江苏省涟水中学09-10学年高二上学期期中考试(数学文)

涟水中学09-10学年高二上学期期中考试
高二数学试卷（文） 2009.11
一、填空题：(作答时将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效，本大题共14小题，
每小题5分，计70分）
1、条件:||1,p x >条件:2,q x <-则p ⌝是q ⌝的 条件。

2、椭圆22
145
y x +=的焦点坐标为 。

3、某人从甲地去乙地共走了500米，途经一条宽为x 米的河流，该人不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，否则能找到，已知该物品能被找到的概率为4
5
，则河宽为 米。

4、若椭圆
22
14
x y m +=的焦距为2，则m= 。

5、现有5根竹竿，它们的长度（单位：米）分别为，2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3米的概率为 。

6、如图2，实线围成的部分是长方体如图1的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形，若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率为1
4
，则此长方体的高为 。

图2
图1
D
C
B A
7、函数2
()2,[5,5]f x x x x =--∈-，
那么任取一0[5,5]x ∈-，使0()0f x ≤的概率为 。

8
、已知椭圆的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为
2
，且椭圆上一点到它的两个焦点的距离之和为12，则椭圆方程为 。

9、容量为100的样本数据，按一定规则分成8组，如下表，则第三组的频率为
kg ）450，430，460，440，450，440，470，460，则其方差为 。

11、双曲线
22
1(0)y x mn m n
-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn = 。

12、若抛物线2
2y px =的焦点与椭圆22162
x y +=的右焦点重合，则p = 。

13、如图，在ABC ∆中，0
30,,ABC ACB AB AC ∠=∠=边上的高分别为CD,BE ，则以B,C
为焦点，且经过D,E 两点的椭圆与双曲线的离心率之和为 。

14、已知直线(2),(0)y k x k =+>与抛物线2
:8C y x =相交于A,B 两点，F 为C 的焦点，若
|FA|=2|FB|,则k = 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本小题满分14分）
利用导数定义，求下列函数在已知点处的定义： （1）求函数2
()21f x x =+在1x =处的导数； （2）求函数1
()g x x
=
在2x =处的导数。

16、（本小题满分14分）
在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按照5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图，已知从左到右各长方形的高的比为2:3:4:6:4:1,第三组的频数为12，请解答下列各题：
（1）本次活动共有多少件作品参加评比？ （2）哪组上交的作品数最多？有多少件？
（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪一组获奖率较高？ 17、（本小题满分14分）
抛物线24y x =的焦点为F ，11221212(,),(,)(,0,0)A x y B x y x x y y >><在抛物线上，且
,,A F B 共线，25
||4
AB =．
（1）求12x x +的值；
（2）求直线AB 的方程； （3）求△AOB 的面积．
18、（本小题满分16分）
已知双曲线2
2: 14
x C y -=，P 为C 上的任意点。

（1）求证：点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （2）设点A 的坐标为(3,0)，求||PA 的最小值； 19、（本小题满分16分）
如图ABC 中，0
60,2,5,AOB OA OB ∠===在线段OB 上任取一点C ，试求：
（1）AOC 为钝角三角形的概率； （2）AOC 为锐角三角形的概率。

（本小题满分16分）
设命题2
1
:()lg()16
p f x ax x a =-+
函数的定义域是R ；命题:39x x q a -<不等式对一切正实数x 均成立。

（1）如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；
(2 ) 如果p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围。

涟水中学09-10学年高二上学期期中考试
高二数学试卷（文）参考答案
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、充分不必要
2、（-1，0），（1，0）
3、100 4 5、0.2 6、 3 7、0.3 8、
22
1369
x y += 9、0.14 10、150 11、3
16
12、4
13、、二、解答题（本大题共6题，计90分） 15、（本小题满分14分） 解：（1）222(1)(1)2(1)12112()4f x f x x x +-=++--=+…………3分
24x ∴
=+f(1+x)-f(1)
x
当(1)(104f x f x x +-→→）
时，
………………6分 ()14f x x ∴=在处的导数是………………7分
（2）
11(2)(2)2242x
g x g x x
+-=
-=-
++………………10分 (2)(21
42g x g x x +-∴=-
+） 当1
04
x →→-g （2+x)-g(2)时，x ………………13分
1
()24
g x x ∴=-在处的导数是………………14分
16、（本小题满分14分）
解：（1）第三组频率为
41
2346415
=+++++ ……………………………2分
设本次活动共有n 件作品参加评比，则121
5
n = ………………………4分
所以60n =（件），即本次活动共有60件作品参加评比. ………………5分
（2）由直方图可看出第四组上交的作品数最多，共有606
1820
⨯=（件） …9分
（3）第四组获奖率为105189=，第六组获奖率为22
136020
=⨯
所以第六组获奖率较高。

……………………………14分 17、（本小题满分14分）
解：（1）抛物线24y x =的准线方程为1x =-．
∵A ，B ，F 三点共线．由抛物线的定义，得|AB |=122x x ++． …4分
（2）设直线AB ：(1)y k x =-，而12
121212,,0,0,0.y y k x x y y k x x -=>><∴>-
由2(1),4,y k x y x =-⎧⎨=⎩得22222(2)0k x k x k -++=． …………………………6分 ∴2122
12
2(2)
,1,
k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪⋅=⎩|AB |=122x x ++= 22
2(2)2524k k ++=． ∴216
9k =．…8分 从而43
k =，故直线AB 的方程为4
(1)3y x =-，即4340x y --=．……10分
（3）
O AB d =
到直线的距离是=
4
5
………………………12分 ∴△AOB 的面积为12545
2452
⨯⨯=…………………14分 18、（本小题满分14分）
解：（1）设11(,)P x y 是双曲线上任意一点，
该双曲的两条渐近线方程分别是20x y -=和20x y +=.…………………3分 点11(,)P x
y
，………………5分
⋅
22
11
|4|4
55
x y
-
==.
点P到双曲线的两条渐线的距离的乘积是一个常数. …………………7分
（2）设的坐标为(,)
x y，则
222
||(3)
PA x y
=-+
2
2
(3)1
4
x
x
=-+-2
5124
()
455
x
=-+…………………10分
||2
x≥，…………………12分
∴当
12
5
x=时，2
||
PA的最小值为
4
5
，
即||
PA
.…………………14分
19、（本小题满分16分）
O
解：如图，由平面几何知识可知：当,1
AD OB OD
⊥=
时，当O A A E
⊥时，4,1
O E B E
==……………………………2分
（1）当且仅当点C在线段OD BE
或上，AOC为钝角三角形。

记“AOC为钝角三角形”为事件M，则
112
()
55
OD BE
P M
OB
++
===……………………………8分
（2）当且仅当点C在线段DE上时，AOC为锐角三角形。

记“AOC为锐角三角形”为事件N，则
3
()
5
DE
P N
OB
==……………………………14分
答：（1）AOC为钝角三角形的概率为
2
5
；
（2）AOC为锐角三角形的概率为
3
5。

……………………………16分
20、（本小题满分16分）
解：（1）由题意，若p是真命题，则2
1
16
ax x a
-+>对任意实数都成立，……………………………1分
若0,
a=显然不成立；……………………………2分
若0
a≠，则
2
1
10
4
a
a
>
⎧
⎪
⎨
=-<
⎪⎩
解得2
a>……………………………7分
故如果p 是真命题时，实数a 的取值范围是()2,+∞ ……………8分 （2）若命题q 为真命题时，则39x
x
a -<对一切正实数x 均成立。

……9分
211
39(3)24
031
x x x x x -=--+
>∴>
()39,0x x ∴-∈-∞ ……………………………11分
所以如果q 是真命题时，0a ≥。

……………………………13分 又p q 或为真命题，命题p q 且为假命题 所以命题p q 与一真一假 22
00a a a a >≤⎧⎧∴⎨⎨
<≥⎩⎩
或解得02a ≤≤ 综上所述，实数a 的取值范围是[]0,2 ……………………………16分。