高中数学 本章归纳整合(二)课件 苏教版选修2-1
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y－ 1 y＋ 1 1 设点 P 的坐标为(x， y)， 由题意得 · ＝－ (x≠± 1)， 3 x＋1 x－1 化简得 x2＋3y2＝4(x≠± 1)． 故动点 P 的轨迹方程为 x2＋3y2＝4(x≠± 1)．
(2)若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点 P 的坐标为(x0，y0)， 1 1 则 |PA|·|PB|sin ∠APB＝ |PM|·|PN|sin ∠MPN. 2 2 因为∠APB＋∠MPN＝π ， |PA| |PN| 所以 sin∠APB＝sin∠MPN，故 ＝ ， |PM| |PB| |x0＋1| |3－x0| 即 ＝ ， |3－x0| |x0－1| 5 即(3－x0) ＝|x0 －1|，解得 x0＝ ，因为 x02＋3y02＝4，所以 3 33 y0 ＝ ± . 9 故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点 P 5 33 的坐标为( ，± )． 3 9
点评：(1)本题第(1)问需要应用椭圆定义求解，凡是圆锥 曲线上的点与焦点相连时，就要考虑用定义解题；(2)本 题综合考查了椭圆的离心率、椭圆与双曲线的顶点、焦点 等性质，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识 解决问题的能力．
专题三
求轨迹问题
主要考查利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义求轨
迹以及直接法(即按照求曲线方程的五个步骤)求轨迹．
2 2 ax ＋by ＝1， 由 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. x＋y－1＝0，
x1＋x2＝ 2b a＋b 由根与系数的关系得： ， b － 1 x · x ＝ 1 2 a＋b x1＋x2 b ∴ x0 ＝ ＝ . 2 a＋b
又 M(x0，y0)在直线 x＋y－1＝0 上， a ∴y0＝1－x0＝ . a＋b a a＋b a 2 故 OM 的斜率为 b ＝b＝ . 2 a＋b 又∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上．
2 2 ax1 ＋by1 ＝1， ∴ 2 2 ax ＋ by 2 2 ＝1.
①
∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
2b 2a ∴a· (x1－x2)＋b· (y1－y2)＝0. a＋b a＋b y1 － y 2 ∴k＝ ＝－1. x1－x2 又|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1·x2 ＝ 2 · b－1 2b 2 （ ） －4× ＝ a＋b a＋b ②
x2 y2 【例2】 如图，已知椭圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 2 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆 2 的左、右焦点 F1，F2 为顶点的三角形的 周长为 4( 2＋1)；一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，
设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与 椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程；
y0 y0 (2)设点 P(x0，y0)，则 k1＝ ，k2＝ ，所以 k1·k2 x0＋2 x0－2 y0 y0 y0 2 ＝ · ＝ 2 ， x0＋2 x0－2 x0 －4 x02 y02 又点 P(x0，y0)在双曲线上，所以有 － ＝1，即 y02＝x02 4 4 y0 2 －4，所以 k1· k2 ＝ 2 ＝1. x0 －4
y)axபைடு நூலகம்＋bx＋c＝0(*)．
(1)当a≠0时，若关于x的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆 锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有
交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．
(2)当a＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个 交点．
专题一
求圆锥曲线的方程及探讨直线与曲线的 位置关系
距离与它到一条定直线的距离之比是定值e；当0<e<1时，
圆锥曲线是椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．
直线与圆锥曲线的位置关系 3． 直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设 直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线 D 的方程为
Ax＋By＋C＝0， 可得(消去 f（x，y）＝0，
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1· k2＝1.
c 2 解 (1)由题意知，椭圆离心率为a＝ ，得 a＝ 2c，又由 2 椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1，F2 为顶点的三角形的 周长为 4( 2＋1)结合椭圆定义得 2a＋2c＝4( 2＋1)，所以 可解得 a＝2 2，c＝2，故 b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准 x2 y2 方程为 ＋ ＝1. 8 4 易得椭圆的焦点坐标为(± 2，0)，因为双曲线为等轴双曲 线， 且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1. 4 4
【例3】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点 1 O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－ . 3 (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是
否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)因为点B与A(－1，1)关于原点O对称，所以点B得 坐标为(1，－1)．
求方程是解析几何必考题型；求圆锥曲线的方程，首 先要确定标准方程的形式，然后用待定系数法求解；讨论 直线与圆锥曲线的位置关系的问题可以转化为讨论方程组 的解的问题．
【例1】 已知椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 交于 A、B 两
点，|AB|＝2 2，线段 AB 的中点 M 与椭圆中心连线的斜率 2 是 .试求 a，b 的值． 2 解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x0，y0)，
8（a＋b－ab） ＝2 2. 2 （a＋b） 1 a＝3， 由①②解得 b＝ 2. 3
专题二
圆锥曲线定义与几何性质的应用
椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，往 往体现数学上的转化与化归的思想．圆锥曲线的几何性质 包括椭圆、双曲线、抛物线的对称性、顶点坐标、离心 率，双曲线的渐近线，抛物线的准线等内容，主要考查这 些性质的理解记忆．
本章归纳整合
知识网络
要点归纳
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质
续表
2. 曲线与方程 (1)曲线与方程：如果曲线C上的点与一个二元方程的实数 解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的
解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这
条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程． (2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的
(2)若存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点 P 的坐标为(x0，y0)， 1 1 则 |PA|·|PB|sin ∠APB＝ |PM|·|PN|sin ∠MPN. 2 2 因为∠APB＋∠MPN＝π ， |PA| |PN| 所以 sin∠APB＝sin∠MPN，故 ＝ ， |PM| |PB| |x0＋1| |3－x0| 即 ＝ ， |3－x0| |x0－1| 5 即(3－x0) ＝|x0 －1|，解得 x0＝ ，因为 x02＋3y02＝4，所以 3 33 y0 ＝ ± . 9 故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点 P 5 33 的坐标为( ，± )． 3 9
点评：(1)本题第(1)问需要应用椭圆定义求解，凡是圆锥 曲线上的点与焦点相连时，就要考虑用定义解题；(2)本 题综合考查了椭圆的离心率、椭圆与双曲线的顶点、焦点 等性质，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识 解决问题的能力．
专题三
求轨迹问题
主要考查利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义求轨
迹以及直接法(即按照求曲线方程的五个步骤)求轨迹．
2 2 ax ＋by ＝1， 由 得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0. x＋y－1＝0，
x1＋x2＝ 2b a＋b 由根与系数的关系得： ， b － 1 x · x ＝ 1 2 a＋b x1＋x2 b ∴ x0 ＝ ＝ . 2 a＋b
又 M(x0，y0)在直线 x＋y－1＝0 上， a ∴y0＝1－x0＝ . a＋b a a＋b a 2 故 OM 的斜率为 b ＝b＝ . 2 a＋b 又∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上．
2 2 ax1 ＋by1 ＝1， ∴ 2 2 ax ＋ by 2 2 ＝1.
①
∴a(x1＋x2)(x1－x2)＋b(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
2b 2a ∴a· (x1－x2)＋b· (y1－y2)＝0. a＋b a＋b y1 － y 2 ∴k＝ ＝－1. x1－x2 又|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2 （x1＋x2）2－4x1·x2 ＝ 2 · b－1 2b 2 （ ） －4× ＝ a＋b a＋b ②
x2 y2 【例2】 如图，已知椭圆 a2 ＋ b2 ＝ 1(a>b>0) 2 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆 2 的左、右焦点 F1，F2 为顶点的三角形的 周长为 4( 2＋1)；一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，
设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1 和 PF2 与 椭圆的交点分别为 A、B 和 C、D. (1)求椭圆和双曲线的标准方程；
y0 y0 (2)设点 P(x0，y0)，则 k1＝ ，k2＝ ，所以 k1·k2 x0＋2 x0－2 y0 y0 y0 2 ＝ · ＝ 2 ， x0＋2 x0－2 x0 －4 x02 y02 又点 P(x0，y0)在双曲线上，所以有 － ＝1，即 y02＝x02 4 4 y0 2 －4，所以 k1· k2 ＝ 2 ＝1. x0 －4
y)axபைடு நூலகம்＋bx＋c＝0(*)．
(1)当a≠0时，若关于x的方程(*)的判别式Δ>0，则直线与圆 锥曲线有两个不同交点；若Δ<0，则直线与圆锥曲线没有
交点；若Δ＝0，则直线与圆锥曲线相切．
(2)当a＝0时，若方程(*)有解，则直线与圆锥曲线有一个 交点．
专题一
求圆锥曲线的方程及探讨直线与曲线的 位置关系
距离与它到一条定直线的距离之比是定值e；当0<e<1时，
圆锥曲线是椭圆；当e>1时，圆锥曲线是双曲线；当e＝1 时，圆锥曲线是抛物线．
直线与圆锥曲线的位置关系 3． 直线和圆锥曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交．设 直线 l 的方程为 Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线 D 的方程为
Ax＋By＋C＝0， 可得(消去 f（x，y）＝0，
(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1· k2＝1.
c 2 解 (1)由题意知，椭圆离心率为a＝ ，得 a＝ 2c，又由 2 椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 F1，F2 为顶点的三角形的 周长为 4( 2＋1)结合椭圆定义得 2a＋2c＝4( 2＋1)，所以 可解得 a＝2 2，c＝2，故 b2＝a2－c2＝4，所以椭圆的标准 x2 y2 方程为 ＋ ＝1. 8 4 易得椭圆的焦点坐标为(± 2，0)，因为双曲线为等轴双曲 线， 且顶点是该椭圆的焦点， 所以该双曲线的标准方程为 x2 y2 － ＝1. 4 4
【例3】在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点 1 O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－ . 3 (1)求动点P的轨迹方程； (2)设直线AP和BP分别与直线x＝3交于点M，N，问：是
否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求 出点P的坐标；若不存在，说明理由． 解 (1)因为点B与A(－1，1)关于原点O对称，所以点B得 坐标为(1，－1)．
求方程是解析几何必考题型；求圆锥曲线的方程，首 先要确定标准方程的形式，然后用待定系数法求解；讨论 直线与圆锥曲线的位置关系的问题可以转化为讨论方程组 的解的问题．
【例1】 已知椭圆 ax2＋by2＝1 与直线 x＋y－1＝0 交于 A、B 两
点，|AB|＝2 2，线段 AB 的中点 M 与椭圆中心连线的斜率 2 是 .试求 a，b 的值． 2 解 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 中点 M(x0，y0)，
8（a＋b－ab） ＝2 2. 2 （a＋b） 1 a＝3， 由①②解得 b＝ 2. 3
专题二
圆锥曲线定义与几何性质的应用
椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，往 往体现数学上的转化与化归的思想．圆锥曲线的几何性质 包括椭圆、双曲线、抛物线的对称性、顶点坐标、离心 率，双曲线的渐近线，抛物线的准线等内容，主要考查这 些性质的理解记忆．
本章归纳整合
知识网络
要点归纳
1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单性质
续表
2. 曲线与方程 (1)曲线与方程：如果曲线C上的点与一个二元方程的实数 解建立了如下的关系：①曲线上点的坐标都是这个方程的
解；②以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这
条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程． (2)圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点的