二过程动态特性

§2.2过程数学模型的建立
对于线性的集中参数对象
通常可用常系数线性微分方程式来描述，如果以 x （ t ） 表示输入量，y（t）表示输出量，则对象特性可用下列微分 方程式来描述
an y n t an1 y n 1 t ... a1 yt a0 yt
（1）
过程数学模型的建立
⑶ 确定中间变量，列写中间变量与其他因素之间的关系： 上式中，i为中间变量。电容上电流与电压的关系为：
⑷消除中间变量 i：
du0 iC dt
将上式代入（1）式，即可得
du0 RC u0 ui dt
一阶对象
在上式中，令RC =T 则上式可写成如下形式
du0 T u0 ui dt
在阶跃信号的作用下，被控变量C (t)先升后降或先降后升， 即阶跃响应在初始情况与最终情况方向相反。
C(t)
t
具有反向特性的过程
§2.2过程数学模型的建立（机理建模）

所谓研究对象的特性，就是用数学的方法来描述出对象 输入量与输出量之间的关系——数学建模。

对象的数学模型：对象特性的数学描述；

对象的数学模型可以分为静态数学模型和动态数学模型。
态值C(∞)靠拢。
C(t)
C(∞)
t
自衡的非振荡过程
过程特性的类型
例如 如图所示的通过阀门阻力排液的液位系统
Q1
Q1
t h
h
Q2
t
液位系统
液位变化曲线
过程特性的类型
2. 无自衡的非振荡过程
在阶跃信号的作用下，被控变量C (t)会一直上升或下降，
直到极限值。
C(t)
Qi
t
A
Qo
无自衡的非振荡过程 放热化学反应过程的温度
h
Q2
例：积分对象
Q1 由体积守恒可得： (Q1-Q2)dt=Adh 其中：Q2=C C——常数 由此可得： Q1= Q2 +A (dh/dt) 或: h=(1/A) (Q1-C) dt
h
Q2
例：二阶对象
Q1
h1
Q12
Q2
h2
由体积守恒可得： (Q1-Q12)dt=A1dh1 (Q12-Q2)dt=A2dh2 由此可得： R2 Q1=h2+(A1 R2 +A2 R2 )(dh2/dt) + A1 R2 A2 R2(d2h2/dt2) 或: KQ1=h2+(T1 +T2)(dh2/dt) + T1 T2(d2h2/dt2)
9
过程数学模型的建立（机理建模）
数学模型类型
非参数模型
用曲性或数据表格来表示，如阶跃响应曲线、脉冲响
应曲线和频率特性曲线 特点：形象、清晰，易看出定性特性，但缺乏数学方
程的解析性质，一般由试验直接获取。
参数模型 用数学方程式来表示，如微分方程（差分方程）、传递函数、 状态空间表达式等。本节所涉及的模型均为用微分方程描述的 线性定常动态模型。
静态数学模型描述的是对象在稳定时（静态）的输入与输出关系； 动态数学模型描述的是在输入量改变以后输出量跟随变化的规律； 过程的输入是控制作用u（t）或扰动作用f（t） 输出是被控变量ｙ（t）． 过程数学模型是研究系统行为的基础。


§2.2过程数学模型的建立（机理建模）
建模目的 （1）控制系统的方案设计 （2）控制系统的调试和控制器参数的确定 （3）制定工业过程操作优化方案 （4）新型控制方案及控制算法的确定 （5）计算机仿真与过程培训系统 （6）设计工业过程的故障检测与诊断系统
Qi
H1
Q1 A1
H2
Qo A2
无振荡的自衡过程
工程上常见的二阶过程
高阶过程
Ti (t)
Ti(t)
65 60 55 50 45 65 0 10 20 30 40 50
O(s) K I ( s ) n (Ti s 1) i 1
T1(t)
T1(t)
60 55 50 45 0 10 20 30 40 50
第二章 过程动态特性 §2.1 典型化工过程的动态特性
过程特性定义：
被控过程常见种类： 通道 指被控过程输入量发生变化时，过程输出量的变 化规律。 换热器、锅炉、精馏塔、化学反应器、 贮液槽罐、加热炉等
被控过程的输入量与输出量之间的信号联系 控制通道-----操纵变量至被控变量的信号联系 扰动通道-----扰动变量至被控变量的信号联系
d h A Qi Qo dt
对象机理建模举例#3(续)
Qi
H A
Qo
d h A Qi Qo dt Qo k H
h h0 h h0 Qo 0
dQo 线性化： Qo k h Qo0 dh
k h 2 h0
d h k h A Qi h Qi dt R 2 h0
等号左边，并按将幂排序。
过程数学模型的建立
例题1
试列写图所示RC无源网络的动态数学模型。设 ui 为输入变量，uo为输出变量。
R
Ui 解
C
uo
⑴ 确定过程的输入变量和输出变量： 依题意，ui 为输入变量，uo为输出变量。 ⑵ 建立原始微分方程： 根据电路理论中得可希霍夫定律，可有：
ui iR u0
cent
K反映了输出变化的幅度Biblioteka simulink仿真（续）
H (s) R Qi ( s) RAs 1
时间常数T反映了 输出变化的快慢
对象机理建模举例#4
Qi

H1
物料平衡方程：
dH1 A1 Qi Q1 , dt dH 2 A2 Q1 Qo dt
Q1 A1

H2
流体运动方程： Q1 k1 H1 , Qo k2 H 2
扰动变量（输入量）
被控变量（输出量）
操纵变量（输入量）
过程特性的类型
多数工业过程的特性可分为下列四种类型：
1. 2. 3. 4.
自衡的非振荡过程 无自衡的非振荡过程 有自衡的振荡过程 具有反向特性的过程
（过程特性通常在阶跃信号的作用下的表现）
过程特性的类型
1.自衡的非振荡过程
在阶跃信号的作用下，被控变量C (t)不经振荡，逐渐向新的稳
dH1 Qi k1 H 1 , dt dH 2 A2 k1 H 1 k 2 H 2 dt A1
Qo A2
H1 ( s ) R1 , Qi ( s) A1 R1s 1 H 2 (s) R2 1 Qi ( s) A1 R1s 1 A2 R2 s 1
simulink仿真
Qi kA (Ti T0 )
1 (Ti T0 ) R
式中 k为介质对热端的导热系数； A为热端的表面积；R为介质对热端的热阻。
当热电极插入介质有足够深度时，通过热传导传出的热量很少，可忽略不 计，即 Q 0
0
⑷消除中间变量 ,得到微分方程将上式整理后有：
dT0 RC T0 Ti dt
过程特性的类型
3. 有自衡的振荡过程
在阶跃信号的作用下，被控变量C(t)会上下振荡，且振荡的幅值逐
渐减小，最终能趋近新的稳态值。有自衡的振荡过程的响应曲线如图所 示。在控制过程中，这类过程不多见，它们的控制也比第一类过程困难 一些。
C(t)
t
有自衡的振荡过程
过程特性的类型
4. 具有反向特性的过程
热电偶的动态数学模型也是一个一阶常系数线性微分方程。
对象机理建模举例#3
Qi
dH Qi Qo 物料平衡方程： A dt

H A
Qo
流体运动方程： Qo k H
0 Qi 0 Qo0 , h h h0 , Qi Qi Qi 0 , Qo Qo Qo0
单位时间传入的热量—单位时间传出的热量 =单位时间热量的变化量
dT0 Qi Q0 C dt
式中 Qi为被测介质以对流方式传给热端的热量； Qo为热端通过热电极传导出的热量； C为热电偶热端的热容。
过程数学模型的建立
⑶ 确定中间变量，列写中间变量与其他因素之间的关系从上式可知， Qi 和Qo为中间变量。由传热速率方程可得
bm x m t bm1 x m1 t ... b1 xt b0 xt
在允许的范围内，多数化工对象动态特性可以忽略输入量的 导数项可表示为
an yn t an1 y n1 t ... a1 yt a0 yt xt
H (s) R Qi ( s) RAs 1
一阶过程的描述

一阶过程通常的描述方式为：
K G(s) Ts 1
过程增益K
Qi
H A
Qo
H (s) R Qi ( s) RAs 1
时间常数T
simulink仿真
H (s) R Qi ( s) RAs 1
无振荡的自衡过程
Output (cent ) K Input (cent ) O final Oinitial cent I final I initial
实验建模
系统辨识
定义： 通过这种应用对象的输入输出的实测数据来决定其 模型的结构和参数 。
在需要建立数学模型的被控过程上，人为的施加一个扰动作用，然后用仪 表测量并纪录被控变量随时间变化的曲线，这条曲线既是被控过程的特性 曲线。将曲线进行分析、处理，就可得到描述过程特性的数学表达式。
特点： 把被研究的对象视为一个黑匣子，完全从外部 特性上来测试和描述它的动态特性，不需要深入了解 其内部机理 。
过程数学模型的建立
建立数学模型的基本方法 机理分析法
通过对过程内部运动机理的分析，根据其物理或化学变化规律， 在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后得到过程特性方程，其 表现形式往往是微分方程或代数方程。如物料平衡、能量平衡等， 以及反映流体流动、传热、传质等基本规律的运动方程。这种方法 完全依赖于足够的先验知识，所得到的模型称为机理模型。
40
50
机理建模举例#5
Qi
A
Qo
物料平衡方程：
dh A Qi Q0 dt
Qi ( s) Qo ( s) H (s) As As
无振荡的非自衡过程
例：一阶对象
Q1 由体积守恒可得： (Q1-Q2)dt=Adh 其中：Q2h/Rs RS——局部阻力项 由此可得： RS Q1=h+A Rs (dh/dt) 或: K Q1 =h+T(dh/dt)
缺点
过程数学模型的建立
机理分析法： 机理分析法是通过对过程内部机理的分析，推导出描述过程输入 输出变量之间关系的数学模型。 针对不同的物理过程，可采用不同的定理定律。
如电路采用欧姆定律和可希霍夫定律；
机械运动采用牛顿定律； 流体运动采用质量守恒和能量守恒定律； 传热过程采用能量转化和能量守恒定律等。
T2(t)
T2(t)
65 60 55 50 45 0 10 20 30 40 50
O( s ) K s e I ( s) Ts 1
T4(t)
T5(t)
65 60 55 50 45
O( s ) K e s I ( s) (T1s 1)(T2 s 1)
T5(t)
0
10
20 30 Time, min
过程数学模型的建立
例题2 如图所示为一测温热电偶，它可将被测温度转换为热电势E。
图中介质的温度为Ti，热电偶热端温度为To。试列写热 电偶的微分方程。
+ E -
解
⑴确定输入变量和输出变量 输入变量-----介质的温度为Ti， 输出变量-----热端温度为T0。
Ti T0
⑵ 建立原始微分方程 根据能量守恒定律： 热电偶的原始微分方程式为
实验测试法 由过程的输入输出数据确定模型的结构和参数。这种方法不需 要过程的先验知识，把过程看作一个黑箱。但该方法必须在已经 建立了过程后才能进行，而且得到的结果无法类推至设备尺寸和 型号不同的情况。
机理建模 优点 具有非常明确的物理意义，所得的模型具有很大 的适应性，便于对模型参数进行调整。 概念明确、适用范围宽，要求对该过程机理明确。 对于某些对象，人们还难以写出它们的数学表 达式，或者表达式中的某些系数还难以确定时， 不能适用。
过程数学模型的建立
微分方程建立的步骤归纳如下： ⑴ 根据实际工作情况和生产过程要求，以及建模的对象和模型使用的目的 进行合理的假设 ，确定过程的输入变量和输出变量。 ⑵ 依据过程的内在机理，利用适当的定理定律，建立原始方程式。 ⑶ 确定原始方程式中的中间变量，列写中间变量与其他因素之间的关系。 ⑷ 消除中间变量，即得到输入、输出变量的微分方程。 ⑸ 若微分方程是非线性的，需要进行线性化处理。 ⑹ 标准化。即将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在