中考数学复习微专题：巧用补形法解几何题

巧用补形法解几何题
解题中，对于比较复杂或不太规则的图形，我们常需要将它分割成规则的熟悉的图形，但有时仍然不容易找到思路，这时可考虑换一个角度，通过补图达到化难为易的目的.补形法是几何解题中的一种重要方法，现以几个经典题为例说明如下.
一、补成特殊的三角形
遇到题中有角平分线，垂线，中线中的两个作为条件同时出现，可考虑将图形补为等 腰三角形.
例1 如图1，AD 为ABC 的角平分线，且AD AB =，过点C 作直线AD 的垂线，垂足为E ，求证:1()2
AE AB AC =+ . 思路1 延长AE 到点N ，使得ED EN =，连结CN .
思路2 延长AE 到点H ，使2AH AE =，连结CH .
注 直角三角形遇到题中有两角互为余角或有直角时，可考虑补形为直角三角形.
例2 如图2，五边形ABCDE 中，BC DE =，C D ∠=∠，90B E ∠=∠=︒，求证:AB AE =.
思路1 延长BC ，ED 相交于F 点，连结AF ，构造直角三角形.
思路2 延长AB ，AE 交直线CD 于M ，N 两点，构造等腰三角形.
注 条件中只要有60°，可考虑补形为等边三角形.
例3 如图3，ABC 是等边三角形，延长BC 至点D ，延长BA 至点E ，使AE BD =，连结CE 、ED ，求证:EC ED =.
思路1 过点E 作EH 垂直BD 于点H ，利用30°直角三角形的特殊性质.
思路2 过点E 作EH 平行BD 交CA 延长线于点H .
二、补形为四边形
1.遇到菱形的判定条件(如两邻边相等)时，可考虑补形为菱形.
例4 如图4，在五边形ABCDE 中，30A ∠=︒，150B E ∠=∠=︒，90BCD ∠=︒，8AB AE ==，3CD =，求五边形ABCDE 的周长.
思路 过点D 、C 分别作ED ，AB 的垂线交于M ，N 两点.
2.遇到矩形的判定条件如有三个直角等时，可考虑补为长方形.
例5 如图5，三个正方形连续紧靠着，它们的边长依次记为1a ，2a ，3a ，则图中ABC
的面积为 .(用1a ，2a ，3a 的代数式表示)
思路 先利用相似三角形性质求两个三角形的公共底.
3.遇到等腰直角三角形时，可考虑补形为正方形.
例6 如图6，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 是AC 中点，AE BD ⊥于点E ，AE 延长线交BC 于点F ，求证:ADB FDC ∠=∠.
思路1 过A ，D 作BC 的垂线，垂足为G ，H ，先证DBH FDH ∠=∠.
思路2 过点A 作AG BC ⊥于点G ，AG 交BD 于点M ，先证ACF BAM ≅，再证CDF ADM ≅.
三、补形为圆
遇到对角互补的四边形，同底同侧相等的三角形等条件时，可考虑补作圆.
例7 如图7，在ABC 中，高BE 、CF 相交于点H ，且135BHC ∠=︒，G 为ABC 内的一点，且GB GC =，3BGC A ∠=∠，连结HG ，求证:HG 平分BHF ∠.
思路1 计算得45A ∠=︒，B ，G ，H ，C 四点共圆，故22.5BHG ∠=︒.
思路 2 计算得45A ∠=︒，设GC ，BH 交点为M M ，GMB HMC ，再证GHM BCM ，故22.5BHG ∠=︒.。