出长短不一
此处G3很关键
M3 M4
(1
m0 A
)n1
(n 1)w
n c1c2
cn

c1
c2
n
cn
(1

A nw
)n
1


n(1 A ) nw
n 1

n1
1

1


(n
A 1)w
n 1


这表明，将总水量A分成n+1次要比n次洗的更干净！
用一定量A的水可否将衣服洗得要多干净有多干净呢？
1 (1 1 1 1)
2 23
n
当n增大时，每次伸出量的增加为1/(2n)，但是全 部伸出量加起来却可以要多大有多大！
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An

1 2
(1
1 2

1 3

1) n
11 11 34 44
11111111 5678 8888
n次漂洗后，剩余污渍mn 满足关系式：
mn

m0 (1 A
)n
nw
当 1 a1 1 a2 1 an 时,等式成立，
ww
w
即 a1 = a2 = …… = an ，说明每次用水量相等。
此时剩余污渍
mn

m0 (1 A
)n
nw
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进一步，我们考虑n与mn的关系.
1 1 1 8 1
9 10
16 16
1 2m1
1

1 2m1
2


1 2m1 2m1

2m1

2m1
1
2m1

1 2
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1 1 1 23

1 2m
1 m 1 2

m2 2
这表明An可以要多大就有多大(无穷大)！ 比如有65块砖，便可以使顶层比底层伸出2砖 之长。砖数加倍，上面能多伸出1/4砖长。
mn

m0 (1 A
)n
nw
为了衣服能够漂洗更加干净，即要让mn达到最小， 则需要 (1 A )n 最大.
nw
此处 A 为固定常数.即可调整的是漂洗次数n. w
将总水量A分成n+1次是否要比n次洗的更干净呢？
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比较
mn

m0 (1 A
)n
nw
和 mn1
n越大越好！
k 2 k 1
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模型结论：
漂洗的优化程序是： a．根据需洗衣服的质量确定漂洗一次衣服的最小用水
量m0. (以能浸透衣服为标准)
b．确定漂洗的次数 n


A m0

，([x]为x的整数部分).
c．将清水均分为n份，每份
A m0
，然后分n次漂洗.
让我们从一个简单问题中找 思路～
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脏衣服在用洗衣粉充分漂洗之后，一般要把衣服
拧干，尽可能的拧掉污水，再进行下一轮漂洗。假设 每漂洗一次拧干后衣服中还留有含污物的水1千克。现 有10千克清水，按下面三种方法漂洗： 1.直接把衣服放入10千克水中，一次漂洗。
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模型的构成：
为简便计算过程，先定义常量。
初始的污物质量m0，是一常数。
总用水量A，在现有问题描述中是一常数。
每次充分拧干后，衣服上残存水量w，为一常数。
漂洗的次数 n.
第i次充分拧干后衣服上残留的污物质量为 mi .
第i次漂洗的用水量ai，i＝l,2, … ,n.
An是无穷级数发散！
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努力不一定成功 放弃一定是失败
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数模案例2 漂洗的优化问题
问题描述：洗衣服时，衣服用肥皂或洗衣粉搓洗 过后 ，衣服上总带着污物需要用清水来漂洗， 要建立数学模型分析如何安排清洗的程序，使得 用这些水漂洗的衣服最干净。
2.把10千克水分成两份，一份3千克，另一份7千克， 分两次漂洗。
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3.把10千克水平均分成两份，每份5千克，分两次漂洗。 哪一种方法洗出来最干净？
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模型假设：
(1).污物均匀分布在衣服上。
(2).衣服在第一次漂洗前有一定含水量， 其含水量与 以后每次漂洗后衣服的含水量相同。 (3).忽视水温、水质等对漂洗结果的影响。
量成正比：
m1 m0 w w a1
故：
m1

m0w w a1
=
m0 1 a1
w
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同理：
m1

m0w w a1
= m0 1 a1
w
m2

m1w w a2
=
(1
m0 a1 )(1
a2
)
ww
用数学归纳法即可证明：
mn

(1
a1 )(1
m0 a2 )
ww
(1 an ) w
想办法让 mn 尽量小！
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mn

(1
m0 a1 )(1 a2 )
ww
当漂洗的次数n为一定时，如何
(1 an ) 选取每次的用水量ai，才能漂洗的
w 最干净？即剩余污渍mn最小？
n
我们已知： ai A. i 1
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模型准备：
对于一次洗衣的过 程干净与否，到底都与 什么因素有关呢？
衣服上本身的污物多 少，好洗不好洗?
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1.污物在水中的分 布不一样 2.漂洗后衣服上剩 余水的质量
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漂洗的力量不同！

A ) k(1 nw
nk
A kw
)

nk

1


即
(1 A )n 1 nw (1 A )k kw
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在此不妨取A*为不小于 2 A 的最小整数，即
k

A*

2A w
，进而
1 1
w
A
2.
kw
(1 A )n 2A*
(*)
nw
G2
G1
G3
G4
a2

1 4
a3

1 6
a1

1 2
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Gn Gn-1
n
Mn
n+1
1 2
Bn
an

1 2n
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• 用n+1块砖建塔，总的伸出量为(顶砖和底砖的重 心的水平距离)：
111
1
An 2 4 6
2n
数模案例1 叠砖问题
TZC-MCM 李韶伟 677193
问题描述
• 请用一些同样规格的砖叠一座小斜塔，能 使它斜到什么程度？
• 倾斜的程度刻画： • 最上面的一块砖的重心和最下面一块砖
重心的水平距离有多远？ • 最上面和最下面的同一侧边的水平距离！
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基本假设
n
且
ai A .
i 1
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继续简化过程
首先考虑n次漂洗之后，剩余污渍mn 与每次用水
量ai 的关系.
进一步，再考察n与mn的关系.
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40分9秒
由假设可知，第一次放水后， m0 克污物均匀分布
(w+a1)千克水中，衣服上残留的污物量 m1与残留的水