2017-2018学年高中数学必修五课件：第2章2-2-2-2-3等

(2)已知等差数列{an}的通项公式为：an＝－2n＋8， 则等差数列的前 n 项和 Sn＝n(7－n)，Sn 的最大值为 12． 8．(1)项数为 2n 的等差数列{an}，公差为 d，有 S2n ＝n(an＋an＋1)(an，an＋1 为中间两项)，S 偶－S 奇＝nd． (2)已知等差数列{an}共有 100 项，其通项公式为：an ＝－3n＋2，等差数列的前 n 项和为 Sn，则 S 偶－S 奇＝－ 150．
4．(1)由 Sn 的定义可知，当 n＝1 时，S1＝a1；当 n
S1，n＝1， ≥2 时，an＝Sn－Sn－1，即 an＝ ． ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱSn－Sn－1，n≥2
(2)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn＝n2，则 an＝
1，n＝1， ＝2n－1，n∈N*． 2n－1，n≥2
(2)若等差数列的项数为 2n(n∈N*)， 则 S2n＝n(an＋an S偶 an＋1 ＝ ； ＋1)(an，an＋1 为中间两项)，且 S 偶－S 奇＝nd， S奇 an 若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 是中间项)，且 S S奇 n ＝ .下面对它们做简要证明： 奇－S 偶＝an， S偶 n－1
6．(1)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 等差数列．
Sn 项和，则 n 也是
Sn (2)已知等差数列{an}的通项公式为： an＝2n－1， 则n
Sn ＝n， n 是等差数列．
7．(1)在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0.则 Sn 存在最 大值； a1＜0， d＞0， 则 Sn 存在最小值(选择“最大值”“最 小值”填空)．
d d 2 ②式可改写成：Sn＝ n ＋a1－2n，当 d≠0 时，Sn 2 是关于 n 的二次函数，且不含有常数项，所以可以借助 二次函数的有关性质(如单调性、极值性等)来处理等差数 d 2 列前 n 项和 Sn 的有关问题，它的图象是抛物线 y＝ x ＋ 2
2a1－d 2 x 上横坐标为正整数的一群孤立的点．
第2章 数 列
2.2 等差数列 2．2.3 等差数列的前 n 项和
[情景导入] 数学史上有一颗光芒四射的巨星，他与 阿基米德、牛顿齐名，被称为历史上最伟大的三位数学家 之一，他就是 18 世纪德国著名的数学家——高斯．高斯 在上小学时，就能很快地算出 1＋2＋3＋…＋100 的结 果．高斯是这样算出：1＋2＋3＋…99＋100＝(1＋100)＋ (2＋99)＋(3＋98)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5 050.
他的这种算法，就是等差数列求和的方法． [学习目标] 1.掌握等差数列的前 n 项和公式以及推 导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问 题.2.掌握与前 n 项和有关的等差数列的主要性质， 并能熟 练运用其性质解决一些实际问题．
1．(1)对于任意数列{an}，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an， 叫作数列{an}的前 n 项的和． (2)Sn－Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)． 2．(1)等差数列{an}的前 n 项和公式为
②若等差数列的项数为 2n－1，由等差数列的性质： a1＋a2n－1＝a2＋a2n－2＝…＝2an.所以 S 偶＝a2＋a4＋…＋a2n n－1 n－1 (a ＋ a )＝ ·2an＝(n－1)an，S 奇＝a1＋a3 － 2＝ 2 2 2n－2 2 S奇 1 n ＋…＋ a2n － 1 ＝ n(a1 ＋ a2n － 1) ＝ · 2an ＝ nan ，所以 ＝ 2 2 S偶 nan n ＝ . （n－1）an n－1
9．(1)项数为 2n－1 的等差数列{an}，有 S2n－1＝(2n －1)an(an 为中间项)，S 奇－S 偶＝an． (2)已知等差数列{an}共有 201 项，其通项公式为：an ＝3n－2，等差数列的前 n 项和为 Sn，则 S 奇－S 偶＝a101 ＝301．
知识点 1 等差数列的前 n 项和的公式 n（a1＋an） Sn＝ ，① 2 n（n－1） 或 Sn＝na1＋ ·d.② 2
n（n－1）d 5．(1)等差数列的前 n 项和公式：Sn＝na1＋ 2 d d 2 a1－ n S ＝ n ＋ n 可化成关于 n 的二次式子为________________ 2 ，当 d≠0 时， 2 是一个常数项为零的二次式． (2)已知等差数列的前 n 项和为 Sn＝n2－8n ，则前 n 项 和的最小值为－16，此时 n＝4．
n（a1＋an） n（n－1）d S 或 S n＝ n＝na1＋ ____________________________________ ． 2 2
(2)等差数列：2，4，6，…，2n，…的前 n 项和 Sn ＝(n＋1)n． (3)等差数列首项为 a1＝3，公差 d＝－2，则它的前六 项和为－12． 3． (1)等差数列依次 k 项之和仍然是等差数列． 即 Sk， S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为 k2d 的等差数列． (2)已知等差数列{an}，an＝n，则 S3，S6－S3，S9－ S6 分别为：6，15，24．它们成等差数列．
①若等差数列的项数为 2n， 则 S 偶－S 奇＝a2＋a4＋… ＋a2n－a1－a3－…－a2n－1＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋…＋(a2n －a2n－1)＝d＋d＋d＋…＋d＝nd. n S偶 2（a2＋a2n） 2an＋1 an＋1 ＝n ＝ ＝a . 2an S奇 n （a1＋a2n－1） 2
若 d＝0，则 Sn＝na1. 数列{an}为等差数列的充要条件是：数列{an}前 n 项 和可以写成 Sn＝an2＋bn 的形式(其中 a， b 为常数)且公差 为 2a.
知识点 2 等差数列前 n 项和公式的性质 (1)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和， 则 Sn， S2n－Sn， S3n－S2n 仍然是等差数列．