复数知识点总结

复数
一、复数的概念
1. 虚数单位i
（1）它的平方等于，即；
（2）实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律．
（3）i的乘方：，它们不超出的形式．
2. 复数的定义
形如的数叫做复数, 分别叫做复数的实部与虚部
3. 复数相等，即，那么这两个复数相等
4. 共轭复数时,．
性质：;；；
二、复平面及复数的坐标表示
1. 复平面
在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是,复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴,y轴出去原点的部分称为虚轴．
2. 复数的坐标表示点
3. 复数的向量表示向量．
4. 复数的模
在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．
三、复数的运算
1. 加法．
几何意义：设对应向量,对应向量,则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．
2. 减法．
几何意义：设对应向量,对应向量,则对应的向量为．
表示、两点之间的距离,也等于向量的模．
3. 乘法
4. 乘方
5. 除法
6. 复数运算的常用结论
（1），
（2），
（3），
（4），，,．
（5）,
（6）,,
四、复数的平方根与立方根
1. 平方根若，则是的一个平方根，也是的平方根．（1的平方根是．)
2. 立方根如果复数、满足，则称是的立方根．
（1）1的立方根：．
,，．．
（2）的立方根：．
五、复数方程
1. 常见图形的复数方程
（1）圆：（,为常数），表示以对应的点为圆心,为半径的圆
（2）线段的中垂线：(其中分别对应点）
（3）椭圆: （其中且）,表示以对应的点F1、F2为焦点，长轴长为的椭圆
（4）双曲线：（其中且)，表示以对应的点F1、F2为焦点，实轴长为的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根
（1）求根公式:
（2）韦达定理：。