平行四边形的性质及判定

课程标题平行四边形的性质及判定
学习过程
※学习探究
1、平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，在四边形ABCD中，A B∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形。

定义的作用：
（1）给出一种判定四边形是平行四边形的方法，如果所给四边形的两组对边分别平行，那么它一定是平行四边形；
（2）给出了平行四边形的一个重要性质:两组对边分别平行。

例一、如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD,图中有多少个平行四边形？
注意：平行四边形的定义是判定四边形是否是平行四边形的方法之一。

2、平行四边形的性质
（1）定义性质：平行四边形的两组对边分别平行。

（2）性质:
A、平行四边形的对角相等。

B、平行四边形的对边相等。

C、平行四边形的对角线互相平分。

（3）平行四边形是中心对称图形，平行四边形绕其对角线的交点旋转180后，与自身重合，我们说平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点。

注意：边：对边平行，对边相等；角：对角相等，邻角互补；对角线：对角线互相平分。

例二、如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，周长为80cm，
BOC
12
∆
AOB∆
边的长。

的周长比cm
，求这个平行四边形各
的周长大
3、平行四边形的面积
平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积，如图所示,平行四边形ABCD的面积=BC∙AE=C∙BF,也就是平行四边形的面积=底边长×高=ah
注意：同底(等底)同高（等高）的平行四边形面积相等，如图所示，平行四边形ABCD 与平行四边EBCF有公共边BC，则平行四边形ABCD的面积=平行四边形EBCF的面积。

例三、 如图，已知平行四边形ABCD 中的周长是36cm ，DE 、DF 分别是它的两条高，
且DE=求平行四边形的面积。

,35,34cm DF cm =
4、 平行四边形的概念和性质在实际应用中易出现的错误
如：平行四边形的一条角平分线分对边为3和4两部分，求平行四边形的周长。

例四、如图，线段AB 、AD 相交于点A ，若过点B 作直线B E ∥AD ，在BE 上取一点C ，使BC=AD,连接CD ，则AC 与BD 的关系是 。

5、 运用平行四边形的性质计算
（1） 平行四边形的对边平行
如：如图，在平行四边形ABCD 中，CE 是DCB ∠的平分线，F 是AB 的中点，
AB=6，BC=4，求AE:EF:FB.
（2） 平行四边形的对角相等，对边相等。

如：如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且AE=CF ，
已知DE=3cm ，求BF .
（3） 平行四边形的对角线互相平分
如：如图，已知O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AC=38cm ，BD=24cm ，
AD=14cm ，的长。

，求的周长之差为与AB AOD AOB cm 6∆∆
例五、 已知如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别在AD 、BC 上，E 、F 在对
角线上，且AM=CN,BE=DF,则MF 与NE 有怎样的位置关系？并说明理由。

例六、如图，在平行四边形ABCD 中，A E ∥CF ，AE 与BD 相交于点P,CF 与BD 相交 于点Q ，BP 与DQ 是否相等？请说明理由。

6、开放性思维问题
添加的条件由解题者提供，再利用平行四边形的性质，得到已知结论；或根据题目中的已知条件，同学们自己写出结论，再进行证明或设计一种方案并证明它的正确性。

如：如图，在平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是
CDA BCD 、ABC 、DAB 、∠∠∠∠的平分线，AQ 与BN 相交于P ，CN 与BQ 相交于M,在不添加其他条件的情况下，试写出一个由上述条件推出来的结论，并给出证明过程（要求推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）。

例七、如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 是对角线BD 上的两点，要使ADF ∆≌CBE ∆，还需添加一个什么条件？ （只需添加一个条件）
例八、如图，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案是正确的。

7、 构成或转移平行四边形的边和角
应用平行四边形的性质可以证明线段相等，角相等，因此常构造平行四边形，利用平行四边形的对边相等、对角相等来转移边和角，从而把分散的条件集中起来。

如图，平行四边形ABCD 中，2AB=AD,AB=AE=BF.求证：E C ⊥FD.
注意：（1）证明线段的垂直关系通常可以通过证角等于90；（2）在解决有关平行四边形的问题时，要善于通过平行四边形的性质和全等三角形两种途径寻求等量关系。

例九、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC,且AD ＞BC ，BC=6cm,P 、Q 分别从A 、C 同时出发，P 以1厘米/秒的速度由A 向D 运动，Q 以2厘米/秒的速度由C 向B 运动，几秒后四边形ABQP 是平行四边形？
8、 平行四边形的判定法
（1） 定义判定法：
两组对边分别平行是的四边形是平行四边形。

（2） 定理判定法：
A 、 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

B 、 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

C 、 对角线互相平分的四边形是平行四边形。

D 、 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

例十、若一个四边形的边长是a 、b 、c 、d ，其中a 、c 为对边，满足0222222=--+++ac bd d c b a ，则此四边形是 。

例十一、如图，在PE BC P AC AB ABC 一点，是中，,=∆∥AC,P F ∥AB,分别交AB 、AC 于E 、F ，请猜想线段PE 、PF 、AB 之间存在什么关系，并证明你的猜想。

9、 三角形中位线定理
（1） 三角形中位线的定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；
（2） 三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一
半；
（3） 三角形中位线定理的作用：A 、位置关系：可以证明两条直线平行；B 、数量关
系：可以证明线段的相等或倍分。

（4） 三角形中位线定理的应用：平行四边形的判定。

已知DE 为
()则
连接，使至所示，延长中位线的中位线如图,,1CF DE EF F DE ABC =∆ADE ∆≌AD CFE 有,∆平行且等于FC ，所以FC 平行且等于BD ，则四边形
BCFD 为平行四边形。

如图（2）所示，延长DE 至F ，使EF=DE ，连接DC 、AF 、FC,则四边形ADCF
为平行四边形，有AD 平行且等于FC ，所以FC 平行且等于BD ，则四边形BCFD
为平行四边形。

如图（3）所示，过C 作C F ∥AB 交DE 的延长线于F ，则A D E ∆≌CFE ∆,有AD
平行且等于CF ，所以FC 平行且等于BD ，则四边形BCFD 为平行四边形。

注意：（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成了一个新的三角形；（2）
要会区别三角形的中线与中位线。

例十二、如图，三角形ABC 中，090=∠BAC ，延长BA 到D ，使AB AD 2
1=,点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。

(1) 求证：DF=EB;
(2) 过点A 作AG ∥BC,交DF 于G ，求证:AG=DG.
10、 证明四边形为平行四边形的方法
(1) 证明两组对边分别相等，得平行四边形。

如：如图，在三角形ABC 中，090=∠ACB ,BC 的垂直平分线DE 交BC 于D 交
AB 于E,F 在DE 的延长线上，并且AF=CE.求证：四边形ACEF 是平行四边形。

(2) 证明两组对边分别平行，得平行四边形。

如：如图，在三角形ABC 中，AB=AC ，E 是AB 的中点，D 在BC 上，
延长ED 到F ，使ED=DF=EB,连接FC 。

求证：四边形AEFC 是平行四边形。

(3) 证明一组对边平行且相等，得平行四边形。

如：已知平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点。

求证：
EB=DF.
(4) 证明对角线互相平分，得平行四边形。

如：已知:E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE 是平行四边形。

例十三、如图，在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC,点E 在BC 上，点F 在AD 上，AF=CE,EF 与对角线BD 相交于点O ，求证：O 是BD 的中点。

例十四、如图，在三角形ABC 中，AE=BF,F H ∥EG ∥AC ，求证：EG+FH=AC.
例十五、如图，在三角形ABC 中，090=∠ACB ,AC 的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB
于E,点F 在BC 的延长线上，且,A CDF ∠=∠求证：四边形CEDF 是平行四边形。

例十六、如图，AB 、CD 交于点O,A C ∥DB ，AO=BO ，E 、F 分别为OC 、OD 的中点，连接AF 、BE,求证:AF ∥BE.
本节常与全等三角形、等腰三角形知识结合在一起考查，需灵活运用平行四边形的性质和判定，在解决问题时，不单是孤立判定一个四边形是平行四边形，往往是判定出一个四边形是平行四边形后，要利用平行四边形的性质、三角形的相关知识等解决问题。

如：如图所示；在平行四边形ABCD 中，AE=CF,点M 、N 分别是DE 、BF 的中点，求证：FM=EN
.
注意：证明两条线段相等的常用方法：（1）等角对等边；（2）等腰三角形底边上的高（或顶角平分线）平分底边；（3）证明线段所在的三角形全等；（4）一点为某线段的中点；
（5）平行四边形的对边相等或对角线互相平分。

例十七、如图，三角形ABC 为等边三角形，P 是三角形ABC 内任一点，P D ∥AB,PE ∥BC ，DF ∥AC ，若三角形ABC 的周长为12，则PD+PE+DF 等于多少？
12、 探索思维问题
本节中的探索性问题，主要体现在对方法和结论的探究上，要与全等三角形、等腰三角形知识综合在一起，灵活运用平行四边形的性质和判定。

如：已知；如图，三角形ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且CD=BF,以AD 为边作等边三角形。

（1）求证：ACD ∆≌CBF ∆;
（2）点D 在线段BC 的何处时，四边形CDEF 是平行四边形，且0
30=∠DEF ?
证明你的结论。

例十八、已知：如图四边形ABCD 中，A B ∥DC ，E 是BC 的中点，AE 、DC 的延长线相交于点F ，连接AC 、BF 。

（1）求证：AB=CF;
（2）四边形ABFC 是什么四边形？请说明理由。

平行四边形的判定等知识，常与直角三角形，等腰三角形，面积问题结合在一起，应用到实际生产中去，将实际问题建立起几何模型，用几何知识解决，是中考热点题型之一。

如：某厂焊接车间有一块三角形的铁板，根据需要，现要把它加工成一个平行四边形的铁板，要求完全利用材料，怎样加工呢?你能帮工人师傅把切割的路线用虚线画出来吗？试一试，并给出简单的说明。

注意：在对图形进行分割转化时(等积变化)，常取图形各边的中点，在此基础上进行分割旋转或平移。

例十九、如图，某村有一个四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D上各栽有一颗大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保留核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问该村能够实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由。

课堂作业
家庭作业。