转子动平衡教程

14.06.2020
6
二、转子在不平衡力作用下的运动方程
设一转子为等截面轴，简支在各向同性的支承上
轴的面积为A，单位长度质量为ρA，截面质心为G(z)，截 面偏心距为ε(z)，质心连线为一空间曲线。如图所示。 根据牛顿运动定律，得到yoz平面内的运动方程：
其中 则有 由材料力学可知
代入运动方程得到
目的：1）将不平衡力与不平衡力偶降到许可范围
2）将n阶固有振型不平衡量降到许可范围
3.标准：1）国际标准草案DIS5406—《柔性转子
动平衡》
2）参考标准5343《柔性转子动平衡》
4.方法：1）振型(模态)平衡法
2）影响系数法
3）混合法等
14.06.2020
4
5. 平衡特点 1)刚性转子，低速平衡后，在工作转速以下运行平稳； 2)柔性转子，低速平衡后，仅平衡了低速下支承动反力，
不平衡当量Une，即
柔性转子的平衡不考虑阻尼情况下应满足下列三个力学平衡 方程：
14.06.2020
22
方程组中，第一、第二两式为刚性平衡条件；第三式为柔 性平衡条件。
二、配重面的选择及矢量平衡原理
1）柔性转子平衡为多平面多转速平衡； 2）平衡面选取：有N平面及N+2平面法两种； N平面法：平衡N阶振型，选用N个平衡面； N+2平面法：平衡N阶振型，选用N+2个平衡面。 一般N平面法不能完全平衡支承动反力。但两种方法都有使
5）实际发动机只有少数几个平面可用于平衡；只能在有限 个转速上得到平衡。
6）问题：如何利用少数几个平面来获得一定转速范围内转 子的良好平衡。
7）假设条件：
a)在一定平衡条件下，轴承振幅与转子不平衡量成正比。
b)轴承振幅与不平衡力之间的相位不变。
c)转子中非线性因素(如油膜)等影响，不影响上述假设条件
量为
A
01
及
B
01
，则矢量（A01B01A0 2
B0） 即为 2
P
s
引起的反对称振动分量，故应加校正量为：
14.06.2020
26
三、柔性转子平衡时的支承动反力 柔性转子动平衡目的： 1）消除支承动反力； 2）消除转子挠度与弯矩。 难于同时满足，则以最少的配重使转子在轴向、水平及垂
直三方向振动在整个转速范围内最小。 柔性转子挠曲振型为：
式中：
为了平衡转子第n阶主振型分量，要求平衡重量形成的第n 阶振型质心偏移和转子自身第n阶主振型质心偏移在同一平 面上，大小相等，方向相反，即满足
即
若有一组k个最小的不平衡重量Uj，与n阶不平衡量相当, 即
14.06.2020
21
式中：U(z)——转子不平衡量分布函数。
k
其中： | U j | 值应为最小。称这组量Uj(j=1~k)为第n阶振型 j1
所以
s ( z ) c 1 s i n ( k z ) c 2 c o s ( k z ) c 3 s h ( k z ) c 4 c h ( k z )
代入边界条件：z=0， s(0)=0， s '' (0) 0
解得：
z=l， s(l)=0， s'' (l ) 0
c2=c3=c4=0，
14.06.2020
2
2）一步平衡，多为短寿命军用发动机采用
3）多步平衡，多为长寿命民用发动机采用
4）平衡方法：寻找重点 寻找轻点（频闪法）
影响系数法 极坐标矢量图法
三元平衡法
5）原理：不平衡力Pj产生支反力FP1与FP2
则动在平支衡点：有不合平力衡力u u F F 矩v v1 'P 1 R L m 产u F v 1e 生R 1 1 支2u F 反v 1 力u F v1 FR1与Fu F Rv 2'2 u F v P m 2 2eu F 2 v R 2 2 u F v u F v 2 2
平面曲线，但实际进行动平衡时，仍以无阻尼的主振型平 面加以考虑。 3.转子主振型的正交性 不平衡分布力在 x、y方向的分量为
14.06.2020
16
转子挠曲线在x、y轴上的投影为
各阶不平衡力在yoz平面和xoz平面上对k阶振型做功之和 为
由主振型正交性
14.06.2020
17
可知：
2)转轴振型为一平面曲线，振幅为 2 /(n2 2) 倍
3)当ω→ωn时，振幅→∞，产生第n阶主振型共振
3.ε(z)≠0,且质心为任意空间分布曲线，设为 (z)ei (z)
按主振型分解得
即有
质心分布示意图见图3-4所示
14.06.2020
12
式中
代入运动方程有
设转轴振型为
代入运动方程得 式中Sn(z)为第n阶振型函数，也是对应齐次方程解 所以有
式中：Cn1——n阶主振型系数，第二个下标表示所加平衡
重量编号；
sn(z)——各阶主振型函数，假设为已知。
利用正交性，对折合轴段质心偏移展开式两边乘以sn(z)，并 沿轴长积分，等式左边为：
等式左边为：
由此可得：
14.06.2020
20
若在不同位置z1、z2、…、zk截面上，分别在半径R1、R2、 …、Rk处加平衡配重W1、W2、…、Wk，k个平衡重量引起 转子质心的偏移为
图3-7为矢量平衡三角形： 矢量 M为转子测点相对某一角向参考坐标测得的振动，矢
量得的N振为动转，子则上矢某量点加NM试=配N 重—后同M 转为速试下重测P的点响与应参。考坐标下测
为消除原始振动，加试配重平面上所需校正量为：
14.06.2020
24
式中： N M 称为影响系数矢量(用于影响系数法)
设各阶振型函数为（简支梁情况）：
则转子振型为
转子原始不平衡n阶分量可写成
子变形为
14.06.2020
An2
Bn2
sinnz，则转
l
27
支承动反力刚性部分由力矩平衡关系得 设m(z)=m(常数——等截面轴)，上式积分整理得
柔性部分支承动反力为
积分整理得
因此，一个轴承上所受到的总动反力为
高速下轴产生弯曲变形，弯矩将随转速发生变化，支承 动反力也将发生变化；
3)柔性转子动平衡目的：在工作转速下，尽可能消除支承 动反力，并使转子沿轴长的弯矩最小
如图3-1所示，刚性转子有 对柔性转子有
14.06.2020
5
F为转子变形产生的离心力。
4）影响因素多：a)不同转速下挠度影响
b)各阶振型对平衡的影响
第三章 转子动平衡
低速动平衡（刚性转子动平衡）
工艺平衡
装配平衡
一步平衡
多步平衡
本机平衡Βιβλιοθήκη 整机（台架）平衡国际标准—ISO1940
高速动平衡（柔性转子动平衡）
模态平衡法
影响系数法
混合法
参考标准：DIS5406《柔性转子动平衡》标准草案
DIS5343《评价柔性转子平衡的准则》
（参考）
14.06.2020
14.06.2020
z
7
同理可得到xoz平面内的运动方程为
引入复数表达式，令 则有
式中：
为质心空间曲线
1.设ε(z)=0,即无质量偏心的情况，运动方程为
设解为 代入运动方程中
14.06.2020
8
并令
k 4 A 2 EJ
得到
z4
特征方程为
4 k4 0
则
1,2 mik
3,4 mk
但由于在临界转速时，支承位移较大，I、II平面的校正量对 III、IV、V平面仍有一定干扰。
图3-6(a)为平衡一阶振型时的三个平面的校正量，平面III的 校正量对二阶振型不起作用。图3-6(b)、(c)为平衡二阶及三 阶振型的校正量组。
测量柔性转子振型比较困难，可以轴承处的振动代替测量转 子挠度。即矢量平衡法。
特解为
14.06.2020
13
利用固有振型的正交性，得
解得系数 转子振动为
或
14.06.2020
14
三、柔性转子运动特点 1.柔度曲线s(z)随转速ω而变变化
1)ω<<ωc1时，
很小，可视为刚性转子；
2)ω>0.6ωc1，系数将增大，转子振型s(z)是各阶主振型 合成的空间曲线；
矢量（A01B01A0 B0） 为试重P s 引起的对称振动矢量。
2
2
14.06.2020
25
3）平衡一阶振型分量的校正重量为：
4）平衡二阶振型分量时，在二阶临界转速nc2附近测得两轴
承振动
A 0 及 B 0 ，其反对称分量为
A0
2
B 0
，它由二阶不
平衡量引起，加反对称试重 P s 后，测得两轴承处的振动矢
1）各阶主振动之间不发生能量传递； 2）n阶不平衡分量只能激起n阶主振型，不会激起其它各阶
振型；
3）利用主振型的正交性，可对转子进行逐阶平衡，完成柔 性转子动平衡。
14.06.2020
18
第三节 模态平衡法（振型平衡法）
一、模态平衡法及平衡条件 根据主振型的正交性，可采用逐阶平衡的办法进行柔性转
子动平衡。 对于一般转子，主要是前三阶振型。 以等截面轴为例进行分析，见图3-5 设距起始端z1处有一集中重量w1位于 半径R1上，集中重量均匀分布在2b 的范围内，以U(z)表示其分布。则
式中：
14.06.2020
19
取单位长度质量为m(=ρA)，则有
上式代表集中重量矩折合成单位长轴段质心偏移，按各阶主 振型展开成
14.06.2020
28
将
n2
(n)4
EJ代入得 ml4
或由材料力学，通过振型函数求导得
1.平衡一阶振型分量后的支承动反力 设（简支梁）一阶振型分量为C1sin(nπ/l)，其中 C1 A12B12 则一阶挠曲振型为
14.06.2020
29
设采用位于中部的一个集中质量校正，即z1=l/2，校正量为 W1R1，由（3-31）式得
c1sin(kl)=0
要求非零解，则 c1≠0， 所以 sin(kl)=0
因此有： kl=nπ
得到固有频率为
14.06.2020
9
各阶主振型为： 前三阶振型为
2. 设ε(z)≠0,即有质量偏心的情况，且质心按第n阶主振 型函数(平面)分布，运动方程为
设解为 代入运动方程得
根据假设，α(z)=常数，则有
14.06.2020
(z)ei(z) Ansn(z)
10
式中：An为系数，sn(z)为第n阶主振型
由运动微分方程，得到
设特解为
Dn为待定系数
代入运动方程得 方程的齐次通解为sn(z)，且有
故有 特解方程为 得到系数 故转轴的振型为
由此得到如下结论：
14.06.2020
11
1)若质心按第n阶振型分布，只激起第n阶主振动
3)ω→ωcn时，第n阶主振型幅值系数明显增大，其它各 阶则小很多；若ω→ωc1，此时振型近似有
4)随着转速增加，各阶主振型依次突现出来，一般转子， 主要是前三阶主振型的影响。
比较挠度曲线与不平衡量的关系，它们展开项相同，幅
值相差一个倍率
，考虑阻尼有
14.06.2020
15
式中ωcr——为无阻尼时系统的固有频率。 αr为挠度曲线各阶分量与该阶不平衡分量的相位差。 由于阻尼影响，即使在临界转速下，转子振型也不是一根
动平衡精度
1）me≤G0 (g.cm)
工程实际应用
2）eω≤G0 (mm/s) 国际标准—ISO1940
将平衡品质分为11个等级，按比值为2.5的等比级数递增排
列。
14.06.2020
3
第二节 柔性转子动平衡
一、柔性转子平衡特点
1.柔性转子：n>ncr1，转轴产生弯曲变形
2.高速动平衡：多平面、多转速平衡过程
由于n=1，z=l/2，故有
P
c M 称为反应系数矢量(用于模态平衡法)
N M
试重 P 在原方位反时针旋转θ角，其重量按OM对MN之比放
大，即为校正量。
平衡步骤：
1)在第一阶临界转速附近测得两轴承处振动矢量 A 0 、B 0 ，
分解为对称矢量 A 0 B 0 ，该分量由一阶振型分量引起。 2
2）加试配重 P s后，在同一转速下测得振动 A 01 、B 01 ，则
用。
平衡面选择很重要，选择不当将使平衡配重增大。原因： 平衡面选择主要依据转子振型，实际发动机平衡面选择受 到限制。
图3-6为N+2平面法的平衡面选取。 I、II平衡面消除III、IV、V平衡面对低速动平衡的影响。
14.06.2020
23
通常选择在紧靠支承的位置，以免影响高速时III、IV、V三 个平面对振型不平衡量的校正。
1
第一节 概 述
一、刚性转子动平衡
1、静平衡 目标：平衡静力
方法：随遇平衡法
2、动平衡 目标：平衡力与力矩
方法：动平衡机、低速平衡
工艺平衡
装配平衡
一步平衡
多步平衡
本机平衡
整机平衡
国际标准—ISO1940
3、动平衡基本要求
1）至少两个平衡面，平衡面距离要远，并尽能靠近支点； 平衡配重半径位置要尽可能大，以便达到最大效果。