第二章 流体输运性质及数学描述方法(讲义)

将上式代入式（2-1），得水在细玻璃管中的上升高度为
1.98 0.324r （2-3） gr 对于很细的玻璃管，水的凹表面可近似地看作是一个半球面， 则Θ=00，δ=R= r ，于是由式（2-1）可得 hH 2O
hH2O
2 r gr 3
r
(2-4)
水银与玻璃的接触角约为1400，由式（2-2b）得
例题3：一底面积为40cm×45cm，高为1cm的木块，质 量为5kg，沿着涂有润滑油的斜面等速向下运动。已知 v ＝1m/s, δ=1mm, 求润滑油的动力粘度
13
α 5 v G
12
α
G
例题4：如图所示，转轴直径=0.36m，轴承长度=1m，轴与轴承之间 的缝隙＝0.2mm，其中充满动力粘度＝0.72 Pa.s的油，如果轴的转 速200rpm，求克服油的粘性阻力所消耗的功率。
图2-1 (a) 湿润管壁的液体的液面上升
(b) 不湿润管壁的液体的液面下降
液体在细管中能上升或下降的现象称为毛细现象。 液体在细管中上升或下降的高度与表面张力有关，可 以用简便方法直接求得。如图2-1(a)，密度为ρ的液 体在润湿管壁的表面张力作用下，沿半径为r的细管上 升到h高度后停止，达到平衡状态，即表面张力向上分 力的合力与升高液柱的重量相等。设液面与固体壁面 的接触角(液体表面的切面与固壁表面的夹角，在液体 内部)为 ，
3、表面张力的计算：
表面张力T的大小以作用在单位长度上的力 表示，计算式为：
的表面张力，单位是N/m。
为表面张力系数，描述单位长度截线上
液体表面张力系数（表2.6，p17） 饱和水表面张力系数与温度关系（表2.7，p17）
T L
常用液体在20℃时与空气接触的表面张力系数
表面张力 （ N/m） 纯 水 0.0728 0.0223 0.0289 四氯化碳 煤 原 油 油 表面张力 （ N/m） 0.0266 0.0 234 ～ 0 .0321 0.0 234 ～ 0 .0379 润滑油 水 银 表面张力 （ N/m） 0.0 350 ～ 0 .0379 0 .51 3 ～ 0. 48 5
U s 1 为速度梯度，单位为： h
流速为非线性分布
du (牛顿内摩擦定律或粘性定律） dy
dy
du -为速度梯度 dy
⑴ 粘性切应力与速度梯度成正比; (2)粘度系数物理意义：促使流体流动产生单位速度梯 度的剪应力。粘度总是与速度梯度相联系。
y
du u
3、流体粘性成因
（1）液体 • 流体内摩擦是两层流体间分子内聚力和分子动量交换的宏 观表现。 • 当两层液体作相对运 动时，两层液体分子的

代入上面平衡关系式，即得上升高度的计算式
4 h 2 2 2 g r 6r 2
3
（2-1）
接触角与球冠液面的高度的关系： 在图2-1（a）中
R R cos(90 ) R(1 sin )
r 1 sin cos
（2-2a）
第二章 流体输运性质及运动物理量描述 第一节 流体的输运性质 第二节 流体运动物理量的描述
第一节
流体的输运性质
当系统各部分的物理性质如速度、温度或密度 不均匀时，系统则处于非平衡态。在不受外界干预 时，系统总是要从非平衡态向平衡态过渡。这种过 渡称为输运过程。流体输运现象是一种自发过程。 从微观角度看，流体输运性质是由分子热运动 以及分子之间的碰撞产生的，使流体宏观性质趋于 一致。 输运过程有三种：动量输运、热量输运、质量 输运。流体的这三种输运性质分别对应粘滞现象、 导热现象和扩散现象。
d 1
d 2
R2 R1
R2
ds ds 1 2
R1
R1
R1
ds1
双曲面曲率半径R2 双曲面曲率半径R1 双曲面曲率半径夹角 d 1 d 2
ds1
ds2
图1-5 曲表面的表面张力和压强
与边界线正交的外向力 ds ds2
1
表面张力产生一对与边界R R cos( 90 ) R(1 sin )
而
r sin( 90 ) cos R
r (1 sin ) cos
（2-2b）
水与玻璃的接触角约为 8.5
，由式（2-2a）得
H 2O
r cos8.5
(1 sin8.5 ) 0.862r
细管内液体的凹表面近似地看作是高度为δ、半径为R 的球冠。 则其平衡关系式为：
2 2r cos g r (h ) (3r 2 2 ) 6
r 由图2-1a可知： cos R
或
2
R (R ) r
2 2
2R
r2 2
4、弯曲液面下的压强差（表面张力对液体自由表面两 侧压强的影响）：
若自由表面是一个平面，则沿着平面的表面张力处于平衡 状态，平面表面两侧的压强相等；若自由表面是曲面，则表面 张力将使曲面两侧产生压强差p1-p2 ，以维持平衡。
设在曲表面上取一个边长为ds1和ds2的微元矩形双曲面， 双曲面曲率半径各为R1和R2，夹角为 d 1 和 d 2 ，作用在曲 面凹面和凸面的压强分别为p1和p2，如图所示。在微元矩形双 曲面两对边ds1和ds2上，
6、流体按照粘度的分类
τ
宾汉型塑性流体 假塑性流体 牛顿流体 膨胀性流体
0 τ
说明：满足牛顿黏性定律的流体称为牛顿 流体，如油液和水为牛顿流体；反之称为 非牛顿流体，如奶油、高分子聚合物和胶 质体等。当 ＝０时称为无黏性流体。
o
du dy
与垂直于流动方向的速度梯度du/dy成正比 与接触面的面积A成正比 与流体的种类有关 与接触面上压强P 无关
* **
液
体
液
体
液
体
乙醇（酒精） 苯
* 和空气接触 * * 和水银本身蒸汽接触
20℃时两种介质分界面上的表面张力系数
场
合
温度（℃ ） 20 20
表面张力 （ N/m） 0.375 0.035
场
合
温度（℃ ） 20 20
表面张力 （ N/m） 0.045 0.0375
苯 - 水银 水 -苯
水 - 四氯化碳 水 - 水银
二、质量输运（扩散现象）
1、定义：流体密度分布不均时，流体的质量就会从高密度区迁移到 低密度区，这种现象称为扩散现象。根据组分不同，扩散现象分为自 扩散和互扩散。 2、自扩散 单位时间内每单位面积上的质量输 运为:
y
d j D dy
D -
自扩散系数
y
x
负号表示质量输运方向和密度梯度方 向相反。
，则垂直于
曲面的合力沿曲面法线方向的力平衡方程为
d1 d 2 ( p1 p2 )ds1ds2 2 ds1 sin 2 ds2 sin 2 2 ds2 ds1 2 ds1 2 2 ds2 2 R2 R1 1 1 ds1ds2 R1 R2
A -
jAB DAB A
组分A的密度梯度
DAB 单位为m2/s，其大小依赖于压强、温度和组分
几种物质的扩散系数
小结：
du 粘性（牛顿粘性定律）： dy dt 热传导（傅立叶定律）：q dy
扩散（Fick定律）：
j AB DAB d A dy
动量、能量和质量三种输运，从微观角度看是通过 分子热运动及分子相对碰撞实现的，使流体的宏观性质 趋于一致。输运过程为不可逆过程，输运现象也只在层 流流动中考虑。
平均距离加大，分子之
间的引力克服它们之间 的相对运动。
（2）气体 • 气体分子的随机运动范
围大，流层之间的分子交 换频繁。
• 两层之间的分子动量交
换表现为力的作用，称为
表观切应力。气体内摩擦
力即以表观切应力为主。
一般认为：液体粘性主要取决于分子间的引力，气体的黏性主要 取决于分子的热运动。
4、运动粘度
1 1 p1 p 2 R R 2 1
于是得：
由上式可知，曲面两侧压强差的大小正比于表面张力系数，反比于 曲表面的曲率半径。
5、毛细现象 把细管插入液体内，若液体(如水)分子间的吸 引力(称为内聚力)小于液体分子与固体分子之间的吸引 力，也称为附着力，则液体能够润湿固体，液体将在管 内上升到一定的高度，管内的液体表面呈凹面，如图21(a)所示，若液体(如水银)的内聚力大于液体与固体之 间的附着力，则液体不能润湿固体，液体将在管内下降 到一定高度，管内的液体表面呈凸面，如图2-1(b)所示。
运动粘度系数：

单位：m2/s
常见流体的动力黏度和运动黏度(表2.1)
5、影响粘度的因素
流体的黏度随温度和压力而变化，分别称为黏温特性和黏压 特性。黏度一般随温度变化较大，随压力变化不大。 液体：分子之间的引力是产生粘度的主要因素 温度↑→分子间距↑→分子吸引力↓→内摩擦力↓→粘度↓
气体：分子热运动引起的动量交换是产生粘度的主要因素。 温度↑→分子热运动↑→动量交换↑→内摩擦力↑→粘度↑
子之间的吸引力不能达到平衡，而合成一个垂直于自由 表面的合力。这个合力从自由表面向下作用在该分子上， 当分子处于自由表面上时，向下的合力达到最大值。表 面层内的所有液体分子均受有向下的吸引力，从而把表 面层紧紧拉向液体内部。由于表面层中的液体分子都有 指向液体内部的拉力作用，所以任何液体分子在进入表 面层时都必须反抗这种力的作用，也就是必须给这些分 子以机械功。当自由表面收缩时，在收缩的方向上必定 有与收缩方向相反的作用力，这种力称为表面张力。
三、表面张力和毛细现象
1、液体内部与液体表面的特性： 液体内部质点之间的相互作用表现为压力；而 界面液体之间的相互作用力表现为张力。张力引起 液面内外出现压力差以及毛细现象。
2、表面张力现象与机理： 当液体与其它流体或固体接触时，在分界面上都产 生表面张力，出现一些特殊现象，例如空气中的雨滴呈 球状；液体的自由表面好像一个被拉紧了的弹性薄膜等。 表面张力的形成主要取决于分界面液体分子间的吸 引力，也称为内聚力。在液体中，一个分子只有距离它 约10-7cm的半径范围内才能受到周围分子吸引力的作用。 在这个范围内的液体分子对该分子的吸引力各方向相等， 处于平衡状态。但在靠近静止液体的自由表面、深度小 于约10-7cm薄的表面层内，每个液体分子与周围分
d am dy
2、互扩散（Fick定律）
某一种组分的定常扩散率与其密度梯度和截面积成正比，或 者单位时间每单位面积的质量流量与密度梯度成正比。
j AB DAB
d A dy
j AB -单位面积质量流量
DAB -扩散系数，单位：m2/s
——一维定常的第一Fick扩散定律
在三维空间中，每单位面积的质量流量为：
一、动量输运（粘滞现象）
1、定义：流体内部质点间或流层间因相对运动而产生 内摩擦力以反抗相对运动的性质，称之为动量输运， 或称为粘性（粘度）。此内摩擦力称为粘滞力。 2、表达式
F 内摩擦切应力 A F :内摩擦力 A : 流体层相接触的面积

U 如果流体中的速度为线性 h
-为动力黏度（黏度系数），单位为：Pa.s 或 N.s/m2 或Kg/(m.s)
Hg
cos140
(1 sin140 ) 0.466r
将上式代入式（2-1），得水银在细玻璃管中的下降高度为
1.53 0.216r gr
hHg
（2-5）
由式（2-3）和式（2-5）可知，当细管半径越小时，h的绝 对值就越大。所以，当用内径很细的管子作液柱式测压计的管子
内摩擦力 F
例1：汽缸内壁的直径D=12cm，活塞的直径d=11.96cm，活塞长度
L=14cm，活塞往复运动的速度为1m/s，润滑油的μ =0.1Pa· s。求作
用在活塞上的粘性力。
D d L
注意：面积、速度梯度的取法
例题 2 :直径为 150mm的圆柱，固定不动。内径为 151.24mm的圆筒， 同心地套在圆柱之外。二者的长度均为 250mm。柱面与筒内壁之间空隙 充以甘油。转动外筒，每分钟 100转，测得转矩为 9.091N.m。假设空隙 中甘油的速度按线性分布，也不考虑末端效应。计算甘油的动力粘度μ