2019秋高中数学第三章函数的应用单元评估验收(三)(含解析)新人教A版必修1

单元评估验收(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．函数f (x )＝1－log 3x 的零点是( ) A ．(1，1) B ．1 C ．(3，0)
D ．3
解析：令1－log 3x ＝0，得x ＝3，所以零点为3. 答案：D
2．函数f (x )＝e x
－1x
的零点所在的区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1
C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 解析：因为f (1)＝e 1
－11＝e －1>0，
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝e 1
2－2<0， 所以f (1)·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<0，由零点的存在性定理可知函数f (x )＝e x
－1x 的零点所在的区间是
⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.
答案：B
3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )
A ．3
B.1
27
C ．27
D.13
解析：因为幂函数y ＝x α
的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，
所以(－2)α
＝－18，所以α＝－3.又因为f (x )＝27，
所以x －3
＝27，所以x ＝13.
答案：D
4．国内快递1 000 g 以内的包裹的邮资标准如下表：
( )
A．5.00元B．6.00元
C．7.00元D．8.00元
解析：由题意可知，当x＝1 200时，y＝7.00元．
答案：C
5．函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则( )
A．x1＜2，2＜x2＜5 B．x1＞2且x2＞5
C．x1＜2，x2＞5 D．2＜x1＜5，x2＞5
解析：f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象为f(x)＝(x－2)·(x－5)的图象向下平移1个单位长度，可等价为f(x)＝(x－2)(x－5)的图象中坐标系的x轴上移1个单位长度，则在新坐标系中得到f(x)＝(x－2)(x－5)－1的图象．由图易得x1＜2，x2＞5.
答案：C
6．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满．在注水过程中，时刻t与水面高度y的函数关系如图所示，图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的( )
解析：由题中函数图象知，水面高度y上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B.
答案：B
7．用二分法判断方程2x3＋3x－3＝0在区间(0，1)内的近似解(精确度0.25)可以是(参考数据：0.753≈0.421 88，0.6253≈0.244 14)( )
A ．0.25
B ．0.375
C ．0.635
D ．0.825
解析：令f (x )＝2x 3
＋3x －3，则f (0)<0，f (1)>0，f (0.5)<0，f (0.75)>0，f (0.625)<0，所以方程2x 3
＋3x －3＝0的根在区间(0.625，0.75)内，因为0.75－0.625＝0.125<0.25，所以区间(0.625，0.75)内的任意一个值均可作为方程的近似解．
答案：C
8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )
A ．甲刚好盈亏平衡
B ．甲盈利9元
C ．甲盈利1元
D ．甲亏本1.1元
解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×11
10元和1 000
×1110×910×9
10
元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×9
10＝1，故甲盈利1元．
答案：C
9．函数f (x )＝ln x －1
x －1
的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：如图，画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，由图知y ＝ln x 与y ＝1x －1
(x ＞0，且x ≠1)的图象有两个交点．
故函数f (x )＝ln x －
1
x －1
的零点有2个．
答案：C
10．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水( )
A ．10吨
B ．13吨
C．11吨D．9吨
解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.
答案：D
11．设a是函数f(x)＝|x2－4|－ln x在定义域内的最小零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足( )
A．f(x0)>0 B．f(x0)<0
C．f(x0)＝0 D．f(x0)的符号不确定
解析：由题意可知，函数f(x)＝|x2－4|－ln x的零点即为函数y＝|x2－4|与y＝ln x 图像的交点，在同一个坐标系中作出它们的图像，如图所示．
由图可知，当0<x0<a时，函数y＝|x2－4|的图像要高于函数y＝ln x的图象，故有|x20－4|>ln x0，
即f(x0)>0.
答案：A
12．记[x]表示不超过x的最大整数，如[1.3]＝1，[－1.3]＝－2.记函数f(x)＝x－[x]，若方程1－f(x)＝log a x有且仅有3个实数根，则正实数a的取值范围为( ) A．(3，4] B．[3，4)
C．[2，3) D．(2，3]
解析：由题意得：方程1－f(x)＝1＋[x]－x，所以方程1－f(x)＝log a x有且仅有3个实数根，即1＋[x]－x＝log a x有且仅有3个实数根，即函数y＝1＋[x]－x和函数y＝log a x 的图象有三个不同的交点，分别作出两函数的图象，如图所示，要使得函数y＝1＋[x]－x 和函数y＝log a x的图象有三个不同的交点．则log a3≤1，且log a4>1，解得3≤a<4.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知函数f(x)＝x2＋ax－1的一个零点大于1，另一个零点小于1，则实数a的取
值范围是________．
解析：根据该二次函数的图象可知，实数a 的取值满足f (1)<0，即12
＋a －1<0，得a <0. 答案：(－∞，0)
14．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧22－x
，x <2，log 3（x ＋1），x ≥2，若关于
x 的方程f (x )＝m 有两个不同的实
根，则实数m 的取值范围是________．
解析：作出函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧22－x
，x <2，
log 3（x ＋1），x ≥2的图象，关于
x 的方程f (x )＝m 有两个不
同的实根等价于f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧22－x
，x <2，
log 3（x ＋1），x ≥2与y ＝m 有两个不同的公共点，由图象可知当m
∈(1，＋∞)时，满足题意．
答案：(1，＋∞)
15．一种产品的产量原来为a ，在今后m 年内，计划使产量每年比上一年增加p %，则产量y 随年数x 变化的函数解析式为________；定义域为________．
解析：该函数是指数函数，解析式为y ＝a (1＋p %)x
， 定义域为{x |0≤x ≤m ，x ∈N}．
答案：y ＝a (1＋p %)x
{x |0≤x ≤m ，x ∈N}
16．给出封闭函数的定义：若对于定义域D 内的任意一个自变量x 0，都有函数值f (x 0)∈D ，则称函数f (x )在D 上封闭．若定义域D ＝(0，1)，则下列函数：①f 1(x )＝3x －1；②f 2(x )＝1－x ；③f 3(x )＝x 1
2中，在D 上封闭的是________(填函数的序号)．
解析：因为f 1⎝ ⎛⎭
⎪⎫13＝0∉(0，1)，所以f 1(x )在D 上不封闭．因为f 2(x )＝1－x 在(0，1)上是减函数，所以0＝f 2(1)<f 2(x )<f 2(0)＝1，所以f 2(x )在D 上封闭．因为f 3(x )＝x 1
2在区间(0，1)上是增函数，所以0＝f 3(0)<f 3(x )<f 3(1)＝1，所以f 3(x )在D 上封闭．
答案：②③
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)某市出租车的计价标准是4 km 以内10元(含4 km)，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/千米，超出18 km 的部分1.8元/千米．
(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式； (2)如果某人乘车行驶了20 km ，那么他要付多少车费？
解：(1)设行车里程为x km ，车费为y 元．由题意得， y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧10，0<x ≤4，10＋1.2（x －4），4<x ≤18，10＋1.2×14＋1.8（x －18），x >18， 即y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧10，0<x ≤4，1.2x ＋5.2，4<x ≤18，1.8x －5.6，x >18.
(2)将x ＝20代入函数关系式， 得y ＝1.8×20－5.6＝30.4(元)． 故乘车20 km ，要付车费30.4元．
18．(本小题满分12分)已知一次函数f (x )满足：f (1)＝2，f (2)＝3. (1)求f (x )的解析式；
(2)判断函数g (x )＝－1＋lg f 2
(x )在区间[0，9]上零点的个数． 解析：(1)设f (x )＝ax ＋b ，由已知条件得
⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，2a ＋b ＝3，解得a ＝b ＝1，所以f (x )＝x ＋1(x ∈R)． (2)因为g (x )＝－1＋lg f 2(x )＝－1＋lg(x ＋1)2
在区间[0，9]上为增函数，且g (0)＝－1<0，
g (9)＝－1＋lg 102＝1>0，
所以函数g (x )在区间[0，9]上零点的个数为1个． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ≤0，12x 2
－x ＋1，x >0.
(1)请在直角坐标系中画出函数f (x )的图象，并写出该函数的单调区间； (2)若函数g (x )＝f (x )－m 恰有三个不同零点，求实数m 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x ，x ≤0，12（x －1）2
＋12
，x >0的图象如图所示：
由图象得，函数f (x )的单调递减区间是(0，1)，单调增区间是(－∞，0)和(1，＋∞)． (2)作出直线y ＝m ，函数g (x )＝f (x )－m 恰有3个不同零点等价于函数y ＝m 与函数f (x )
的图象恰有三个不同公共点．由函数f (x )＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x
，x ≤0，12（x －1）2
＋12
，x >0的图象易知m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.
故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.
20．(本小题满分12分)某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式，P ＝1
5
m ＋36，Q ＝65＋23m .
(1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分)的函数关系式，并指明函数定义域；
(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高？
解：(1)若对卷Ⅱ投入x 分钟，则对卷Ⅰ投入(120－x )分钟，
所以y ＝P ＋Q ＝15(120－x )＋36＋65＋23x ＝－1
5x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100]．
(2)令t ＝x ∈[25，10]， 则函数为关于t 的二次函数：
y ＝－15t 2＋23t ＋125＝－15
(t －53)2＋140.
所以当t ＝53，即x ＝75时，y max ＝140.
即当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高．
21．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2
＋(2t －1)x ＋1－2t . (1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；
(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．
证明：(1)由f (x )＝1得x 2
＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1，
即x 2
＋(2t －1)x －2t ＝0.
因为Δ＝(2t －1)2
＋8t ＝4t 2
＋4t ＋1＝(2t ＋1)2
≥0， 所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根． (2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫34－t >0， f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
－t <0，
f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
＝14＋12
(2t －1)＋1－2t ＝34
－t >0， 因为f (－1)·f (0)<0，f (0)·f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12<0， 所以方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12内各有一个实数根． 22．(本小题满分12分)近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)间的关系为P (t )＝P 0e
－kt
(P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，
其中P 0为t ＝0时的污染物数量．若经过5 h 过滤后还剩余90%的污染物．
(1)求常数k 的值；
(2)试计算污染物减少到40%至少需要多长时间(精确到1 h ，参考数据：ln 0.2≈－1.61，ln 0.3≈－1.20，ln 0.4≈－0.92，ln 0.5≈－0.69，ln 0.9≈－0.11)．
解：(1)由已知得，当t ＝0时，P ＝P 0； 当t ＝5时，P ＝90% P 0. 于是有90%P 0＝P 0e
－5k,
解得k ＝－1
5ln 0.9(或k ≈0.022)．
(2)由(1)，知P ＝P 0e ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
15ln 0.9t ，当P ＝40%P 0时，
有
0.4P 0＝P 0e ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
15ln 0.9t ， 解得t ＝ln 0.415ln 0.9≈－0.9215×（－0.11）＝4.60
0.11≈42.
故污染物减少到40%至少需要42小时．。