高一数学复习素材 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 能力提升(含答案解析) 四

1．已知向量错误!＝(2,2)，错误!＝(4,1），在x轴上有一点P使错误!·错误!有最小值，则点P的坐标是(）A．（－3,0) B．(2,0）
C．(3，0）D．（4,0）
解析：选C。

设点P的坐标为（x,0），则错误!＝（x－2,－2）,错误!＝（x－4，－1)。

错误!·错误!＝(x－2）(x－4）＋（－2）×(－1）＝x2－6x＋10＝（x－3)2＋1。

当x＝3时，错误!·错误!有最小值1，∴点P 的坐标为（3,0)，故选C.
2．若平面向量a，b满足｜a＋b|＝1,a＋b平行于x轴,b＝(2，－1)，则a＝________
解析:设a＝(x，y)，
∵b＝（2,－1），∴a＋b＝（x＋2，y－1)．
∵a＋b平行于x轴，∴y－1＝0，∴y＝1。

又∵|a＋b|＝1，即x＋22＋02＝1,
∴x＝－1，或x＝－3.
∴a＝(－1,1)或(－3，1）．
答案：（－1，1）或（－3,1)2
3．已知平面向量a＝(3，4），b＝(9，x）,c＝(4，y）且a∥b，a ⊥c。

(1)求b与c；
（2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
解：(1)∵a∥b,∴3x＝4×9，∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，∴b＝(9,12)，c＝（4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6,8)－(9，12)＝(－3,－4），
n＝a＋c＝（3，4）＋(4,－3）＝(7，1），
设m、n的夹角为θ，
则cos θ＝
m·n
｜m｜｜n｜＝错误!
＝错误!＝－错误!.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4，
即m，n的夹角为错误!.
4．已知三点A(2,1)，B(3，2），D（－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
（2）要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．
解:（1）证明：∵A（2，1),B(3,2)，D(－1，4),
∴AB，→＝(1,1）,错误!＝（－3,3）．
又错误!·错误!＝1×（－3)＋1×3＝0，
∴错误!⊥错误!，即AB⊥AD
（2)∵错误!⊥错误!，四边形ABCD为矩形,∴错误!＝错误!。

设C点的坐标为(x,y），则错误!＝(x＋1，y－4），
从而有｛x＋1＝1，y－4＝1,即错误!，
∴C点的坐标为(0,5)．
又错误!＝(－4，2），|错误!｜＝2错误!，
∴矩形ABCD的对角线的长度为2错误!。