高考数学大二轮专题复习冲刺方案-理数(经典版)文档：高难拉分攻坚特训(六)

高难拉分攻坚特训(六)
1．已知函数f (x )＝x ＋1
e x －ax 有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(1，＋∞)
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2e ，＋∞
D.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫0，2e 答案 A
解析 f (x )＝x ＋1e x －ax ，令f (x )＝0，可得ax ＝x ＋1
e x ，当x ＝0时，上式显然不成立；可得a ＝x ＋1x e x (x ≠0)有且只有2个不等实根，等价为函数g (x )＝x ＋1
x e x 的图象和直线y ＝a 有且只有两个交点．由g ′(x )＝e x (－x 2－x －1)
(x e x )2<0恒成立，可得当x ＞
0时，g (x )单调递减；当x ＜0时，g (x )单调递减．且g (x )＝x ＋1
x e x >0在x >0或x <－1时恒成立，作出函数g (x )的大致图象，如图，由图象可得a >0时，直线y ＝a 和y ＝g (x )的图象有两个交点．故选A.
2．已知底面是正六边形的六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，底面正六边形的边长为1，若该六棱锥体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．
答案 25π4
解析 因为六棱锥P －ABCDEF 的七个顶点均在球O 的表面上，由对称性和
底面正六边形的面积为定值知，当六棱锥P －ABCDEF 为正六棱锥时，体积最大．设正六棱锥的高为h ，则13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
6×12×1×1×sin60°
h ＝3，解得h ＝2.记球O 的半径为R ，根据平面截球面的性质，得(2－R )2＋12＝R 2
，解得R ＝54，所以球O 的表面
积为4πR 2＝4π⎝ ⎛⎭
⎪⎫542＝25π
4.
3．已知函数f (x )＝x 2－1＋a ln (1－x )，a ∈R .
(1)若函数f (x )为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )存在两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2.证明：f (x 1)x 2>f (x 2)
x 1.
解 (1)由题意可知，函数f (x )的定义域为(－∞，1)， ∵f ′(x )＝2x －a
1－x ＝－2x 2＋2x －a 1－x (x <1)，
对于y ＝－2x 2＋2x －a ， ∵Δ＝4－8a ，
①若Δ≤0，即a ≥1
2，则－2x 2＋2x －a ≤0恒成立， ∴f (x )在(－∞，1)上为单调减函数．
②若Δ>0，即a <12，方程－2x 2
＋2x －a ＝0的两根为x 1＝1－1－2a 2，x 2＝
1＋
1－2a 2，x 2>1
2
>x 1， ∴当x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝ ⎛
⎭
⎪⎫x 1，12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，不符合题意．
综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
12，＋∞.
(2)证明：因为函数f (x )有两个极值点，所以f ′(x )＝0，在x <1上有两个不等实根．
即－2x 2＋2x －a ＝0在(－∞，1)上有两个不等的实根x 1，x 2，
设x 1<x 2，
∴0<a <1
2，∴⎩⎨⎧
x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝a
2，
∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1
f (x 1)x 2＝x 2
1－1＋a ln (1－x 1)
x 2
＝－(1＋x 1)＋2x 1ln (1－x 1)，
同理：f (x 2)
x 1＝－(1＋x 2)＋2x 2ln (1－x 2)．
设g (x )＝－(1＋x )＋2x ln (1－x )，x ∈(0,1)， 则g ′(x )＝－1＋2ln (1－x )－
2x 1－x
， 设h (x )＝－1＋2ln (1－x )－
2x
1－x
，x ∈(0,1)， ∴h ′(x )＝－
21－x －2(1－x )
2<0，在(0,1)上恒成立， 所以h (x )为(0,1)上的减函数．
∴h (x )<h (0)＝－1<0，即g ′(x )<0在(0,1)恒上成立，因此g (x )在(0,1)上单调递减．
∵x 1<x 2，∴g (x 1)>g (x 2)，∴f (x 1)x 2
>f (x 2)
x 1
.
4．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖
记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为1
2，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望；
(2)①若从游客中随机抽取m (m ∈N *)人，记这m 人的总分恰为m 分的概率为A m ，求数列{A m }的前10项和；
②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n 分的概率为B n ，探讨B n 与B n －1(n ≥2)之间的关系，并求数列{B n }的通项公式．
解 (1)X 的所有可能取值为3,4,5,6. P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝4)＝C 23
⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38， P (X ＝5)＝C 23
⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38，P (X ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. 所以X 的分布列为
所以E (X )＝3×18＋4×38＋5×38＋6×18＝9
2. (2)①总分恰为m 分的概率A m ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12m ，
所以数列{A m }是首项为12，公比为1
2的等比数列．
所以其前10项和S 10＝
12×⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－12101－12
＝1023
1024. ②因为已调查过的人的累计得分恰为n 分的概率为B n ，得不到n 分的情况只有先得(n －1)分，再得2分，概率为1
2B n －1(n ≥2)．
所以1－B n ＝12B n －1(n ≥2)，即B n ＝－1
2B n －1＋1(n ≥2)， 所以B n －23＝－12⎝ ⎛
⎭⎪⎫B n －1－23(n ≥2)，
所以B n －23＝⎝ ⎛⎭⎪⎫B 1－23⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1，易知B 1＝1
2，
所以B n ＝23－16⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝23＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝23＋(－1)
n 3×2n
.。