2017届高考数学仿真卷：文科数学试卷(6)(含答案解析)

2017高考仿真卷·文科数学(六)(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设集合U={1,2,3,4,5},M={2,3,4},N={4,5},则(∁U M)∪N=()A.{1}B.{1,5}C.{4,5}D.{1,4,5}2.设(1+i)x=1+y i,其中x,y为实数,则|x+y i|=()A.1B.C.D.23.已知命题p:“∂x∈R,e x-x-1≤0”,则命题p为()A.∀x∈R,e x-x-1>0B.∀x∉R,e x-x-1>0C.∀x∈R,e x-x-1≥0D.∂x∈R,e x-x-1>04.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.5.已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1,a3,a4成等比数列,S n为数列{a n}的前n项和,则的值为()A.-2B.-3C.2D.36.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积是()A.36B.24C.12D.67.设定义在R上的奇函数y=f(x),满足对任意t∈R都有f(t)=f(1-t),且x∈时,f(x)=-x2,则f(3)+f 的值等于()A.-B.-C.-D.-8.若如下程序框图运行结果为S=41,则图中的判断框①中应填入的是()A.i>6?B.i≤6?C.i>5?D.i≤5?9.函数y=x sin x+cos x的图象大致为()10.直线x+(1+m)y=2-m和直线mx+2y+8=0平行,则m的值为()A.1B.-2C.1或-2D.-11.函数f(x)=2x-1+x-5的零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.定义在R上的函数f(x)满足f'(x)-f(x)=x·e x,且f(0)=,则的最大值为()A.1B.-C.-1D.0第Ⅱ卷非选择题(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.14.已知F1,F2为双曲线E:=1(a>0,b>0)的左、右两个焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为.15.已知x,y满足若z=x+my的最大值为,则实数m=.16.给出定义:若函数f(x)在D上可导,即f'(x)存在,且导函数f'(x)在D上也可导,则称函数f(x)在D上存在二阶导函数,记f″(x)=(f'(x))'.若f″(x)<0在D上恒成立,则称函数f(x)在D上为凸函数,以下四个函数在内不是凸函数的是.(填序号)①f(x)=sin x+cos x;②f(x)=ln x-2x;③f(x)=-x3+2x-1;④f(x)=x e x.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,tan C=.(1)求角C的大小;(2)若c=,求a2+b2的取值范围.18.(本小题满分12分)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.19.(本小题满分12分)如图,直角三角形ABC中,A=60°,沿斜边AC上的高BD,将△ABD折起到△PBD的位置,点E在线段CD上.(1)求证:PE⊥BD;(2)过点D作DM⊥BC交BC于点M,点N为PB的中点,若PE∥平面DMN,求的值.20.(本小题满分12分)已知椭圆的标准方程为=1(a>0).(1)当a=1时,求椭圆的焦点坐标及椭圆的离心率;(2)过椭圆的右焦点F2的直线与圆C:x2+y2=4a2(常数a>0)交于A,B两点,求|F2A|·|F2B|的值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-3ax2+3x+1.(1)设a=2,求f(x)的单调区间;(2)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C2:(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;(2)若射线l:θ=α(ρ>0)分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.23.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知|x1-2|<1,|x2-2|<1.(1)求证:2<x1+x2<6,|x1-x2|<2;(2)若f(x)=x2-x+1,求证:|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.参考答案2017高考仿真卷·文科数学(六)1.D解析(∁U M)∪N={1,5}∪{4,5}={1,4,5},故选D.2.B解析由(1+i)x=1+y i,可知x+x i=1+y i,故解得所以,|x+y i|=.故选B.3.A解析∵命题p:“∂x∈R,e x-x-1≤0”,∴命题p为“∀x∈R,e x-x-1>0”.4.D解析从题中4张卡片中随机抽取2张,共有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)6种不同的结果,其中2张卡片上的数字之和为奇数的是(1,2),(1,4),(2,3),(3,4)4种结果.所以所求的概率为.5.C解析设等差数列{a n}的首项为a1,公差为d(d≠0),因为a1,a3,a4成等比数列,所以a1a4=,即a1=-4d,所以=2.6.C解析由三视图可知几何体为四棱锥,作出直观图如图所示.由题意可知底面ABCD是边长为3的正方形,AP⊥平面ABCD,且AP=4,所以四棱锥的体积V=×3×3×4=12.故选C.7.C解析由题意,f(3)=f(-2)=-f(2)=-f(-1)=f(1)=f(0)=0,f=-f=-f=f=-,所以f(3)+f=0-=-.8.C解析由题意,得i=10,S=1,满足条件,执行循环体,第1次循环,S=11,i=9,满足条件,执行循环体,第2次循环,S=20,i=8,满足条件,执行循环体,第3次循环,S=28,i=7,满足条件,执行循环体,第4次循环,S=35,i=6,满足条件,执行循环体,第5次循环,S=41,i=5,此时i不满足循环条件,退出循环,所以判断框中的条件为i>5.故选C.9.D解析由题意得,函数y=x sin x+cos x是偶函数,当x=0时,y=1,且y'=sin x+x cos x-sin x=x cos x,显然在上,y'>0,所以函数y=x sin x+cos x在上单调递增,故选D.10.A解析∵直线x+(1+m)y=2-m和直线mx+2y+8=0平行,∴1×2-(1+m)m=0,解得m=1或-2,当m=-2时,两直线重合.故选A.11.C解析由f(0)f(1)=(1+1-5)>0,可排除A.由f(1)f(2)=(1+1-5)(2+2-5)>0,可排除B.由f(2)f(3)=(2+2-5)(4+3-5)<0,可知函数f(x)在(2,3)内一定有零点,故选C.12.A解析令F(x)=,则F'(x)==x,则可设F(x)=x2+c,c为常数,∴f(x)=e x.∵f(0)=,∴c=.∴f(x)=e x.∴.当x≤0时,≤0;当x>0时,≤1,当且仅当x=1时等号成立.所以的最大值为1,故选A.13.-2解析由题意,得a+b=(m+1,3).由|a+b|2=|a|2+|b|2,可得(m+1)2+32=m2+12+12+22,解得m=-2.14.解析因为MF1垂直于x轴,所以|MF1|=,|MF2|=2a+.因为sin∠MF2F1=,所以,化简得b=a,故双曲线的离心率e=.15.2解析如图,画出不等式组所表示的区域,即可行域,如图阴影部分所示.由题意可知,目标函数取最大值时,=x+my,x=-my,所以直线恒过定点,所以目标函数在点A处取到最大值,将A代入x=-my,从而可知m=2.16.④解析对于①,f″(x)=- (sin x+cos x),x∈时,f″(x)<0恒成立;对于②,f″(x)=-,在x∈时,f″(x)<0恒成立;对于③,f″(x)=-6x,在x∈时,f″(x)<0恒成立;对于④,f″(x)=(2+x)·e x,在x∈时,f″(x)>0恒成立,所以f(x)=x e x在内不是凸函数.17.解(1)因为tan C=,即,所以sin C cos A+sin C cos B=cos C sin A+cos C sin B,即sin C cos A-cos C sin A=cos C sin B-sin C cos B,得sin(C-A)=sin(B-C).所以C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去),即2C=A+B,又A+B+C=π,故C=.(2)由C=,可设A=+α,B=-α,0<A,B<,知-<α<.又2R==2,a=2R sin A=2sin A,b=2R sin B=2sin B,故a2+b2=4(sin2A+sin2B)=4=4-2=4+2cos 2α.由-<α<,知-<2α<,则-<cos 2α≤1,故3<a2+b2≤6.所以a2+b2的取值范围是(3,6].18.解(1)根据直方图知组距为10,由(2a+3a+6a+7a+2a)×10=1,解得a=0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2,成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A,B,成绩落在[60,70)中的3人为C,D,E,则成绩在[50,70)的学生任选2人的基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10个, 其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有CD,CE,DE共3个,故所求概率为P=.19.(1)证明因为BD是AC边上的高,所以BD⊥CD,BD⊥PD,又PD∩CD=D,所以BD⊥平面PCD.因为PE⊂平面PCD,所以PE⊥BD.(2)解连接BE,交DM于点F,连接NF,PE∥平面DMN,且PE⊂平面PEB,平面PEB∩平面DMN=NF,所以PE∥NF.因为点N为PB的中点,所以点F为BE的中点.因为∠BDC=90°,所以DF=BE=EF.又因为∠BCD=90°-60°=30°,所以△DEF是等边三角形.设DE=a,则BD=a,DC=BD=3a,所以.20.解(1)当a=1时,椭圆的标准方程为=1,所以焦点坐标F1(-1,0),F2(1,0),离心率e=.(2)当斜率不存在时,|F2A|=|F2B|=a,此时|F2A|·|F2B|=3a2;当斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-a),由得(1+k2)x2-2ak2x+k2a2-4a2=0,x1+x2=,x1x2=.|F2A|=|x1-a|,|F2B|=|x2-a|,所以|F1A|·|F1B|=(1+k2)|x1x2-a(x1+x2)+a2|=(1+k2)=3a2.所以|F2A|·|F2B|为定值3a2.21.解(1)当a=2时,f(x)=x3-6x2+3x+1,f'(x)=3(x-2+)(x-2-).当x∈(-∞,2-)时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,2-)内单调递增;当x∈(2-,2+)时,f' (x)<0,f(x)在(2-,2+)内单调递减;当x∈(2+,+∞)时,f'(x)>0,f(x)在(2+,+∞)内单调递增.综上,f(x)的单调递增区间是(-∞,2-)和(2+,+∞),f(x)的单调递减区间是(2-,2+).(2)因为f'(x)=3x2-6ax+3,而f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,等价于方程3x2-6ax+3=0在其判别式Δ>0(即a>1或a<-1)的条件下在区间(2,3)内有解.所以由3x2-6ax+3=0,可得a=,令g(x)=,求导函数可得g'(x)=.所以g(x)在(2,3)内单调递增,所以,即<a<.此时满足Δ>0,所以a的取值范围是.22.解(1)C1:ρ(cos θ+sin θ)=4,C2的普通方程为(x-1)2+y2=1,所以ρ=2cos θ.(2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),-<α<,则ρ1=,ρ2=2cos α,×2cos α(cos α+sin α)=(cos 2α+sin 2α+1)=,当α=时,取得最大值+1).23.证明(1)∵|x1-2|<1,∴-1<x1-2<1,即1<x1<3,同理1<x2<3,∴2<x1+x2<6.∵|x1-x2|=|(x1-2)-(x2-2)|≤|x1-2|+|x2-2|,∴|x1-x2|<2.(2)|f(x1)-f(x2)|=|-x1+x2|=|x1-x2||x1+x2-1|,∵2<x1+x2<6,∴1<x1+x2-1<5,∴|x1-x2|<|f(x1)-f(x2)|<5|x1-x2|.。